幂零矩阵性质及应用

1、幕零矩阵性质及应用数本041严益水学号：410401109摘要:幕零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幕零矩阵的相关性质。幕零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幕零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幕零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。关键词：幕零矩阵若当块特征值幕零指数一、预备知识（下面的引理和概念来自高等代数解题方法与技巧李师正高等教育出版社、高等代数（第二版）北京大学数学系几何与代数教研室

2、代数小组高等教育出版社、高等代数选讲陈国利中国矿业大学出版社及高等代数习题集（上册）杨子胥山东科学技术出版社）（一）一些概念1、令A为n阶方阵，若存在正整数k,使人1<=0,A称为幕零矩阵。2、若A为幕零矩阵，满足Ak=0的最小正整数称为A的幕零指数。an13、设A，称A=为A的转置,为A的伴随矩阵Ann；其中Aj（i,j=1,2,工）为人中元素前的代数余子式4、设A为一个n阶方阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记为trA5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。6、形为九00、1人0J(九,t)=：500九0、001的矩阵称为若当块，其中人为复数，由若干个若当块组成和准对

3、角称为若当形矩阵。7、f(I)=|，1EA|称为矩阵A的特征多项式。满足f伍)=刖-川=0的大的值称为矩阵A的特征值。8、次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。(二)、一些引理.，一、一、.、一一.r*引理1:设A,B为n阶万阵，则(AB)=B'A',(AB)=BA引理2:f(K)=|九E-A,mA(7J分别为矩阵A的特征多项式和最小多项式，则有f(A)=0,mA(A)=0。引理3:每一个n阶的复矩阵A都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形。引理4:若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。引理5:n

4、阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A和最小多项式无重根。引理6:相似矩阵具有相同的特征值。引理7:设几,，为n阶矩阵A的特征值，则有trA=%+%+%，A|=%九2九，且对任意的多项式f(X)有f(A)的特征值为f(A),f(%)，f®)。a、.一1,一，.一，.引理8:k阶若当块Jk=.的最小多项式为(x-a)k且有<1a)(Jk-aEf=Q引理9:矩阵匠最小多项式就是矩阵A的最后一个不变因子。引理10:A,B为n阶复数域上的矩阵，若AB=BA,则存在可逆矩阵T,使得TJBT=TJAT=引理11:任意n阶A,B方阵，有tr(AB)=tr(BA)。二、哥零矩阵的性质(下面

5、的性质来自高等代数解题方法与技巧李师正高等教育出版社、高等代数(第二版)北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等教育出版社、高等代数选讲陈国利中国矿业大学出版社、高等代数习题集(上册)杨子胥山东科学技术出版社、关于幕零矩阵性质的探讨谷国梁铜陵财经专科学校学报、幕零矩阵的性质及应用韩道兰罗雁黄宗文玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幕零矩阵的十一条性质)性质1:A为幕零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为00证明：二丫A为幕零矩阵-.3keZ+s.tAk=0令为A任意一个特征值，则3a=0,s.tA=九p由引理7知，K为Ak的特征值.-.3P#0stAkP=KP从而有九0k=0即有九0=0kk又有

6、A=0,知0=A=|a|=|a|=0:0*E-A=|A=(1|A=(k1)=00二%=0为A的特征值。由%的任意性知，A的特征值为0ou丫A的特征值全为0,A的特征多项式为f(?，.)=RE-A|=，J由引理2知，f(A)=An=0所以A为幕零矩阵。得证性质2:A为幕零矩阵的充分必要条件为VkZ+trAk=0。证明：二丁A为幕零矩阵，由性质1,知：A的特征值全为0即=%=0由引理7,知Ak的特征值为%；=K2k=九nk=0从而有trAk='1k'2knk=0u由已知，VkeZ+trAk=九1k+九2k+九nk=0(1.1)令心，,，为A的不为0的特征值且九互不相同重数为ni(i

7、=1,2,t)由(1.1)式及引理7,得方程组nAi十"%+nJ”=0222nAi十%人2+n/t=0(1.2).3.3._34niin22ntt=0n；n22tnttt=0由于方程组(1.2)的系数行列式为二12证明：A为寻零矩阵,由引理3,知T'AT=又(i=1,2,t)互不相同且不为0,二B#0从而知，方程(1.2)只有0解，即小=0(i=1,2,t)即A没有非零的特征值二A的特征值全为0,由性质1,得A为幕零矩阵得证性质3:若A为幕零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幕零若当块，且J和主对角线上的元素为0由性质1,知A的特征值全为0在复数域上，存在可逆矩阵T,使得J2

