第二章误差的基本性质与处理 01

1、1第二章 误差的基本性质与处理第一节 随机误差第二节 系统误差第三节 粗大误差第四节 测量结果的数据处理实例2第一节 随机误差 一、随机误差产生的原因 二、随机误差的分布及其特性 三、算术平均值 四、测量的标准差 五、测量的极限误差 六、不等精度测量 七、随机误差的其他分布 3任何测量均存在误差研究误差性质 找出解决方法 提高测量精度一.随机误差的产生原因 误差的出现没有确定的规律 1.测量装置的因素 2.环境的因素 3.人为因素第一节 随机误差零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。4 1.对称性：绝

2、对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。 2.单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。 3.有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限。 4.抵偿性：随机误差的算术平均值趋向于零。 多数随机误差均服从正态分布。 设被测量的真值为 ，一系列测量值为 ，则测量值序列中的随机误差 为：0Lili0iilL 正态分布的分布密度为：22(2)1( )2fe随机误差的几个主要特征：二.正态分布5分布函数：22(2)1( )2Fed 式中： 标准差（或均方根误差）。它的数学期望为：( )0Efd它的方差为：22( )fd 其平均误差为：4( )0.79795fd此外由定义：1()2fd 或然误差：

3、20.67453 正态分布22(2)1( )2fe分布密度6 值为曲线上拐点A的横坐标 值为曲线右半部面积重心B的横坐标 值的纵坐标线则平分曲线右半部面积 正态分布22(2)1( )2fe22( )fd 4( )5fd1( )2fd7三.算术平均值 设 为n次测量所得的值，则算术平均值 为：12, ,.,nl llx121.ninillllxnn 若测量中不包含系统误差和粗大误差，则算术平均值 必然趋近于真值 。x0L12120.(.)nnlllnL0iilL011nniiiilnL110nniiiilLnn8011nniiiilnL110nniiiilLnn当 时，有 ，所以n 10niin

4、10niilxLn 一般情况下， 未知，故不能按上式求的随机误差，这时常用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有：0Liivlx式中： 第 个测得值， 1，2，n; 的残余误差（简称残差）。iliiivil0iilL随机误差：9正态分布的随机误差分布密度 标准差 不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差， 的大小只说明在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。 在等精度测量列中，单次测量的标准误差按下式计算：1.单次测量的标准差2222121.inninn 式中： 测量次数； 测得值与被测量的真值之差。 ni四.测量的标准差标准偏差均方根误差22(2)1( )2fe10 当被测量的真值

5、为未知时，不能用上式求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差 代替误差，而得到标准差的估计值。iv0iilL由 可得：110220lxxLlxxL0nnlxxL 定义： ，称为算术平均值的误差0 xxL2222121.inninn111122xxvvnnxv11nniixiivn111nnniiiiiixvnnn两边平方后再求和得：2222211112innnniiixxxiiiivnvvn由于221211222nnnijiiijiixnnn 当 取适当大时， 趋于零，可得：n1nijij 122221211iiinnniiivnn由21niin221inin 代入上式可得：222

6、1ininv211inivn（Bessel公式） 与 相比较 ? 21inin13根据Bessel公式可由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。 或然误差： 平均误差：21231inivn21451inivn 标准偏差：211inivn2222121.inninn142.测量列算术平均值的标准差在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同。算术平均值：12.nlllxn1210.ninilllxLnn0iilL151221( )( )( ).( )nD xD lD lD ln取方差：因为：212( )( ).(

7、)( )nD lD lD lD l221( )D xnn( )xD x定义：22xnxn12211( )( )( ).( )2nnijijD xD lD lD ln 1210.ninilllxLnn16 结论：在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的 。1n增加测量次数，可以提高测量精度。3.标准差的其他计算方法（1）Peters公式（2）极差法（3）最大误差法xn211inivn17五.测量的极限误差 测量结果的误差不超过极限误差的概率为P，而差值（1P）可以忽略。1.单次测量的极限误差前提：（1）测量列的测量次数足够多； （2）单次测量误差为正态分布 随机误差正态分

