大二线性代数复习资料2

1、11.矩阵A=3109级线性代数（A）阶段练习题（二）、填空题1-3-1144,WJR(A)=2.5-9-8j1解：A=3u'11-304-6工000-1、-7,R(A)=2.0122、2.设A=4t3,8为三阶非零矩阵，且AB=O/h=3.3一11>1解：A定非可逆阵，因此A=432-2t3=7t+21=0,二-11t=-3.3.若四阶矩阵A的秩R（A）=2,则R（A*）=0.（见证明题5）4.已知向量组%,口2,%,%线性无关，用=%+32+%邛2=口2+0（4?3=2汽2+k«3+%,久=k«2-2«3+«4,则当k=2时,月也也总线

2、性相关.解:1000、RRRR1k2k(白,久，户4)=(%,%,%,%)10k2Hs1,%P3P4)K,10111若矩阵K非奇，则九P2,P3,P4线性无关.而10001K=10k2k=0k-2=2(k-2)=0,二1115.若向量组%,4,%线性无关，则向量组%+2%+3%,%+2%,外线性无关.解:1而K|=236.若向量组%,%,%,«4线性无关,向量组1-：2,：2：3>：3-：4)：4-：1100'(a1+2a2+3c(3,口2+2c(3,口3)=(口1,62,c(3)210口23,0010=1=0,K为非奇矩阵，故向量组由+2a2+3«3,a2+

3、2»3p321线性相关.解:2,：2.13,13.14,14.：1P1：-1,12,二3,：4其中K0(,+o(cetc+o(c0(c12，23，310=11=0，故向量组7.向量组必=(1,1,犷；2=(2,0T,1)3尸5当）,C时气可由«1,«2线性表示.“2线性无关,只有当向量组M,：-2,：3线性相关时=3可由；1，12线性表示.此时OLOLOL1,2,33=2-5-2t=0,t=-一28.线性方程组偿4x3+6x43x26x3-9x4二0的基础解系为1=2-210-330<1解：对方程组的系数阵进行初等变换20461036-9,12-232-3原

4、方程组与,=2x3一”4同解,x?2x33x4x3<x40、,可得方程组的基础解析。=(2-210T,G=(3309.四元方程组Ax=b中R（A）=3，-1,-2,：3是它的三个解.其中%=(2,0,3,2)T,2s2+3s3=(5,8,8,4)T,则方程组Ax=b的通解为c-58-7一62、032解：R（A）=3,Ax=0存在基础解系（只有一个线性无关的解向量）.A(2：23：3-5：1)-2A：23A：3-5A：1-2b3b-5b-0223：3-5：15、881001510-58-7.电是Ax=0的基础解系.Ax=b的通角单为c-5、87L6j2、03a10.向量空间V=x=(0,x

5、2,）,区：不亡刈的维数是n-1.、选择题1.下列矩阵中（C）是初等矩阵.(A)10<0；(B)1-4；(C)0/10<00-41；(D)10<0,i=1,2,3,4,矩P$A=a1bla2bla366a1b2a2b2a3b2a4b2址a2b3a3b3a4b3ab,a2ba3b4a4b4)的秩R(A)=(A).(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.事实上A=a2(bb2b3b4),R(A)=1.a3la43 .向量组3，的,%,口4线性无关，以下(D)组向量线性无关.（A）：1：2,：2二3,二3二44L；（8）1-122-二3，-二4，二4-。1；(C)：-1'：

6、-2,二2,二3；3-14,1；(D)：1二2,二2二3314J4一二110011100=。,01100011100-1-1100=0,0-11000-1110011001100-1-1001=0,=1+1=2.因此应选(D).100110011001-1001口2-。3,尾=九%-冈也线4 .向量组%，%,%线性无关，4=%-二2，久性无关，则九,t满足（B）.(A)"(B)-二t;(C)*=t=1;(D)=2t.事实上（-）=（：,，231001-1t0=九1#0,即九#t.故应选（B）.123、5.矩阵Q24t,P为三阶非零矩阵且PQ=O,则有（C）69冈=6时，町）=1;(B

7、)t=6时，R(P)=2;(C)t=6时，R(P)=1;(D)t:6时,R(P)=2门23、将矩阵P按列分块为P=(r,访，p3),Q24t,PO.当t=6时e6%R(Q)=1,R(P)可以是1,也可以是2.(A)、(B)断言R(P)=1或R(P)=2并无依据.当t#6时，R(Q)=2.Q的诸列均为Px=0的解，其一、三列线性无关，即Px=0有两个线性无关的非零解，当有R(P)<1;又因P#O，又有R(P)之1,因此必有R(P)=1.选(C).6.齐次线性方程组Ax=0(A为m父n矩阵)仅有零解的充分必要条件是(B) .(A)A的列向量组线性相关；(B)A的列向量组线性无关；(C) A的