8、*Js，一1.其中Ji=*.阶数为n4i=1,2，s)<1九i由引理4,知(i=1,2,，s)为J和特征值又A与J相似，由引理6,知A与J有相同的特征值所以=0(i=1,2,s)即J的主对角线上的元素全为0由引理8,知(Ji-0E=4")=0i=(1,s,J1J2,，Js为幕零矩阵得证性质4:若A为幕零矩阵，则A一定不可逆但有|A+E|=1,|E-A=1证明：A为幕零矩阵，,-,3keZ+stAk=0kk0=A=|a|=|a|=0A一定不可逆由性质1,得A的特征值为=、.2="-=Kn=0由引理7,得A+E,E-A的特征值分别为11=2=n=01=1,1-2=n=一1

9、二0且有|AE=；：一二=1"=1nnEA=九1A2¥g儿n=1=1即|A+E|=1,|EA=1得证性质5:若A+E为幕零矩阵，则A非退化证明：令九1,%,5n为A的特征值若A退化，则有IA=0由引理7,得闾=%九2gg人=0二至少存在九i=0为A的特征值0又由引理7,得"十1=1手明A+E的一特征值这与A+E为幕零矩阵矛盾得证A为非退化性质6:若A为幕零矩阵，B为任意的n阶矩阵且有AB=BA,则AB也为幕零矩阵证明：A为幕零矩阵;3keZ+s.tAk=0又AB=BA(ABf=ABk=0Bk=0二AB也为幕零矩阵得证性质7:若A为幕零矩阵且Ak=0,则有(E-A)

10、/=E+A+A2+Ak/J1112k1k(mEA)E2A3A(-1)kA(m=0)mmmm证明：Ak=0.E=E-A=EA2k1=(E-A)(EAAA)即(E-A)=EAA2Ak任意m#0,有kkkkAkmE=mEA=mEA=mE()mA112=m(E)EA2Ammm112k-11k.1=(mEA)(1A2AY11kA)mmm(T尸4Ak)=Em(-1)k-A1)1111o即有(mEA)(E1A2A2mmm1112(mEA)=(E1A2Ammm=旦-口A±A2(-1)k-1j-7Ak-1mmmm性质8:若A为幕零矩阵且A*0,则A不可对角化但对任意的n阶方阵B,存在幕零矩阵N,使得B

11、+N可对角化证明：:A为幕零矩阵,3kZ+s.tAk=0且A的特征值全为零入E-A=Kn为A的特征多项式且f(A)=An=0令mA（九）为A的最小多项式，则有mA（%）|f（1）从而有mA()=k0(1三ko<n)由于A#0，,k0>1,又止匕时mA()=kok0_2即A的最小多项式有重根，由引理5,知A不可对角化丁B为n阶方阵由引理3,知在复数域上，存在可逆矩阵T,使得一，1其中Ji=.二阶数为n4i=1,2,，s)<1'i)令Di=阶数为ni(i=1,2,，s)+.1则有Ji=JDi="*.阶数为n#=1,2,，s)<10由引理8,知（jJ-0Ej

12、=（J）需=0即J；为幕零矩阵（i=1,2,，s）f.J11F现令J'=J2,D=Ds；FIJsJ'T4BT=J2J2+D2-JDJs+DsJ1,1.1即B=T(JD)T=TJTTDT(1)又D为对角阵，由（1）式知BTJT,=TDT可对角化令N=-TJT且取k=max(n1,n2,ns）则有J1kT/=()kT0T=0证明；令A为n阶幕零矩阵由性质3知，存在可逆矩阵T使得J1TJAT二J2其中Ji=阶数为n"i=1,2，,s)且(JJ,=0±n(i=1,2,取k=max(n1,n2,且有J1Ak=(TJ2T4)k=TJ2kT'=T0T'=0

13、"(1.5)Nk=(-TJT)k=(-)kT(J)kT=(-)kT即有B+N可对角化且N为幕零矩阵得证性质9:n阶幕零矩阵的幕零指数小于等于n且幕零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数JsJsk即Ak=0若令k。为A的幕零指数，则ko<k<A%=0若k0<k,则节。s.t>k0且Jik0二0由（1.5）式，得k0Ak0=(TJ2T-)k二TJ2kT，¥0Jsk0,这与Ak0=0矛盾k0=k<得证性质10：与幕零矩阵相似的矩阵仍为幕零，且幕零指数相同并相似于严格上角形证明：令A为幕零矩阵，则A的特征值全为0若B与A相似由引理6,得A与B有

