04转化与化归的思想

1、转化与化归的思想北京四中 吕宝珠一、高考真题感悟在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是解 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d，0|c|1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围思维启迪 (1)求f(x)0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.解 (1) f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a) 由已知a1，2a2， 令f(x)0，解得x2a或x1时，f(x

2、)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值f(2a)(2a)3(1a)(2a)24a2a24aa34a224aa(a6)(a3)，f(0)24a.由题设知即解得1a0，且当x0，a1时，f(x)0时，函数的解析式为f(x)x(xa)2x32ax2a2x.对f(x)求导，得f (x)3x24axa23(xa)，令f(x)0，得x1，x2a.对于自变量x在取值范围0，a1内的f(x)及f(x)的情况，列表如下：在区间0，a1上，要使f(x)2a2恒成立，只要，解得1a.所以实数a的取值范围是1a0，求实数p的取

3、值范围解如果在1,1内没有值满足f(c)0，则p3或p，取补集为3p0，By|y26y80，若AB，则实数a的取值范围为解析由题意得Ay|ya21或y2或a题型三以换元为手段的转化与化归例3已知a R，求函数y(asin x)(acos x)的最小值思维启迪 本题考查函数的最值问题、化归思想及运算能力观察到等式右边是关于sin xcos x与sin xcos x的三角式，可设tsin xcos x，则原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题解函数可化为ysin xcos xa(sin xcos x)a2.设tsin xcos x，则t sin，故t ， 而sin xcos x(sin xco

4、s x)21(t21)，于是，yf(t)a2at(t21)t2ata2(ta)2a2.原问题化归为求二次函数f(t)(ta)2a2，t ，的最值问题(1)当 a 时，若ta，f(t)mina2；(2)当a 时，f(t)在 ， 上单调递减，f(t)minf( )a2 a；(3)当a 时，f(x)在 ， 上单调递增f(t)minf( )a2 a.探究提高 形如f(x)asin2xbsin xc的函数，其最值的求解可利用换元法，通过配方转化为一元二次函数的最值问题处理，但要注意三角函数自身的取值范围限制对于解析式中含有sin xcos x和sin xcos x的函数，往往通过换元也可转化为一元二次函

5、数的最值问题，利用配方法求解最值其基本的思维过程是：换元、整理、配方、求最值变式训练3 在RtABC中，C，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，r，S分别表示它的内切圆半径和面积，则的取值范围是解由题意，得Sabc2sin Asin B，r(abc)c(sin Asin B1)，从而，设sin Asin Bt，则sin Asin B(t21)，因为AB，所以tsin Asin Bsin(1，所以的取值范围是22,1)四、规律方法总结在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集