第四章正态分布与中心极限定理

1、4.1 正态分布4.1.1 正态分布的密度与分布函数正态分布的密度与分布函数4.1.2 期望与方差期望与方差4.1.3 标准正态分布的上分位点标准正态分布的上分位点4.1.4 正态随机变量的线性组合正态随机变量的线性组合14.1.1 正态分布正态分布密度函数密度函数X若连续型随机变量 的概率密度函数为2( ,).XGaussXN 则称 服从参数为 ， 的，或()正态分布高斯分布. 记为22()21( ),2xf xex(0). 其中 ，为常数2正态分布正态分布密度函数图密度函数图)( xfx o性质性质(1)(1)曲线关于曲线关于x = 对称对称. .(2)(2)当当x= 时取到最大值时取到最

2、大值. . (3)(3)固定固定 , ,改变改变 ，曲线沿，曲线沿ox轴平移；轴平移； 固定固定 , ,改变改变 , , 曲线变得曲线变得越尖越尖; ; 因而因而X 落在落在 附近的附近的概率越大概率越大. .3正态分布正态分布分布函数分布函数分布函数22()21( ),.2txF xedtxR )( xFx o15 .04标准正态分布标准正态分布N(0,1) 221,.2xxex 221,.2xtxedtx 1,.xxxR 密度函数密度函数分布函数分布函数性质性质5正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布的关系2( ,)(0,1).XXNZN 定理1若，则ZX证的分布函数为tu令，

3、得P ZxPXxP Xx22()21,2txedt 221( ),2uxP Zxedux (0,1).ZXN由此可知64.1.2 标准正态分布标准正态分布期望与方差期望与方差0,1 ,0,1.XNE XD X设则因为 E Ztt dt 22D ZE Ztt dt2222110,22tttedte22212tt edt2222111.22ttteedt7正态分布正态分布期望与方差期望与方差22,.XNE XD X 设则0,1 ,ZXN事实上，随机变量0,1.E ZD Z所以,XZ由得,E XEZ 22.D XDZD Z84.1.3 标准正态分布标准正态分布上上分位点定义分位点定义 0,1 .01

4、设对于给定的数 (),XN 常用的分位点常用的分位点1.2821.6451.9602.3262.5763.090 0.10 0.050.025 0.010.0050.001 z称满足条件 zPXzx dx 的点为标准正态分上位布的.分点z 9标准正态分布标准正态分布上上 分位点图示分位点图示-2-1120.10.20.30.4z -2-1120.10.20.30.4z/2/2 /2 -z/210标准正态分布标准正态分布上上分位点的性质分位点的性质1212(2),.zzzz1111,zP XzP Xz 事实上，212.同理可证：zz11.z （）11.zzP XzP Xz 又因为， 1.xzz由

5、的单调性知：11正态分布正态分布有关概率的计算问题有关概率的计算问题2,XN 若12,xx(3)对任意的区间(12xxXP12PxXx21xx ， (1).XxxF xP XxP 1(2).xfxFx则12例例1 1()50060.(1)560 ,(2)500200 ,(3)0.1,.XP XPXP Xxx某种器件的寿命以小时计 服从，的正态分布求求若求(1)560P X 解1560P X 50056050016060XP 560500160 111 0.84130.1587. 13(2)500200PX 20020016060 1500200PX1200500200PX20050020016

6、06060XP20012160102 13 2 10.99960.0008.14(3)0.1,P Xx要求 x由的单调性知，10.1,P Xx即要求50010.1,60 x即需5000.91.282 ,60 x 5001.282,60 x576.92.x 即676.920.1.xP Xx即当时，才能使15例例2 2 将一温度调节器放置在存储着某种液体的容将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器定在器内，调节器定在d，液体的温度，液体的温度X（以以计）计）是一个随机变量，且是一个随机变量，且XN(d,0.52).(1)(1)若若d=90，求，求X89的概率；的概率；(2)(2)若要求保

7、持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为8080的概率不低于的概率不低于0.990.99，问，问d至少为多少？至少为多少？1解 （）所求概率为90899089900.50.50.5XP 89P X ( 2)1(2)10.97720.0228. 16(2)d按题意需求 满足:8010.50.5XddP8010.5d 8010.991(2.327)( 2.327)0.5d 即，802.3270.5d 亦即，81.1635.d 故需800.50.5XddP0.9980P X17例例3 3设设XN( , 2)， 由由 (x)(x)的函数表得到：的函数表得到：P - X + = (1)- (-1)=

8、2 (1)-1=68.26，P -2 X +2 = (2)- (-2)=2 (2)-1=95.44，P -3 X1.64533.6,NNNNN 又因，由得，于是即最多只能为33位顾客服务，才能使总服务时间不超过1小时的概率大于0.95. 60 1.5,NN 30例例7 7 加法器在进行加法运算时，根据“四舍五入”的原则对每个加数取整后进行计算.(1)求500个数相加时误差总和的绝对值不超过10的概率.(2)多少个数相加时，可使误差总和的绝对值不超过10的概率大于0.95? (1,2, )0.5,0.5 ,iiXiX inU解 以表示第 个加数的取整误差，显然有独立同分布，服从0,1 12.ii

9、E XD X(1)500,n 由独立同分布中心极限定理，有50050011101010iiiiPXPX31500150011010500 1 12500 1 12500 1 121.550.1551.55iiiiXPPX(2) n个数相加时，由题意有11110101012121220 32 320 3由中心极限定理，有nniiiiniiXPXPnnnPnnXn1100.95.niiPX1.551.5521.5510.8788. 3220 320 3220 31.nnn 20 310.95,20 30.975,20 31.96,312.nnnn 要使2即使也即使从而有故31个数相加时，可使误差总

10、和的绝对值不超过10的概率大于0.95. 33德莫佛德莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理(1,2,), (01)nnn pp设随机变量服从参数为的二项x二项分布，则对于任意 ，有221lim,(1)2txnnnpPxedtnppn即，当 充分大时，随机变量0,1 .(1)nnpNnpp34概率计算公式概率计算公式121221(1)(1)(1).(1)(1)nnnP mmnpmnpmnpPnppnppnppmnpmnpnppnpp充分大时，有35近似计算公式近似计算公式21121122.11nmnpmnpP mmnppnpp 2212.1nmnpPmnpp 11121.1nmnpPmnpp 36例例8 8 某电视机厂每周生产10000台电视机.它的显像管车间的正品率为0.8，为了能以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品显像管，该车间每周应生产多少只显像管？1,0,解 设随机变量第 只显像管是正品；第 只显像管是次品.nnXn