8、布曲线下的全部面积相当于全部误差出现的概率，即：22(2)112ed18而随机误差在 至 范围内的概率为：22(2)1()2Ped作变量替换：,tt2220202()2 ( )21( )2ttttPedtttedt （概率积分）22(2)022ed19 若某随机误差在 范围内出现的概率为 ，则超出的概率为： 。t2 ( ) t1 2 ( ) t 2202()()2 ( )2ttPPtedtt 20 单次测量的极限误差定义：limxt 当t3时，对应的概率P99.73； t2时，对应的概率P95.44； t1时，对应的概率P68.26；其中，t：置信系数； P:置信概率或置信水平。极限误差可以人

9、为选定，对应于不同的置信水平。212.算术平均值的极限误差limxxt t：置信系数； 算术平均值的标准差。x 当测量列的测量次数较多时，正态分布时，t3； 当测量列的测量次数较少时，按t分布计算极限误差：limaxxt 式中： 置信系数；at置信概率： ，其中 为超出极限误差的概率；1P 自由度： ，其中 为测量列中的测量次数；1vnn 为 次测量的算术平均值标准差。xn 是人为选定的，例如选 ，则意味着置信概率为P10.0199；选定 ，计算出自由度 ，可查表找出 ，则可给出极限误差 。0.01vatlimaxxt 22例2-9 对某量进行6次测量，测得数据如下：802.40，802.50

10、，802.38，802.48，802.42，802.46。求算术平均值及其极限误差。 解：算术平均值 44.80266611iiniillx047.016161212iiniivnv019. 06047. 0nx标准差 23n=6，按 t 分布计算算术平均值的极限误差: 自由度 ，取 ，则由附录表3查得： ，则有： 51 nv01. 003. 4at076. 0019. 003. 4limxatx019. 06047. 0nx若按正态分布计算，取 ，相应的置信概率： ，由附录表1查得t2.60，则算术平均值的极限误差为：10.99P 0.01049. 0019. 060. 2limxtx24六

11、.不等精度测量 定义：在不同的测量条件下， 用不同的仪器， 不同的测量方法， 不同的测量次数， 不同的测量者，进行测量与对比不等精度测量。两种常见的情况：思考：如何求得最后的测量结果和精度？第二种：用不同精度的仪器进行对比测量。 第一种:用不同测量次数进行对比测量。例如，用同一台仪器测量某一参数，先后用 和 次进行测量，分别求得算术平均值 和 。因为 ，所以 和 的精度不一样。1x2x12nn1x2x1n2n251.权的概念 等精度测量中，各个测量值可认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值为最后结果。 不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一

12、些，可靠程度小的占比重小。 各个测量结果的可靠程度可用一数值表示，该数值就称为该测量结果的权，记为 。p262.权的确定方法可以按测量条件的优劣， 测量仪器的精度高低， 测量方法的好坏， 重复测量次数的多少， 测量者水平的高低，权？最简单确定权的方法：按测量的次数确定权。 前提：测量条件和测量水平皆相同。重复测量的次数愈多，其可靠程度就愈大，即： 。iipnixin 假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果，单次测量精度相同而测量次数不同。因为单次测量精度均相同，其标准差均为 ，则各组算术平均值的标准差为： ，1,2,.,.im2712222212.mmxxxnnniipn12222212.m

13、mxxxppp1212222111:.:.:mmxxxppp结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。例例2-10 对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为mmmmxmmmmxmmmmxxxx10.0,60.200020.0,15.200005.0,45.20003213214:1:16)10. 0(1:)20. 0(1:)05. 0(11:1:1:222232221321xxxppp各组的权/iixn28 3.加权算术平均值12121111212,.,mnnniiimiiimmlllxxxnnn 若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 。设相应的测量次数为 ，