14、相同的特征值，B的特征值也全为0,由性质1,知B也为幕零矩阵A为幕零矩阵由性质3知，存在可逆矩阵T使得J1T,AT=JJsJ其中Ji二且（Ji户=。1-ni10;阶数为ni(i=1,2,，s)Mn(i=1,2,s,由性质9,知kA=max（n1,n2；，ns）为A的幕零指数又A与B相似,A与J相似从而有B也与J相似J1二3可逆矩阵P使得P,BP二J二J2又由性质9,知kB=max(n1,n2；,%)为B的幕零指数从而有kA又Ji10>（i-1,2,s为严格上三角Ji'J2J=2.也为严格上三角形<Js)即A,B都相似于严格上三角形J得证性质11:若A为幕零矩阵，则A,A，A

15、,mA(mwZJ都为幕零矩阵，特别有(A)2=0证明：丁A为幕零矩阵3k=Z+s.tAk=0由引理1,知(A'f=Ak)'00(A/=Ak)=00(-AN(ikAk=-(1)=0二A',A*,A都为幕零矩阵(mA)k=(m)kAk=(m)k0=0mA(mzZJ也为哥零矩阵又A为幕零矩阵|A=0即r(A)Mn-1若r(A)<n-1,则有A的所有n-1阶代数余子式都为0则有A*=0从而有(人*)2=人"=0若r(A)=n-1,则由性质3知，"1T'AT=Jk01,其中Ji=1.存在可逆矩阵T,使得J2*Js/阶数为ni(i=1,2,，s)且

16、r(Ji)=ni-1、10，又显然A与J,所以有r(A)=r(J)=，r(J)=v(坨-1)="ni-s=n-s=n-1i1i=1i10、1_1',s=1即有TAT=J=.=B(1.3)<10J10(-1严又B*=.:,(B*f=0I0)由(1.3)式及引理1,知A*=(TBT/)*=(T/)*BT*(A*)2=(T)*B*TT=(T)*(B*)2T*=0得证三、关于哥零矩阵性质的简单应用(一)、特殊哥零矩阵(来自高等代数解题方法与技巧李师正高等教育出版社)1、A为实对称矩阵且A2=0,则有A=0证明：令人=但U卜而，则由A实对称二A'=Ann且A2=AA八&#

17、39;aj2=0i=1j=1又a.为实数aj=0i,j=1,2,n即A=02、所有n阶幕零指数等于其阶数的幕零矩阵都是相似证明：令A为n阶n次幕零矩阵即An=0Ak=0(k<n)二A的最小多项式mA(九)=n又A幕零矩阵二A的特征值全为0二A的特征多项式为f(九)=KE-A=Zn=Dn(九)由引理9,知dn（九）=mA（儿）=7一DJ）°又dn（）Dnq（）=1Dn（）从而有心（）=d2（）=5（）=1所以所有的n阶n次幕零矩阵的不变因子都是1,1；，1,小所以所有n阶幕零指数等于其阶数的幕零矩阵都相似3、所有n阶n1次幕零矩阵相似（n-1为幕零指数）证明：令A为n阶n1次幕零

18、矩阵，则An'=0Ak#0（k<n-1），A的最小多项式mA（7J=九n/又A幕零矩阵，A的特征值全为0二A的特征多项式为f（九）=|儿EA=Dn（九）又dn（）=门：）='nDn（）=Dn（）又f（九）=|九E-A=/=d（九）dz（?）dn（K）从而有dn（）=dnJ）=d?（）=4（）=1所以所有n阶n-1次幕零矩阵具有相同不变因子1,1,，1/一,/所以所有n阶n-1次幕零矩阵都相似思考：所有n阶n-k次幕零矩阵可分为几类（相似归为一类）？由于矩阵相似等价于它们不变因子相同，所以我们要找所有n阶n-k之0次幕零矩阵可分为几类即可找所有n阶n-k次幕零矩阵不变因子可

19、分几类。又由于n阶幕零矩阵的不变因子都是九m（m>0）,因此只需找k分成n-1份且满足每一份的数小于等于n-k并且这些的和等于k有多少种分法。猜想：这个问题就是求n个盒子n个球，盒子编号为1,2，n,且第一个盒子的球数为n-k之0个，并且满足第i+1个盒子的球数小于等于第i个盒子的球数，总共有多少种放球的方法（每个盒子的球数为0,1,2,，n-k中任一数且不同盒子球数可相同）。我想是否可通过编一个程序来求出具体数据，通过对数据的分析得出n、k与放球方法之间的关系（由于知识有限未能完成这个工作，但作为数学问题这是必要的，希望在经后的学习中能有进一步的认识）。对这个问题的思考得出以下结论：n

