第十八章勾股定理(全面版)资料

1、第十八章 勾股定理（全面版）资 料第十八章勾股定理18.1勾股定理第一课时勾股定理（一）一、回眸历史，感悟辉煌【显示投影片1】内容1：公元前572前492年，古希腊著名的哲学家、 数学家、？天文学家毕达哥拉斯, 他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关 系，请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片a）, ?你能发现什么呢？（图片见课本图 P72）.Bit 令令令笔套 0箋Ii 歹企11但是等腰直角三角形是一种特(0 13. 1-2)【活动方略】教师活动：操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集），引导学生观察该图片,发现问题.学生活动：观察、听取老师的

2、讲述，从中发现图片a?中含有许多大大小小的等腰直角三角形.内容2：用图片置示学生的发现，引导学生继续发现.教师活动：教师提问：同学们，你能发现课本图18. 1-1中的等腰直角三角形有什么性 质吗？学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图18. 1-1右边的三个正方形Si=Sn , Sm =Si+Sn , ?即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积.教师小结：从图18-1-1 ,我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系： 斜边的平方等于两直角边的平方和.教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质， 殊的直角三角形，

3、对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢?请同学们观察图18. 1-2 ,设定每个小方格的面积均为1, （ 1） ?分别计算图中正方形 A B、C A'、B'、C'的 面积；（2 ）观察其中的规律，你能得出什么结论？ ？与同伴 交流.学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看 法.思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积， 等于某个正方形的面积减去 4个直角三角形的面积.【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代 文明的成就.在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐 藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲.二、合作探究，体验发现【问题牵引】猜想：如果直角三角形的两直

4、角边长分别为 a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.（命题1） 教师活动：介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图（课本 P74图18. 1-3 ）, ?解释“命读理解” 阅读与填空：（显示投影片3） 全世界许多的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法.下面介绍的是古希腊数学家欧几里得（公元前330前275年）给出的证明.为了使读者更好地理解这个证明，并且从中获得提高几何证题能力与思维能力的收获，对证明过程做了一些推想，请读者边阅读，边思考，并完成填空.为了使阅读能够顺利进行，首先来做一项准备工作，即对图的局部做如下分析：图中的四边形

5、 BHJC是正方形，作 HMLAB,交AB的延长线于 M,在厶BHM中,/ BC=BH / CBK玄 （填/ BHN , / CKB玄 BMHCBKA BHM（）（填 AAS）. ? BK=HM现在来看欧几里得是怎样证明勾股定理的.这位几何大师的出发点， 与课本中用拼图方法给出的证明的出发点是相同的：都是把一条线段的平方看作是以这条线段为边的 （填：正方形的面积）从这样的想法出发，欧几里得是为了证明“a2+b2=c2”，分别以Rt ABC的三边为边向三角形外作正方形（如图）欧几里得可能是想到当一条直线从AE所在直线的E LD位置开始，在保持与AE平行的前提下逐步向 BD移动时， 一定有一个时刻

6、，把正方形ABDE分成的两部分的面积恰好分别等于a和b.上述特殊的位置究竟在何处呢？欧几里得大概是 注意到了图形中一个极为特殊的点一一点C,决定仔细考虑过点C并且与ED垂直的直线.于是，欧几里得首先引出这样辅助线：过点C作CL丄ED,交AB于K,交ED于L.下面是这位杰出的数学家在引出上述辅助线后继 续进行探索的结晶.连结CH AH KD,则由/ ACB=90及四边形 CBHJ 知AC/ BH点A?与点C?到直线BH的距离（填：相等），又因为 ABH与 CBH有公共边（填BH ,所以Smbh=&cbh（）（填：等底等高面积相等）；再把 ABH看作是以AB?为底的三角形，则其高为 （填H

7、M,由于 AB=（填 BD） , HM=?（填：BK）,所以，Saabh=Sbdk （）（等1 21底等高面积相等），.S BDF&CBH （） （ ?填：等量代换）而 SCBHF a , SBDK= S 矩形 DBKL,2 22 2 a =S 矩形DBKL 同理可证，b=S 矩形aelK.把相加，就得到a2+b2=S 学生活动：阅读填空，从中吸引勾股定理的证明方法，加深对勾股定理的领悟.【设计意图】“赵爽证法”以教师讲解为主，学生参与分 析为辅，让学生形成拼图意识，感受我国科学家的伟大发明， 再通过设计“阅读与填空”，拓展学生的知识面，达到加深理 解勾股定理的目的.三、联系实际，应用

8、所学 【显示投影片4】问题探究1 : 一个门框的尺寸如课本图形18. 1-4所示，一块长3m宽2.2m?的薄木板能否从门框内通过？为什么？思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无 法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度.只要测出AC或BD,与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过.【活动方略】教师活动：拿出教具：如图18. 1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考.学生活动：观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5,AC= 5 - 2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！ 问题探

9、究2:如图18. 1-5，一个3cm长的梯子，AB斜靠在一竖直的墙 A0上，这时A0的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也 外移0.5m吗？思路点拨：从BD=0D-0可以看出，必需先求 OB OD因此，？可以通过勾股定理在 Rt AOB Rt COD 中求出OB和OD最后将BD求出.【活动方略】 教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观 察、应用勾股定理，提问个别学生.学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt AOBRt COD以此为基础应用勾股定理求得OB和OD【课堂演练】 演练题：在 Rt ABC中，已知两直角边 a与b的 和为pcm,斜边长为qcm,求这个三

