构件上的动载荷与动应力分析

1、第13章 构件上的动载荷与动应力分析高速旋转或者以很高的加速度运动的构件、承受冲击物作用的构件，其上作用的载荷，统称为动载荷，构件中的应力，统称为动应力。构件上的动应力有时会达到很高的数值，是这类构件失效的主要原因。本章将应用达朗贝尔原理和机械能守恒定理，分析两类动载荷和动应力。§131 等加速度直线运动构件的动应力分析1311 动应力分析对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a ,就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力为集中力， (131)如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为 (132) 然后，按照弹性静力学中的方法对构件进行应力分

2、析和强度与刚度计算。图131 吊起重物时钢丝绳的动载荷与动应力以图131中的起重机起吊重物为例，在开始吊起重物的瞬时，重物具有向上的加速度a，重物上便有方向向下的惯性力，如式(131)所示。这时吊起重物的钢丝绳，除了承受重物的重量，还承受由此而产生的惯性力，这一惯性力就是钢丝绳所受的动载荷(dynamics load)；而重物的重量则是钢丝绳的静载荷(statics load)。作用在钢丝绳的总载荷是动载荷与静载荷之和： (133)式中，Ft为总载荷；FI与Fst分别为动载荷与静载荷。按照单向拉伸时杆件横截面上的总正应力 (134)其中 (135)分别称为静应力(statics stress)

3、和动应力(dynamics stress)。1312 动荷因数式(133)可以写成 (136)其中， (137) 为大于1的系数，称为动载因数或动荷因数(coefficient of dynamical load)。它表示作等加速度直线运动构件承受的总载荷是静载荷的若干倍数。§132 旋转构件的受力分析与动应力计算旋转构件由于动应力而引起的失效问题在工程中也是很常见的。处理这类问题时，首先是分析构件的运动，确定其加速度，然后应用达朗贝尔原理，在构件上施加惯性力，最后按照弹性静力学方法确定构件的内力和应力。图132 飞轮中的动应力 考察图132a中所示之与等角速度旋转的飞轮。飞轮材料密

4、度为，轮缘平均半径为R，轮缘部分的横截面积为A。 设计轮缘部分的截面尺寸时，为简单起见，可以不考虑轮辐的影响，从而将飞轮简化为平均半径等于R的圆环。 由于飞轮作等角速度转动，其上各点均只有向心加速度，故惯性力均沿着半径方向、背向旋转中心，且为沿圆周方向连续均匀分布力。图132b中所示为半圆环上惯性力的分布情形。为求惯性力，沿圆周方向截取ds微弧段， (a)微段圆环的质量为 (b)于是，微段圆环上的惯性力大小为 （c）为计算圆环横截面上的应力，采用截面法，沿直径将圆环截为两个半环，其中一半环的受力如图132b所示。其中FT为环向拉力，其值等于应力与面积乘积。以圆心为原点，建立Oxy坐标系，由平衡

5、方程， （d）有 （e）其中为半圆环质量微元惯性力在y轴上的投影，根据式（c）其值为 （f）将式(f)代入式（d），飞轮轮缘横截面上的轴为 （g） 其中，v为飞轮轮缘上任意点的速度。 当轮缘厚度远小于半径R时，圆环横截面上的正应力可视为均匀分布，并用表示。于是，由式(g)飞轮轮缘横截面上的总应力为 （h）可见，由于飞轮以等角速度转动，其轮缘中的正应力与轮缘上点的速度平方成正比。设计时必须使总应力满足设计准则 （i），于是，由式(h)和式(i)，得到一个重要结果 (138) 这一结果表明，为保证飞轮强度，对飞轮轮缘点的速度必须加以限制，使之满足式（138）。工程上将这一速度称为极限速度(limi

6、ted velocity)；对应的转动速度称为极限转速（limited rotational velocity）。 上述结果还表明：飞轮中的总应力与轮缘的横截面积无关。因此，增加轮缘部分的横截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力，对于提高飞轮的强度没有任何意义。图133 例131图FNIFNImaxFNImaxFNImax 例131 图133（a）所示结构中，钢制AB轴的中点处固结一与之垂直的均质杆CD，二者的直径均为d。长度ACCBCDl。轴AB以等角速度绕自身轴旋转。已知：l=0.6 m ，d80 mm，40 rads；材料重度78 N/m3，许用应力=70 MP。试校校：轴AB和杆C