20、阶幕零矩阵A（k为一些特殊的数据）（采用排列组合的思想只是做了一些简单的归纳）A=0：只有一类A2=0:分为两种情况：当n为偶数时有U类2当n为奇数时有一类A3=0：分为两种情况：当n为偶数时又分为三种情况k当n=3k时，有工-1(-1力9n-3i22类2k当n=3k+1时，有£i1i-1(")12n-3i22类2k当n=3k+2时，有£一-1(-Diln-3i(U22+2类2当n为奇数时又分为三种情况当n=3k时，-1-(i11入kn-3i(2有'、2i12k当n=3k+1时，有£T(T)i1n3i()22类2k当n=3k+2时，有工i1n-3

21、iL("122An，=0:只有三类An，=0:只有两类（这些结论是我自己归结出来的，本想找相关资料验证但没找到，所以正确与否不可知，今后若能找到这一部分的内容再做进一步的补充）An'=0:只有一类An=0:只有一类（二）、有关哥零矩阵的应用（例题来自高等代数解题方法与技巧李师正高等教育出版社及幕零矩阵的性质及应用韩道兰罗雁黄宗文玉林师范学院学报）i11、设n阶方阵，求证：(1)存在kwZ.使得r(Ak)=r(Ak*)=r(Ak*)=(2)存在kwZ+，而且iwkwn,r(Ak)=r(Ak*)=证明：(1)、由引理3,知在复数域上,三可逆矩阵T使得JiJtJt1(1.4)其中J

22、i阶数为nii-1,2,s令Ji,J2,，Jt为=0的若当块i=1,2；,tJt/Jt*,Js为#0的若当块i=t+1,t+2,s01-1-/日由于Ji=+.由引理8,得<10)(Ji)'=0且(Ji)V#0i=1,2,tr(J)i=0r_k=man«,n2,nt)i=1,2,tJi=九/#0即Ji可逆i=t+1,t+2,si=t1,t2,s.VrwZ+(J)：#0有r(J：)=r(Ji)=m由(1.4)式，知A与J相似，且J1P(TqAT)P-T'APT-T'JtpTVp三Z+JsP从而，得Ap与Jp相似,综上可得，r(Ak)=r(Jk)Cr(Jik)

23、=、r(Jk)=vr(Jikp)即得证且卜二max(n1,n2,nt)-pZr(Ak)=r(Ak1)=二r(Aks)(2)、由(1)知，3k=max(ni,n2,nj使得r(Ak)=r(Ak1)=r(Aks)=又已知1m5mni=1,2,t1<k<n得证特别当r(A)=r(A2)时，可得r(A)=r(A21)=r(A3)=r(A4厂2、A,B为n阶方阵，B为幕零矩阵且AB=BA,则有A+B=|A证明：由引理10,在复数域上，存在可逆矩阵T,使得2又B为幕零矩阵所以B的特征值全为0,00T4(AB)T=T1AT、不T"(A+B)抬T|又T可逆T¥0）i由T,AT=

24、由引理7,得A=斯互L3n从而得证|AB|=网=r-2'n3、A为n阶方阵，求证A=B+C,B可对角化，C为幕零矩阵且证明：由性质3,知存在幕零矩阵N,使得A十N可对角化BC=CB即存在可逆T,使得T(A+N)T即有A=TDT（-N）由性质11,知N幕零矩阵则-N也幕零矩阵又TDT与D相似，,TDT/可对角化令B=TDT/C=-N,则有A=B+CB=TDT，可对角化C=-N为幕零矩阵又丫D为对角阵BC=TDT4C=TTDC=DC=CD=CDTT'=CTDT=CB得证4、A,B,C为n阶方阵,且AC=CABC=CBC=AB-BA,证明：存在证明：由于AC=CABC=CBC=ABB

25、A,Cm=Cm"（AB-BA）=C"AB-C"BA二A（Cm加）-（BC"）A=a（c"b）-（c"b）a由引理11,得tr(A(Cm'B)=tr(BCm,)A)tr(Cm);tr(A(Cm'B)(BCm)A)=tr(A(CmB)一tr(BCm)A):0由性质2,得C为幕零矩阵由性质9,知三kMn,stCk=0得证5、在复数域上，n阶方阵A相似于对角阵等价于对于A的任一特征值九，有A-1E与（A-KE）2的秩相同。证明:=因为A对角化，则存在可逆矩阵T,使得TAT=从而有n/(1-)2(2-)212T(A-E)T=所以T（AKE）T与T（A九E）2T相同即A九E与（A九E）2的秩相同u由于在复数域上，存在可逆矩阵T使得T4AT二J21,其中J=工1JsJ阶数为ni(i=1,2,，s)若Ji（i=1,2,，s）不全为对角阵，则不妨令J1不可对角化，且有n>1,有0、1 JiEg=.<1力0（Ji-EJ2=1二+*.+<100>从而知JiEg的秩大于（J1-En1）2的秩，即有T（A九E）T的秩大于T,（A九E）2T的秩也即A-Z