循环矩阵的性质及其应用概要

1、目录一.相关概念-2-定义1.1-.2-定义1.2-.2-定义1.3-.3-定义1.4-.3-2 .循环矩阵的性质-3-循环矩阵基本性质-.3-关于循环矩阵的判定相关性质-.5-循环矩阵可逆的判定及互素推论-.6-循环矩阵的一个定理及其得出的推论-.6-循环矩阵对角化相关性质.-.7-等比数列构成的循环矩阵相关性质-.9-循环矩阵行列式与特征值相关性质.-.10-循环矩阵的奇异性-.12-循环矩阵与向量空间相关性质-.12-3 .广义循环矩阵-13-定义3.11.13-定义3.21.13-推论3.11.14-推论3.2-.14-推论3.31.14-推论3.4-.14-定义3.2-.14-定义3

2、.3-.15-定义3.4-.15-定义3.5-.15-参考文献.-15-循环矩阵的性质研究相关概念定义1.1具有以下形式的n阶方阵A称为关于a0,a1,a2，an的循环矩显然，A由首行元素惟一确定，因此可简记为A=circ（%,ai，an）.1a0a1a2an1ana0a1,'an/A=an/ana°-'ana1a2a3aO特别地，n阶循环矩阵：010000100000D=：:0000110000_称为n阶基本循环矩阵，简记为：D=circ(0,1,0,，0)显然，D,D2,D3,Dn=I(n阶单位矩阵)都是循环矩阵，由此得A=a°I+a1D+a2D2+an

3、,Dn，设f(x);a0a1xa2x2an4xn4,则A=f(D),这时a。=a°I.记Cn>n为复数域C上的全体n阶方阵，R.为实数域上的全体n阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的n2维向量空间，记tr(A)为矩阵A的迹，AH为A的转置共腕阵.定义1.2设ACn珀(Rn冷)，如果矩阵A的最小多项式等于特征多项式，则称A为循环矩阵.定义1.3设A是n维向量空间'使得口，Act,，An%线性无关.则称口定义1.4已知n阶基本循环矩静D=1并令Ii称l,llJ2Jn为循环矩阵基本列(其二.循环矩阵的性质2.1循环矩阵基本性质性质2.1.13循环矩阵基本列I,性质2.1.2

4、3任意的n阶循环矩口/上的一个线性变换，若存在向量“EY,为A的一个循环向量.010000100000333m,0000110000-=Di(i=1,2,n),中|=Dn=ln为单位矩阵).l12n是线性无关的.午A都可以用循环矩阵基本列线性表出，即A=a01+a性质2.1.3同价循环矩阵的和矩区1a。aa2ana°a1证明设人=anqana0JiAAA,aa2a3a0a1a2an.a°a1A+B=anqanaO-aa2a3an一b°bb2anqbnb0b1bnan二，B=bnqbnb0bn.,则W-.-W-,一a0-.b1b2b3b0_an一bOb1b2bn1a

5、n1bn二b0b1bnIan+bnqbn.1b0bnT=,-,a0.b1b2b3b0l1anlnlanJbnJan_2bn_2an_3bn_3a。b。a0b0a1bia?b?an+bnA%+b°ai+bian/+bn/an+bn/a。+bOa1+4a2+b2a3+b3显然A+B为循环矩阵.定理2.1.1设A、B为n阶循环矩阵，则有:(1)乘积AB仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即AB=BA;(2)若A可逆，则A的逆矩阵也是循环矩阵；证明(1)设A=a0I+aD+azD2+anDn=f(D),B=b0I+biD+bzD2+-bnDn=g(D),因为Dn=Dndk(其中K为非负整数,D0

6、=I),所以AB=f(D)g(D)=g(D)f(D)=h(D)=BA,此处h(P)为不高于n-1次的多项式，因此AB为n阶循环矩阵，且AB=BA.设A为n阶可逆循环矩阵,-b0欲求b1b0bn4A的逆矩阵，需求得矩阵b2bib0bnjbn/bn二bib2b3b0一满足条件AB=I即可.设A=a0I+a1D+a2D2+anDnB=b0I+lbD+b2D2+bn,Dn，有AB=(a°IaDazD2anDn,)(b°IIDbzD2nDn)(a0b°a“a1bn)I(a1b0a0b1a2bn)D(anb°an/b1a0bn)Dn要使AB=I,则以下方程组必须成立

