偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)2分享资料

1、1/17偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法 7抛物型方程差分法抛物型方程差分法2差分格式稳定性概念差分格式稳定性概念显、隐格式稳定性分析显、隐格式稳定性分析稳定性分析的矩阵方法稳定性分析的矩阵方法2/17xt2/hr 抛物型方程抛物型方程kjkjxkjkjfuhauu 2221 kjkjkjkjkjfuuraurau )()21(11221),(222txfxuatu 简单显式差分格式简单显式差分格式在实际应用时在实际应用时, ,取逐层计算形式取逐层计算形式. .当初始层数据有误当初始层数据有误差时差时, ,误差会逐层传播误差会逐层传播, ,影响以后各层的解影响以后各层的解. .记记 的误差

2、为的误差为 , , 设设 无误差无误差, , 则有则有kjukj kjf)()21(11221kjkjkjkjrara 3/17)(21111kjkjkj 2/12 ra取取)()21(11221kjkjkjkjrara 设初始层上设初始层上, ,仅有仅有 , ,其它点处无误差其它点处无误差 00j在各计算层上在各计算层上, ,误差传播得到控制误差传播得到控制4/17)()21(11221kjkjkjkjrara 12 ra取取)(111kjkjkjkj 设初始层上设初始层上, ,仅有仅有 , ,其它点处无误差其它点处无误差 00j在各计算层上在各计算层上, ,误差传播没有得到控制误差传播没有

3、得到控制5/17无穷大范数定义无穷大范数定义双层差分格式双层差分格式记矩阵记矩阵双层格式的矩阵形式双层格式的矩阵形式kkkkkfuBuA )(1)(双层差分格式初值稳定概念双层差分格式初值稳定概念:kkkkBA )(1)( 任意解都满足任意解都满足|0kkM 其中其中 M 与与 无关无关. k k0 |max|1kjnjkuu kjnmkmkjmnmkmkjmfuu 1)(11)(nnkjmkA )()()( nnkjmkB )()()( 6/17简单显式差分格式简单显式差分格式)()21(11221kjkjkjkjuuraurau )(0jjxu 010 knkuu), 2 , 1(nj 稳

4、定性分析稳定性分析, ,设设2/12 ra|)|(| )21(|11221kjkjkjkjuuraurau |2|)21(22kkuraura |1kkjuu |1kCkuu此时差分格式稳定此时差分格式稳定7/17kkkkBA )(1)( 设齐次方程设齐次方程系数矩阵可逆系数矩阵可逆 kkkkBA )(1)(1 记记 称之为过渡矩阵称之为过渡矩阵 )(1)()(kkkBAH kkkH )(1 kkH 1常系数差分格式常系数差分格式H 的谱半径的谱半径:| )(|max)(1HHjnj 11)(MH 定理定理: 双层差分格式稳定的必要条件是双层差分格式稳定的必要条件是,存在与存在与 无无关的常数

5、关的常数 M1 ,使得使得 8/17定理定理 若若 H = A-1B 为正规矩阵为正规矩阵,即即 HH* = H*H, 则条件则条件 11)(MH 是双层差分格式按欧氏范数稳定的充分条件是双层差分格式按欧氏范数稳定的充分条件注：欧氏范数注：欧氏范数(或离散或离散L2范数范数)2/1120)(| njkjkuhu9/17简单显式差分格式矩阵形式简单显式差分格式矩阵形式kkkfuCraIrau )21(221)21(22CraIraH 过渡矩阵过渡矩阵特征值特征值 )1cos(2)21(22 njraraj nnrarararararara 2222222212121)1cos(1212 njra

6、 )1(2sin4122 njra 10/17过渡矩阵的谱半径过渡矩阵的谱半径 | )(|max)(1HHjnj |)1(2sin41|max221 njranj |1 |n 2ra| )(|2ra )(2ra 1)1(2sin4)1(2sin412222 nnranra 极值点满足极值点满足 212 ra11cos)1(2sin21)(22 nnra 显式差分格式稳定充分条件显式差分格式稳定充分条件. . 222/ ah 11/171122)21( khkhkhfuuCraIra 简单隐式差分格式矩阵形式简单隐式差分格式矩阵形式1212121 rarararararara特征值特征值 122

7、1cos2)21()( njraraHj 1)1cos1(21 njra 1)1(2sin41 122 njra 122)21( CraIraH过渡矩阵过渡矩阵12/17过渡矩阵的谱半径过渡矩阵的谱半径 | )(|max)(11HHjNj |)1(2/(sin411|max21 njranj 1)1(2/(sin4112 nra 隐式差分格式无条件稳定隐式差分格式无条件稳定. . 13/17C-N 格式矩阵形式格式矩阵形式 1222)1( kuCraIra)(22)1(122 kkkffuCraIra 1222)1( CraIraH2)1(22CraIra 特征值特征值 )1/(cos()1(

8、)1/(cos()1(2222 njraranjraraj )1(2/(sin21)1(2/(sin212222 njranjra 14/17过渡矩阵的谱半径过渡矩阵的谱半径 | )(|max)(1HHjnj |)1(2/(sin21)1(2/(sin21|max22221 njranjranj 1)( H C-N 格式是无条件稳定的格式是无条件稳定的. . 15/17数值实验题数值实验题 用三种差分格式求用三种差分格式求初边值问题数值解初边值问题数值解 0, 0), 1(), 0(10,sin)0 ,(0, 10,ttutuxxxutxuuxxt 并与准确解比较并与准确解比较 xttxu s

9、in)exp(),(2 显格式显格式kjxkjkjuhauu22211 隐格式隐格式122211 kjxkjkjuhauu C-N格式格式)(2112221kjkjxkjkjuuhauu 16/17数值计算实验数值计算实验00.20.40.60.810246x 10-5显格式显格式:input T:=1error = 7.9443e-006k = 200 CN格式格式input T:=1error = 2.6227e-006k = 5000.20.40.60.810246x 10-517/17T=input(input T:=);h=1/10;ta=1/200;r=ta/(h*h);s=1-2*r;x=0:h:1;N=length(x);t=0;uk=sin(pi*x);II=2:N-1;k=0;%显格式计算程