7、D的强度是否安全。 解：1分析运动状态，确定动载荷：当轴AB以等角速度旋转时，杆CD上的各个质点具有数值不同的向心向加速度，其值为 (a)式中x为质点到AB轴线的距离。AB轴上各质点，因距轴线AB极近，加速度an很小，故不予考虑。 杆CD上各质点到轴线AB的距离各不相等，因而各点的加速度和惯性力亦不相同。 为了确定作用在杆CD上的最大轴力，以及杆CD作用在轴AB上的最大载荷。首先必须确定杆CD上的动载荷沿杆CD轴线方向分布的惯性力。为此，在杆CD上建立Ox坐标，如图133b所示。设沿杆CD轴线方向单位长度上的惯性力为qI，则微段长度dx上的惯性力为 (b)由此得到 (c)其中A为杆CD的横截面

8、积；g为重力加速度。式(c)表明：杆CD上各点的轴向惯性力与各点到轴线AB的距离成正比。为求杆CD横截面上的轴力，并确定轴力最大的截面，用假想截面从任意处（坐标为x）将杆截开，考虑上部分的平衡，如图133b中所示。建立平衡方程 (d)由式(c)和式(d)解出 (e) 根据上述结果，在x=0的横截面上，即杆CD与轴AB相交处的C截面上，杆CD横截面上的轴力最大，其值为 (f) 这一力也是作用在轴AB上的横向载荷。于是可以画出轴AB的弯矩图如图133b所示。轴中点截面上的弯矩最大，其值为 (g) 2应力计算与强度校核： 对于杆CD，最大拉应力发生C截面处，其值为 (h)将已知数据代入上式后，得到

9、=2.29 MPa 。 对于轴AB，最大弯曲正应力为 将已知数据代入后，得到 MPa §133 弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算1331 基本假定具有一定速度的运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力工程上称为“冲击力”或“冲击载荷”（impact load）。 由于冲击过程中，构件上的应力和变形分布比较复杂，因此，精确地计算冲击载荷，以及被冲击构件中由冲击载荷引起的应力和变形，是很困难的。工程中大都采用简化计算方

10、法，它以如下假设为前提： n 假设冲击物的变形可以忽略不计；从开始冲击到冲击产生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起运动，而不发生回弹。 n 忽略被冲击构件的质量，认为冲击载荷引起的应力和变形，在冲击瞬时遍及被冲击构件；并假设被冲击构件仍处在弹性范围内。n 假设冲击过程中没有其它形式的能量转换，机械能守恒定理仍成立。1332 机械能守恒定理的应用 现以简支梁为例，说明应用机械能守恒原理计算冲击载荷的简化方法。图134 冲击载荷的简化计算方法 图134中所示之简支梁，在其上方高度H处，有一重量为W的物体，自由下落后，冲击在梁的中点。 冲击终了时，冲击载荷及梁中点的位移都达到最大值，二者分别用Fd和

11、d表示，其中的下标d表示冲击力引起的动载荷，以区别惯性力引起的动载荷。这梁可以视为一线性弹簧，弹簧的刚度系数为k。设冲击之前、梁没有发生变形时的位置为位置1；冲击终了的瞬时，即梁和重物运动到梁的最大变形时的位置为位置2。考察这两个位置时系统的动能和势能。 重物下落前和冲击终了时，其速度均为零，因而在位置1和2，系统的功能均为零，即 (a) 以位置1为势能零点，即系统在位置1的势能为零，即 （b）重物和梁(弹簧)在位置2时的势能分别记为V2(W)和V2(k)： （c） （d）上述二式中，V2(W)为重物的重力从位置2回到位置1(势能零点)所作的功，因为力与位移方向相反，故为负值；V2(k)为梁发

12、生变形(从位置1到位置2)后，储存在梁内的应变能，数值上等于冲击力从位置1到位置2时所作的功。 因为假设在冲击过程中，被冲击构件仍在弹性范围内，故冲击力Fd和冲击位移d之间存在线性关系，即 （e）这一表达式与静载荷作用下力与位移的关系相似： （f）上述二式中k为类似线性弹簧刚度系数，动载与静载时弹簧的刚度系数相同。式(f)中的s。为Fd作为静载施加在冲击处时，梁在该处的位移。因为系统上只作用有惯性力和重力，二者均为保守力。故重物下落前到冲击终了后，系统的机械能守恒，即 (g)将式(a)、(b)、(c)、(d)代入式(g)后，有 (h)再从式(f)中解出常数k，并且考虑到静载荷时Fs=W，一并代

13、入上式，即可消去常数k，从而得到关于d的二次方程： (i)由此解出 (138)根据解(247)以及式（e）和（f），得到 (1310)这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁的刚度有关：梁的刚度愈小。静位移愈大，冲击载荷将相应地减小。设计承受冲击载荷的构件时，应当利用这一特性，以减小构件所承受的冲击力。若令式（1310）中h0，得到 (1311)这等于将重物突然放置在梁上，这时梁上的实际载荷是重物重量的两倍。这时的载荷称为突加载荷。1333 动荷因数为计算方便，工程上通常将式（1310）写成如下形式： (1312)其中大于1，是构件承受冲击载荷时的动载因数或动荷因数(coefficien