7、：'a0b0+an4bl+a1bn口=1aha0b1azbn7二0JanMani6a0bn口=0解以上方程组可转化为求解：AT(b0,b1,b2,bn)T=(1。0)T,因为A可逆，所以A=网第0,因此方程有唯一的解与由心,bn，可得到唯一的矩阵B,B为A的逆矩阵，且B为循环矩阵.性质2.1.4n阶循环矩阵A的伴随矩阵A*也是循环矩阵.证明伴随矩阵A*=AA,，由定理2.1.1可知A，=b°IbDb2D2bnDn为循环矩阵，因此A*=网也1HDb?D2bnDn)=|AboI”出“D2中口2也是循环矩阵.关于循环矩阵的判定相关性质由定义1.2,有如下性质：引理2.2.12设Aw

8、Cn>n(Rn沏)，则rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A).定理2.2.12设AWCnM(Rn>n),则A为循环矩阵的充要条件是矩阵tr(IHI)tr(IhA)tr(IHAn,)HHHn1tr(AI)tr(AA)tr(AA)aaa:tr(An)HI】trAn/)HA】tr(/)“An是满秩的.由定义1.3,有如下性质：引理2.2.22设A是n维向量空间V上的一个线性变换，A有一个循环向量的充要条件是A的最小多项式等于特征多项式.由此可知A为循环矩阵的充要条件是A有一个循环向量.定理2.2.2设AwCn，Rn珀)，rank(An)<rank(An-1),则A为

9、循环矩阵.证明由于rank(An)<rank(An-1),故n-akAn-1)<n-rak(An),即An"的核空间的维数小于An的核空间的维数.所以必存在向量口eCn(Rn),使得An%#0,而A%=0.卜面证明仪就是A的一个循环向量，即a,A。,，An为线性无关.设x1,x2，xnWC(R),且满足x1a+x2Aoe+xnAna=0,贝UAn_l(x1o(+x2Aa+xnAn,o()=x1AnJa+x2A%+xnA2n%=x1Ana=0.所以x1=0,x2Aa+xnAn,a=0,从而An'(x2Aa十+xnAn/a)=0,即x2An%=0,所以x2=0,x3A

10、2o(+-L+xnAn_la=0.。n依次类推下去，可得xi=x2=A=0,因此口，Act,，An,线性无关，即a为A的一个循环向量，所以A是循环矩阵.循环矩阵可逆的判定及互素推论推论2.3.15循环矩阵A可逆的充要条件是方程a0+a1x+a2x2+anxn=0无单位根.推论2.3.2设A是以ae2,，an为元素的n阶循环矩阵，则A可逆的充要条件是f(x)=a1+a2x+a3x2+anxn与xn-1互素，即(f(x),xn-1)=1.证明由|A|=f3)f32)fn),a可逆的充要条件是|A#0,即f(x)=a1+a2x+a3x2十anxn与xn-1没有公共根,从而(f(x),xn-1)=1.

11、推论2.3.3若f(x)=a1+a2x+a3x2+anxn，与xn-1互素，则f(x)=an+a1x+a2x2+anxnf?(x)=an/+anx+x2+anxnJfn(x)=a2+a3x+a4x2+ax”，都与xn-1互素.证明因为分别以f1(x),f2(x)，fn(x)的系数为元素的循环矩阵和以f(x)的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论.循环矩阵的一个定理及其得出的推论定理2.4.15设循环矩阵A=-101'0n产0n其中='aj'ij,i=0,1,2,n;jj=0a0a1a2anjL1an_ta0a1.an/anNana