14、即： 12,.,mn nn12,.,mx xx12?mxxxx12121111.mnnniiimiiimiilllxn29根据等精度测量算术平均值原理可得：12121111.mnnniiimiiimiilllxn加权算术平均值若各组的权相等，即 时，12.mpppp1miixxm121212.mmmn xn xn xnnn121212.mmmp xp xp xppp11miiimiip xxp304.单位权概念22iixp1,2,.,;im 将权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列 单位权化。 用等精度测量的计算公式来处理不等精度测量结果。22izixp取方差：( )()iiD

15、 zp D x 证明： 设 1,2,.,;imiizp x 由于测得值的方差 的权数为1，故特称等于1的权为单位权。2 若将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根 ，此时得到的新值 的权数就为1。ipzix22iixpp（当 时）1p 31因为：22iixp22zzp22ixip22zzp222Ziiixippp1zp 用这种方法可将不等精度的各组测量结果皆进行单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。22izixp取方差：( )()iiD zp D x 1,2,.,;imiizp x32全部( 个)测得值的算术平均值 的标准差为：m nx121.xmmiinnnn111iiimmx

16、xximiiiiiinpnpp 当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。5.加权算术平均值的标准差ixin1,2,.,;im 对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 已知单位权测得值的标准差 ，则：12,.,x x,mx33用 代替 代入等精度测量的公式得：iixp viv211imixip vm 加权算术平均值的标准差：211(1)imiximxiip vmp等精度测量列的残余误差等精度测量列的测量结果 已知各组测量结果的残余误差为： ，将各组 单位权化得：iiiiixp vp xp xixiixvxx 加权单次测量的标准差：34作

17、业：2-5、2-79月18日交35系统误差系统误差（Systematic ErrorSystematic Error） 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 定义定义特征特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 第二节 系统误差36按对误差掌握程度，系统误差可分为按对误差掌握程度，系统误差可分为 误差绝对值和符号已经误差绝对值和符号已经明确明确的系统误差。的系统误差。 已定系统误差：已定系统误差：例：例： 直尺的刻度值误差 误差绝对值和符号未能确定的系统误差，误差绝对值和符号未

18、能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。但通常估计出误差范围。 未定系统误差：未定系统误差：按误差出现规律，系统误差可分为按误差出现规律，系统误差可分为 误差绝对值和符号固定不变固定不变的系统误差。 不变系统误差：不变系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 变化系统误差：变化系统误差：37随机误差处理方法的前提：测量数据中不含有系统误差实际情况：系统误差与随机误差同时存在研究系统误差的特征与规律性，找出产生系统误差的原因，提出减加或消除系统误差的方法 给出科学结论一 系统误差产生的原因二 系统误差的特征三 系统误差的发现四

19、 系统误差的减小和消除38 系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是可以掌握的。 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。一 系统误差产生的原因39二 系统误差的特征在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。1 不变的系统误差a2 线性变化的系统误差b4 周期性变化的系统

20、误差d5 复杂规律变化的系统误差e3 非线性变化的系统误差c40三 系统误差的发现秩和检验法检验法计算数据比较法，正态检验法检验法组间不同公式计算标准差法残余误差校核法残余误差观察法实验对比法组内发现系统误差的方法Ft41三 系统误差的发现（一）实验对比法：应用：发现组内不变的系统误差原理：改变产生系统误差的条件，进行不同条 件下的对比测量。例如： 采用不同方法测同一物理量，若其结果不一致，表明至少有一种方法存在系统误差。 还可采用仪器对比法、参量改变对比法，改变实验条件对比法、改变实验操作人员对比法等，测量时可根据具体实验情况选用。 42三 系统误差的发现（二）残余误差观察法：应用：用于发现

21、组内有规律的系统误差， 不能用于发现固定系统误差。方法：是根据测量列的各个残余误差的大小和符号 的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图 形来判断有无系统误差。P35 式2-82原理结论：显著含有测量误差的测量列，其任一测 量值的残余误差为系统误差与测量列系 统误差平均值之差。43三 系统误差的发现（二）残余误差观察法： a: 残余误差大体上正负相同，无显著变化规律 无系统误差b: 残余误差的大小向一个方向递增或递减，且 符号首末相反 有线性系统误差44三 系统误差的发现（二）残余误差观察法： c: 残余误差的符号正负循环交替变化 有周期性系统误差d: 残余误差既有线性递增、又有周期变化 有复杂