8、行向量组线性相关；(D)A的行向量组线性无关.事实上(A)、(C)、(D)可能无解.x1-2x2+x3+x4=07.齐次线性方程组2Xi-X2"X3=0的基础解系中有()线性无-2x1+4x2-2x3-2x4=0关的解向量.(A)一个;(B)两个;1-2112-1-10-24-2-2、3-3013x1-3x2x4(C)三个;1-20300001-300(D)四个.1-200,n=4,R(A)=2,因此基础解系中有两个线性无关的解向量，选(B).8.设有线性方程组Ax=b(1)和对应的齐次线性方程组Ax=0(2)则必有(B).(A)若(1X无穷多解则仅有零解；(B)若(1双有唯一解则仅

9、有零解；（C）若（2）有非零解则有无穷多解；（D）若（2）仅有零解则有唯一解.9.已知n元线性方程组Ax=b，系数阵的秩R（A）=n2,%,外,5是方程组线性无关的解，则方程组的通解为（D）.（c1,c2为任意常数）(A)g(%口2)+C2(c(2+%)+%;(B)q(%3)+G2+口3)十口3；(C)G(：2-飞)G(：3二2)二工2;(D)G(：2-：3)C2(：2一：1)二，3.10.由R3的基"J,、到基巴=12.%,二2二>二23,过渡矩阵为（D）.(A)110-1I13-1；(B)0-11-13；(C)-21<02-1；(D)-101-1、计算题解:<0

10、1-3-207-5,求矩阵A的秩,写出A的一个最高阶非零-3-20-500I。11-3-226一4-1327-50-10071614J<0-100(*)由(*)知R(A)=3.A的1,2,4行1,2,50；列所在的三阶子式-30-502.给定向量组:%=(1,2,3,1)T,«2=(3,-1,2,-4)T«3=(-1,2,1,3)T,：4=(-2,3,1,5):5=(2,1,5,4).(1)求向量组%，%,%,%,%的秩，并判断该向量组的线性相关性;(2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量用最大无关组线性表示.解:(：1,：2,13,：4,丁)1233-12-4

11、-1213-2315215400<03-7-7-7-1444-27772-3-1200<03-700-1400-27002、-3250<0由(*)-14-20<0574700-1(*)支3,口4,%)=3,向量组线性相关.-1,-2,-5是向量组的一个最大无关组，且有:54：3二711-7：2；：4二】1-123.已知%=(1,0,2,3)t,%=(1,1,3,5)T,%=(1,1,a+2,1)T,:4二(1,2,4,a8)t=(1,1,b3,5)t,(1)当a,b为何值时，P不能表示为%,4,%,口4的线性组合;当a,b为何值时，P有口1,：-2,二3,口4的唯一线性

12、表达式,写出该表达式.解：设A=(%,%,%,%),(A)=,10211b+35<0(1)当a=-1,b¥02-1-1201b12(*)1-1a-2时，R(A)=2*3=R(A,P),方程组11b+12Ax=P无解.故。不的线性组合.(2)当a#1时,R(A)=4=R(A,P)，方程组Ax=P有唯一解.由Cramer法贝可得：x1=b,x2a1一线性表达式：a+b+1,x3=,x4=0.止匕时P有%,u2,a3,a4的唯a1a-1一七14.设A='2-213-528解：设%=(2,-1,1,3)t，求一个4m2矩阵B,使AB=O,且R(B)=2.,二2=(9,-5,2,

13、8)t,A=rt、%T产2JAx=0的解.2-2-52-2<133-2-4-8511与（*）对应的方程组为x1x2-258-411818581811(*)18x358x31一不11/4令伫0、,得到方程组的基础解系p1=(,°,1,o)t,P2=(,0,1)T,显然p1，P2线性无关，令888812B=(p1,P2),R(B)=R(p1,22)=2，且有AB=O.5.向量组%,4,«s线性无关,打=11.%一=123,试讨论向量组用，灯,，儿的线性相关性.解:设有数匕入,，ks使得k+k2P+ksPs=0,即有:(k1ks)：1(k1*2)：2gkJ：s=0.由于%,

14、%,，1Ms线性无关，故必有k1+ks=0k1+ks=0.：一(*)k1+ks=0方程组(*)的系数行列式100s+2,当s为奇数0=1+(-1)=«:()0,当s为偶数110D=011aaa000当s为奇数时，D=2#0,方程组(*)只有零解，k,k2，ks必全为零，向量组固，灯,，久的线性无关；当s为偶数时，D=0,方程组(*)有非零解,即存在不全为零的数k,k2,，K使(也+k2P2+KPs=0,向量组?1,用，久线性相关.2x1-3x2-2x3x4=0的通解.6.用基础解系表示方程组3x1+5x2+4x3-2x4=08x17x26x3-3x4=0解:对方程组的系数阵施行初等行