12、°-an-.-»a1a2a3-a°_000-11九1008061220，-20切0&1-9-a-»00，-n1n¥0n®1ie不，i2=一1,j=0,1,2,则n，00co即0,'1，.'n为所有n+1次单位根.我们不难由定理2.4.1得到如下推论,这里证明略.在下面推论中,表示的意义均和定理2.4.1相同.推论2.4.15循环矩阵A的秩为%,%,，九n中非零数的个数.循环矩阵对角化相关性质性质2.5.1任何一个循环矩阵A在复数域上都与一个对角矩阵相似证明n阶循环矩阵D的特征值为2k二2k二2,k=cosisi

13、n(k=0,1,2,n-1)(i-1)nn由于%丰%(kgj),又因D相似于对角矩阵A=diag'0,'1,，'n即存在可逆矩阵P,P,DP=A.A相似设A=a°I+aD+azD2+anDn=f(D)是任意一个循环矩阵,于对角矩阵diagif。)。)f(J事实上,DPAP4A=f(D)=f(P上P,)=a0Ia1PAP4-anP-n4PPdiagif（，o）,f（，。f（，n）P，定理2.5.1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.证明设A是n阶对角矩阵上=diagi1,2,'n其中垢,，九n为复数.2n1a。a1，0,az；：:。an'。=1

14、i2n1构造线性方程组a0-ai，i'a?.an.2na。-ai，nia2-nan其中剑声1,n是n阶循环矩阵D的特征值2k二.2k二k=cosisin(k=0,1,2,n-1)nn则以a0,a，4工为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是范德蒙行列式，且00,以，®n互不相等，从而系数行列式不为零.构造n阶循环矩阵A=a0IaDa2D2anDn则A的特征值为4,%,，.由性质2.5.1,A相似于对角矩阵=diag'1,'2,'n推论2.5.1n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A相似于某个循环矩阵.证明充分性：若A相似于循环矩阵B,由

15、性质2.5.1,B与某对角矩阵A相似.根据相似关系的可传递性知，A相似于对角矩阵A.必要性：若A相似于对角矩阵A,由定理2.5.1知，对角矩阵A相似于某个循环矩阵B.根据相似关系的可传递性知，A相似于循环矩阵.性质2.5.2复数域上任意一个n阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复n阶可逆矩阵，使复数域上任意n阶循环矩阵同时对角化.证明由性质2.5.1易知，任意一个n阶矩阵A都可以对角化，由于A是任意的，所有的结论全部得证.等比数列构成的循环矩阵相关性质设序列匕匕是公比为q的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为一a1a2a3anana1a2anan_1ana1an/-.-一吗-:<2

16、a3a4a1fci也构成，记为一4b2b3bnbnb1b2bnbnabnab1bn_2-b2b3b4b11AA=矩阵A可逆时，其逆矩阵由序列(1)定理2.6.1若等比数列QT4满足q#i,若n为偶数时，q#1,则由该数列构成的循环矩阵（1）的逆矩阵（2）存在，且bi=，ba1(1一q)qa1(1-q),b3=b4=bn.A一100-q1a1(1-qn)(3)一一q-q1证明只须确定=1,2，n）,由AA=E，即A'（A/）'=E知，A'乘（A）'"1的第一列等于E的第一列可得。满足的方程组.A'(b1,b2,bn)'=(1,0，0)&#

17、39;(4)注意到ai=ajq（i=2,3,，n）,an=aqn,对（4）的增广矩阵进行初等变换.一a.ananjLa3a21a2a.an-a4a30a3a2a.-asa409-.aaanan/an-a.an0ananan/a2a.0_Aaananla3a210a1(1-qn)000-q00aaa1”qn)0aa0a09000a1(1-qn)000000a1(1-q0)0当n为偶数时，q#-1,知af-qn)¥0,可得db4=bn=0又a#0,q#1,b2=-a1(1-q)1bi=一(1-anb2)a.1-aqai|lnd.q1ai(1-qn)ai(1-qn)定理及（3）式成立，证毕

18、.由上述定理及（3）式易得推论2.6.18若等比数列Q匕满足公比q#1,当n为偶数时，q#-1,则由该数列构成的循环矩阵A及其逆矩阵A的行列式分别为:Hnnn4=百(1q),A，1nn、n.a1(1-q)循环矩阵行列式与特征值相关性质性质2.7.1若A为复数域上的n阶循环矩阵a。a.a2an二agaanqana°-一,-a.a2a3A=an二anqana0那么A的行列式detA=f（即）f（冉）f（即9,这里外=cos""+isin""（k=0,1,2,，n一1）是全部n次单位根,nn2f（x）=a0a1xa2xnJanx证明作n阶矩阵118n

