幂函数的图像性质和应用

1、分数指数幕事函数m正分数指数幕的意义是:负分数指数幕的意义是:annama0,m、nN,且n1m1an=a0,m、nN,且n1nma1、幕函数的图像与性质幕函数yxn随着n的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质11一一,一一一和图像分类记忆的方法.熟练掌握yxn,当n2,1,1,3的图像和性质,23列表如下.从中可以归纳出以下结论:它们都过点1,1,除原点外,任何幕函数图像与坐标轴都不相交,任何幕函数图像都不过第四象限._11a,1,1,2,3时,幕函数图像过原点且在0,上是增函数.32_1,一一一一一、,一一,一,一一a1,1,2时,幕函数图像不过原点且在0,上是减函数.2(1)所

2、有的幕函数在(0,+8)都有定义,并且图象都过点(1,1)；(2) a>0时,幕函数的图象都通过原点,并且在0,+°°±,是增函数(3) a<0时,幕函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.规律总结1 .在研究幕函数的性质时,通常将分式指数幕化为根式形式,负整指数幕化为分式形式再去进行讨论；2 .对于幕函数y=x,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即<0,0V<1和>1三种情况下曲线的根本形状,还要注意=0,±1三个曲线的形状；对于幕函数在第一象限的图象的大致情况

3、可以用口诀来记忆：“正抛负双,大竖小横,即>0(月)时图象是抛物线型；<0时图象是双曲线型；>1时图象是竖直抛物线型；0V<1时图象是横卧抛物线型.2、幕函数的应用例1、幕函数yxm(m、nN,且m、n互质)的图象在第一,二象限,且不经过原点,那么有(A)m、n为奇数且m1n(B)m为偶数,n为奇数,且(C)m为偶数,n为奇数,且(D)m奇数,n为偶数,且例2、右图为幕函数y在第一象限的图像,那么a,b,c,d的大小关系是(A)abc(B)b(C)abd(D)a例3、(D(3)解：取x由图像可知:比拟以下各组数的大小:111.53,1.73,1;2、.23102'

4、;7(2)37;1.1解：(1)底数不同,指数相同的数比大小,可以转化为同一幕函数,不同函数值的大小问题.1yx3在0,上单调递增,且1.71.51,11.1.731.531.(2)底数均为负数,可以将其转化为3373yx7在30,33V57.上单调递增,且.每73772即日.5.33、寸3.27,(3)先将指数统一,底数化成正数.即:71022T0,107上单调递减,1.211077101.11.21,7101.1点评：比拟幕形式的两个数的大小,一般的思路是:(1)假设能化为同指数,那么用幕函数的单调性;(2)假设能化为同底数,那么用指数函数的单调性;(3)假设既不能化为同指数,也不能化为同

5、底数,那么需寻找一个恰当的数作为桥梁来比拟大小.11例4、假设a1332a3,求实数a的取值范围.11分析：假设x3y3,那么有三种情况x0y,yx0或0yx.解：根据幕函数的性质,a10a10a10,、,、有二种可能：或32a0或32a032a0a132aa132a解得：a,1U2,3.322例3.幕函数yxm2m3工mZ)的图象与二虹y轴都无交点,且关于原点对称,求m的化2解：:幕函数yxmm(mZ)的图象与x轴、y轴都无交点,.2m2m30,1m3;:mZ,a(m22m3)Z,又函数图象关于原点对称,m22m3是奇数,m0或m2.例4、设函数f(x)=x(1)求它的反函数；(2)分别求出

6、(x)=f(x),f1(x)>f(x),f1(x)<f(x)的实数x的范围.1解析：(1)由y=x3两边同时开三次方得x=3/y,f1(x)=x3.1(2)二函数f(x)=x3和尸(x)=x3的图象都经过点(0,0)和(1,1).,f1(x)=f(x)时,x=±1及0;在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知f1(x)>f(x)时,x<1或0<x<1;f1(x)<f(x)时,x>1或一1<x<0,点评：此题在确定x的范围时,采用了数形结合的方法,假设采用解不等式或方程那么较为麻烦.21例5、#函数y=x5+2x5+4(x&

7、gt;-32)值域.1解析：设t=x5,二小?一32,.t?一2,那么y=t2+2t+4=(t+1)2+3.当t=一1时,ymin=3.函数y=x5+2x5+4(x>32)的值域为3,+).点评：这是复合函数求值域的问题,应用换元法.【同步练习】1,以下函数中不是幕函数的是A.yXxB.yx3C.y2x答案：C2,以下函数在,0上为减函数的是1,五2一3_A.yx3B.yxC.yxD.yx答案：B3,以下幕函数中定义域为xx0的是32B.yx2C.yx3d.y2A.yx3答案：D24.函数y=(x2x)12的定义域是A.x|xw0或xw2B.(oo,0)(2,+oo)C.(8,0)2,+

8、ooD.(0,2)解析：函数可化为根式形式,即可得定义域.答案：B15 .函数y=1x22的值域是C. (0,1)D. 0,A.0,+ooB.0,1解析：这是复合函数求值域问题,利用换元法,令t=1x2,那么v=-1<x<1,0<t<1,0<y<1,答案：D26 .函数y=x5的单调递减区间为()A. (8,1)B.(8,0)C.0,+ooD.(OO,+OO)2解析：函数v=X5是偶函数,且在0,+8)上单调递增,由对称性可知选B.答案：B11_7 .假设a10、讨论函数y=x5的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.2思路：函数v=x5是幕函数

9、.<a2,那么a的取值范围是()A.a>1B.a>0C.1>a>0D.1>a>0解析：运用指数函数的性质,选C.答案：C8 .函数y=J(15+2x-x2)2(1)要使y=x5=5/7有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为R.(2).xR,.,.x2>0.,.y>0.(3)f(x)=R(一x)2=5x2=f(x),的定义域是.解析：由(15+2xX2)3>0.-15+2x-x<20.-3<x<5.答案：A一1,、.,、,一,一一,9 .函数y=2mm2在第二象限内单调递增,那么m的最大负整数是xmm解析：m的取值应

10、该使函数为偶函数.故m=1.答案：m=1函数y=x5是偶函数；(4).n=2>0,52幕函数y=x5在0,+上单调递增.2由于幕函数y=x5是偶函数,2幕函数y=x5在(,0)上单调递减.(5)其图象如以下图所示.12.函数y=.15-2x-x2.(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间.解析：这是复合函数问题,利用换元法令t=15-2x-x2,那么v=纸,(1)由152xx2>0得函数的定义域为5,3,；t=16(x-1)20,16.函数的值域为0,2.(2)二函数的定义域为5,3且关于原点不对称,函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)二.函数的定