22、周期系统误差45三 系统误差的发现（三）残余误差校核法： 应用: 1、发现组内线性系统误差原理:将测量值按测量先后顺序排列，将残差分为前半组k个，后半组k个k=n/2 (n为偶数)k=(n+1)/2(n为奇数)P36 式2-84不等于0，测量列中含有线性系统误差等于0，测量列中不含有系统误差例：2-13、2-14 P3646三 系统误差的发现（三）残余误差校核法： 应用: 2.发现组内周期性系统误差原理:将测量值按测量先后顺序排列，将残差对应排列，用相邻残余误差差值的符号变化判断vi vi-1P37 式2-85阿卑-赫梅特准则47三 系统误差的发现（四）不同公式计算标准偏差比较法： 应用: 发

23、现组内系统误差原理:贝塞尔公式贝塞尔公式別捷尔斯公式別捷尔斯公式比值比值判断判断 P37 2-86 48三 系统误差的发现（五）计算数据比较法： 应用: 组间判别原理:对同一量进行多组测量，多组计算数据比较对同一量进行多组测量，多组计算数据比较若不存在系统误差若不存在系统误差-比较结果应满足随机误差比较结果应满足随机误差条件条件否则，认为存在系统误差否则，认为存在系统误差方法：方法： P38 式式2-87 例例2-15： P3849三 系统误差的发现（六）秩和检验法： 应用: 组间判别原理:独立测得两组数据：xi i=1,2,nx yj j=1,2,ny混合、按大小重新排列混合、按大小重新排列

24、取测量次数少的一组，数出其测量值在混合后的取测量次数少的一组，数出其测量值在混合后的次序次序-秩秩将测量值的次序相加将测量值的次序相加-秩和秩和3839例2-1650三 系统误差的发现（七）t检验法： 应用: 组间判别原理:独立测得两组数据：xi i=1,2,nx yj j=1,2,nyP3940例2-1751四 系统误差的减小和消除（一）消误差源法（一）消误差源法 （二）加修正值法（二）加修正值法 （三）改进测量方法（三）改进测量方法 （一）消误差源法：（一）消误差源法： 所用基准件、标准件是否准确可靠； 所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定； 仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡

25、是否正确合理； 所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差； 测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等； 注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。 52四 系统误差的减小和消除（一）消误差源法（一）消误差源法 （二）加修正值法（二）加修正值法 （三）改进测量方法（三）改进测量方法 （二）加修正值法（二）加修正值法先检定或计算测量器具的系统误差先检定或计算测量器具的系统误差做出误差表或误差曲线做出误差表或误差曲线按误差值反向修正按误差值反向修正注：修正后留有的残留误差按随机误差处理注：修正后留有的残留误差按随机误差处理53（三）改进测量方法（三）改进

26、测量方法 1、消除恒定系统误差的方法 代替法： 代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，测量差值 被测量标准差差值抵消或反向补偿法：丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的定回误差，往往采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果 交换法： 这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。 542、消除线性系统误差的方法对称法 3425122xxxxx例如测定量块平面平行性时（见例如测定量块平面平行性时（见图图2-20）,先以标准量块先以标准量块A的中心的中心0点对零，然后按图中所示被检点对零，然后按图中所示被检量块量块B上的顺序逐点检定，再按上的顺序逐点检定，再按相反顺序进行检定，取正反两次相反顺序进行检定，取正反两次读数的平均值作为各点的测得值，读数的平均值作为各点的测得值，就可消除因温度变化而产生的线就可消除因温度变化而产生的线性系统误差。性系统误差。553、消除周期性系统误差的方法半周期法相隔半个周期进行两次测量，取两次测量的平均值sinal 11211sinal 1112sin)sin(laal0221121llll56第三节 粗大误差超出规定条件下预期的误差。粗大误差的数值比较大，它会对测量结果产生明显的歪曲，一旦发现含有粗大误差的测量值，应将其从测量结果中剔除一 粗大误差