15、变换23<8-357-2461-2-321<0-3819-26141-3-78-1906-140-370614190-37190)X1219141901197190(*)(*)所对应的方程组为，X2:X22一x31914一x3191X19工羽x19与原方程组同解.令得到基础解系：，=(-,-4,1,0)T,-2=(,0,1)T,原方19191919程组的通解为：x=g+C2。（G,C2为任意实数）.X12x2x32x4=17,用对应的齐次方程组的基础解析表示方程组22x1+4x2+x3+X4=5的_x-2X2_2X31X4-4通解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换(A,b)=1

16、5-53411-1-6-528142-4-2-314711-56-28-52170-312011-29717012120-2(*)由(*)知R(A)=R(A,b)=2,方程组有解.IXX.X1-（*）所对应的方程组为91X3X4172，令X"1x3-1x4-272X3<X40、,得到方程组的特解91X=-X3X4*=(1,-2,0,0)t,原方程组所对应的齐次方程组与72同解.令11X2=-X3-X472、X3,得到对应齐次方程组的基础解系,0,1)T91T11=(一7,7,j),2=(2,一2原方程组的通解为:X=*C11-C22（q,C2为任意实数）.8.给定线性方程组3X

17、i+X2X32X42Xi5x242X3+X4=12x+6x2-3x3-3x4=a+1x1一11x2+5X3+4X44当a为何值时方程组有解？在有解的情况下，求其全部解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换(A,b)=100i0312-11-56-11-51600当a=2时，R(A)Xi二X31人为程组与x2础解系:-12-35-21-342-1a1-4100<0-51616-162-7-771-5-55-15a3-52-7001-500-15a-20R(A,b)X3X4161675x2-16x3+16,得到方程组的特解3=-x3167二一X316X4&X416同解，令2X,X41

18、6原方程组的通解为:0<03167160091651600916516a-20(*),方程组有解.（*）对应的方程组为旦165十16916<X4)力争，0）,20)T与原方程组对应的齐次方1得到对应齐次方程组的基xuM+c+a与（G,Q为任意实数）.916,江1)Tx1+x2+2x3+3x4=19 .当a,b取何值时，线性方程组/l+3x2+6x3+x4=3无解，有唯一解,3x1x2ax§*15x4-3x5x210x3+12x4=b有无穷多解？在方程组有无穷多解时，用对应的齐次方程组的基础解系表示方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(A,b)=11123V3

19、613-1-a153-5-1012b.1123024-20-4-a-669-6-129120b-171123012-10-a-669-6-129110b-1.1004012-100-a+2210003(*)当a#2时，R(A)=R(A,b),无论b取何值,方程组有唯一解.当a=2,b#1时(*)=00<0010002004-110012b!此时R(A)=3=4=R(A,b),方程组无解.当a=2,b=1时,(*)=100<0010002004T100120100<0010002000010与320为-8R(A)=R(A,b)=3<4,方程组有无穷多解.此时原方程组与也=

20、3-2x3同解，令凡=2x3=0,得到方程组的特解：”*=(-8,3,0,2)T.与原方程组对应的齐次方程组与Xx1=0&=-2x3同解，令x3=1,可得基础解系：巳=（0,2,1,0）T.x4=0方程组的通解为：x=4*十金（c为任意实数）.10 .已知R3的两个基为二32、3,4,J3、B3=4求由基必,电，分到基h%P3的过渡矩阵P.解：设A=（%,%,4）,B=（A,均，A）,A,B的列向量组是两个基，因此矩阵A,B均为可逆矩阵.设（也，艮，久）=（%乌尸3尸，过渡矩阵P=A,B.11231-1-1-10020111123、(A,B)=100234口11143,10023011

21、-1-1100220x00234、0100-101001101,234"因此从基%,%,%到基1,%豆的过渡矩阵P=0-10101/四、证明题1 .设A为列满秩矩阵，AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.证：若巴是Bx=0的解，当有B：=0,于是Ct=A（B）=A0=0.这说明Bx=0的解必为Cx=0的解；若n是Cx=0的解，A（B"）=C"=0,矩阵A列满秩，由（P77定理4的逆否命题）方程组Ay=0只有零解，即B"=y=0,说明Cx=0的解也是Bx=0的解，因此线性方程组Bx=0与Cx=0同解.2 .设A为mn矩阵，证明方程AX=Em有解的充分必要条件是R（A）=m.证：由于R(A,mE=)m根据P77定理6方程AX