19、22n,n1；1这里&k=cos-2+isin2kz（k=0,1,2,，n-1）是全部n次单位根，令nn2f（x）=a0a1xa2xn1-anx由于n次单位根满足玩=1，域=1,k=0,1,2,，n-1,且对任意非负整数i,端+=即水=0,1，n-1,考察A与4的乘积-a0a1a2ana。a1,A*=anJ2ana0-:a1a2a3,an-一11H1_anJ2161&n122anJ3&15*nn,na0_1*&n_1_一。）80f（80）%f（%）9了片（。）1111鸟%21街8n4工ii彳n-1.ji.n-11马露fg）fgn）1阴（乐）Kfgn）2-.、2-

20、.、名1f（名1）名nf（%）二99%nf（81）葭）（4）_-f（%）f）+Jf（"一diag（f（；。），f（；）,f（g）.由于矩阵小的行列式是一个范德蒙行列式,且当i#j时，n次单位根3%,所以det®#0,从而detAdet=det(A)=det(diag(f(；0),f(；1),f(；n)二det4f(80)f(81Lf(8n_1).aaa2anana。a1an-2定理2.7.19设A是形如an_2ana0an>>>>>>>的循环矩阵，且设_aa2a3a°n1f(x)=EaiXi,&0,a,，是1的全部

21、n次单位根.i02k二.2k二八,、；k=cosIsin(k=0,1,2,n-1)nn这里i是虚数单位(i2=-1),则A的n个特征值是：f(；0),f(；1),f(；n)，n1注意detA=nf(k).k0循环矩阵的奇异性定理2.8.19在定理2.7.1的条件下，循环矩阵A奇异的充要条件是存在某个j(0<j<n-1),使f(j)=0.由于对任意的自然数n,%=1是1的n次单位根，故有n1推论2.8.19若£ai=0,则A奇异.i=0n4推论2.8.29设n为偶数，若£(1)5=0,则A奇异.i=0循环矩阵与向量空间相关性质定理2.9.1数域P上的所有n父n阶循

22、环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为循环矩阵基本列IJ，Ini,零向量为n阶零方阵，负向量为-A.证明对于数域P上的所有nxn阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理.三.广义循环矩阵定义3.1若把a0,ai,a2,an推广为m阶方阵A0,A1,An时，我们称矩A0A1AnAAn1AnA0An_2An_1-A2AA0A-A1A2AnA。一为广义循环矩阵。定义3.2设E是m阶单位矩阵，A0,A1,An是m阶方阵，且A0,A1,An两两可换，我们称矩阵A=-EEEE1A0A1Anj.An.2.2.2A2A0A1An

23、An:A；A；nAnAn一为广义范德蒙矩阵，其行列式为广义范德蒙行列式.引理设人=-EA0A02EAiA2AndetAEAn二An4A；4EAnA"A：是广义范德蒙矩阵，则A的行列式为det（A一Aj）0j<i<n定理1设E是m阶单位阵，且A0,A1,An均是m阶方阵且两两可换，矩A0AnAiAoAnAAn_2An1An_1D=-一.A2A3A0AA1A2AnA0是广义循环矩阵，则,百D=p2E。1G；+ECn*EGnc：A。000A10+呼*000000C0E口1C2+«*EQn口2EGn。21r可onjLo00An陵0建1ncnon一M000n0000其中矩阵Ai=zj=0AjQ，,Ci=00*0孙0为m阶数量:方阵,i=0,1,.,n0000叫一i2j=en1,i-1,j=0,1,.,n类似地由定理2可以得到下面的推论，推论中D,和帆所表示的意义均和定理2相同。n推论3.1对于广义循环矩阵D,我彳门有detD=口detQk).i=0推论3.2广义循环矩阵D可逆的充要条件是矩阵A均可逆，