14、t of dynamical load)。它表示构件承受的冲击载荷是静载荷的若干倍数。对于图134中所示之简支梁，由式（1310），动荷因数为 (1313)构件中由冲击载荷引起的应力和位移也可以写成动荷因数的形式： (1314) (1315) 例132 图135（a）所示结构，重量为Q的重物自高度H下落冲击于梁上的C点，设简支梁的EI及抗弯截面系数W，试求梁内最大正应力及梁的跨度中点的挠度。 （a） （b） （c）图135 例132图解：（1）重物静止作用在C处时（图135b所示），图135（c）为梁对应的弯矩图，查表得静挠度为： 最大静应力为： 查表得梁中点的静挠度为： （2）自由落体的动荷

15、系数是： （3）求最大动应力和跨度中点的动挠度   §134 结论与讨论1341 不同情形下动荷因数具有不同的形式 比较式(137)和(1313)，可以看出，等加速度运动构件的动荷因数与冲击载荷的动荷因数，有着明显的差别。即使同是冲击载荷，有初速度的落体冲击与没有初速度的自由落体冲击时的动荷是不同的。落体冲击与非落体冲击(例如，图136这所示之水平冲击)时的动荷因数也不同的。 因此，使用动荷因数计算动载荷与动应力时一定要选择与动载荷情形相一致的动荷因数表达式，切勿张冠李戴。图136 水平冲击图137 制动时的冲击载荷std有兴趣的读者，不妨应用机械能守恒定理导出水平冲击时的

16、动荷因数。1343 运动物体突然制动或突然刹车的动载荷与动应力运动物体或运动构件突然制动或突然刹车时也会在构件中产生冲击载荷与冲击应力。例如，图137中所示之鼓轮绕过点D、垂直于纸平面的轴等速转动，并且绕在其上的缆绳带动重物以等速度升降。当鼓轮突然被制动而停止转动时，悬挂重物的缆绳就会受到很大的冲击载荷作用。这种情形下，如果能够正确选择势能零点，分析重物在不同位置时的动能和势能，应用机械能守恒定理也可以确定缆绳受的冲击载荷。为了简化，可以不考虑鼓轮的质量。有兴趣的读者也可以一试。习 题131 等截面直杆在自由端承受水平冲击，若其它条件均保持不变，仅杆长l增加，则杆内最大冲击应力有以下四种答案。

17、 (A)保持不变 (B)增加 (C)减小 (D)可能增加或减小正确答案是 。 习题131图 132 下列四种措施中，请判断哪些措施不能提高构件承受冲击能力。 （A）降低自由落体的高度和水平冲击的速度 （B）选用弹性模量较小的塑性材料制作受冲击 （C）减少“缺口效应”正确答案是 。 （D）增强构件的约束和截面的刚度 习题134图习题133图133 图示的No.20a普通热轧槽钢以等减速度下降，若在0.2s时间内速度由1.8m/s降至0.6m/s，已知l=6m，b=1m。试求槽钢中最大的弯曲正应为力。134 钢制圆轴AB上装有一开孔的匀质圆盘如图所示。圆盘厚盘为，孔直径300mm。圆盘和轴一起以匀

18、角速度转动。若已知：=30mm，a=1000mm，e=300mm；轴直径d=120mm，=40rad/s；圆盘材料密度。试求由于开孔引起的轴内最大弯曲正应力（提示：可以将圆盘上的孔作为一负质量（-m），计算由这一负质量引起的惯性力）。135 计算图示汽轮机叶片的受力时，可近似将叶片视为等截面匀质杆。若已知叶轮的转速n=3000r/min，叶片长度=250mm，叶片根部处叶轮的半径=600mm。试求叶片根部横截面上的最大拉应力。 习题135图 习题136图136 图示圆截面钢杆，直径d=20mm，杆长l=2m，冲击物的重量F=500N，沿杆轴自高H=100mm处自由落下，材料的弹性模量E=210GPa，试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。不计杆和小盘的质量，小盘可视为刚性的。(1)冲击物直接落在小盘上； (2)小盘上放有弹簧，其弹簧常数k=200N/mm。137 图示等截面刚架，重物自高度H自由下落，试计算截面A的最大垂直位移和刚架内的最大正应力。已知：F=300N，H=50mm，E=200GPa。刚架的质量忽略不计。 习题137图习题139图W习题138图ABC 138 图示结构中，重量为W的重物C可以绕A轴(垂直于纸面