10、角形的面积.1思路点拨：因为 Rt的面积等于 丄ab,所以只要求出ab即可，由条件知a+b=p, c=q ,2?联想勾股定理a2+b2=c2,将几何问题转化为代数问题.由a+b=p, a2+b2=q2求出ab.教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形.学生活动：先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示.解：a+b=p， c=q，a2+b2=q2 (勾股定理)2 2 2 2.'a +2ab+b = (a+b) =p，2 2.2ab=p -q2 2 2(p -q ) cm1 1RtAABC= ab=2 4再通过设置的演练题来灵活【设计意图】以两个探究为素材，帮助学

11、生应用勾股定理, 学生的思维.四、随堂练习，巩固深化.课本P76“练习” 1, 2.【探研时空】(1) 若已知 ABC的两边分别为3和4,你能求出第三边吗？为什么？(2) 如图，已知：在厶ABC / A=90° , D、E分别在 AB AC上，你能探究出 cD+bEbC+dE吗？(提示：bW+cD=aD+aC+aB+aE=五、课堂总结，发展潜能1 .勾股定理：Rt ABC中，/ C=90°, a2+b2=c2.2 .勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，？已知任意两边的长都可以求出第三边的长.六、布置作业，专题突破1 .课本 P77 习题 18. 1 1 ,

12、2, 3, 4, 5.2 选用课时作业优化设计七、课后反思第一课时作业优化设计【驻足“双基”】1 .在 Rt ABC中，/ C=90°, BC=12cm SAABC=30cmf，贝U AB=2 .等腰 ABC的腰长AB=?10cm?底BC?为16cm?则底边上的高为 ,?面积为.3 .一个直角三角形三条边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.4 . ABC中，/ ACB=90 , AC=12 BC=5 M, N在 AB上，且 AM=AC BN=BC 贝U MN的 长为（?）.A . 2 B . 26 C . 3 D . 45 .等腰三角形腰长32cm, ?顶角的大小的一个底角的 4?倍

13、，？求这个三角形的面积 .【提升“学力”】6.某车间的人字形屋架为等腰三角形ABC跨度AB=24m上弦AC=13m求中柱CD. （ D为底AB的中点）7.如图，折叠长方形的一边 求EC的长.【聚焦“中考”】8. （1994年天津市中考题）如图，在BD=AD=10 / ADC=60，求 ABC面积.Rt ABC中，/ C=90°, D是 BC边上一点，？且AD,点D落在BC上的点F处，已知 AB=8cm BC=?10cm第一课时作业优化设计（答案）1 . 13cm 2 . 6cm； 48cm2 3 .6、8、10 4 . D 5 . 256、. 3 6 . 5cm 7 . 3; 8 .

14、 7532第二课时勾股定理(二)一、回顾交流，小测评估【课堂小测题】(投影显示)1 填空题(1) 等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是 (?填：2 77)(2) 在 Rt ABC中，/ C=90°,若 a=b=2cmm Saab(= (填：2cm)2 选择题(1) 在厶 ABC中，/ C=90°,Z A=Z B,贝U BC: AC: AB= (A) A 1： 1 :2 B 1: 1: 2 C 1: 1: 1 D .以上结论都不对(2) 等边三角形面积为 8cm,它的边长(D) A 2 , 2 cm B 4 . 2 cm C 8 cm D 以上结论都不

15、对【活动方略】教师活动：操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用学生活动：独立小测，通过小测加深对勾股定理应用的理解【设计意图】 采用“测中反思”的方法，促进学生对知识的理解，发现问题，以利于本 节课解决二、数形结合，应用所学【显示投影片2】问题探究3:大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，？请你在数轴上画出表示 13的点思路点拨：可以利用勾股定理在数轴上作出13的线段，做法如下：(1) ?在数轴上找到一点A,使OA=5 (2)过A作AT垂直于数轴，垂足为 A,在AT上截取AB=12 ( 3) ?连结 OB (4)以0为圆心，0B为半径作弧，弧与数轴的交

16、点 C即为的点.【活动方略】教师活动：操作投影仪，在黑板上演示13的作法.学生活动：在练习本上画图，做出在数轴上表示13的点.教师活动：提出问题.1 请同学们归纳出如何在数轴上画出表示13的点的方法？2 你能在数轴上作出表示."20的点吗？试一试！学生活动：借助课本图 18. 1-7的数字，在数轴上画出.20的点M.【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点.问题探究 4:如图， ABC中，/ B=90°, AC=12cm BC=4cm D?在 AC?上 ?且 AD=8cm1E在AB上，且 AED的面积是 ABC面积的，求 AE和DE的长.4思路点拨：求A

17、E的长时，可过 D作DEL AB于F,可2 8求出 DF= BC=3 , ?3 3这样先把AF?求出AF=2 AB623 31 4再由面积公式 Saaecf AE- DF先求出DF=AE,2 3由 SAD= SaaB(=4 J 2 ，求出 AE=3.2 ,4因而! ,?应用勾股定理求DE=3 2 .3?然后请两?踊跃上台教师活动：操作投影仪，组织学生探究，巡视、引导、启发学生进行思考， 位学生上台演示，纠正.学生活动：小组合作交流（4人），将所学习的面积、勾股定理应用于该题, 发言，“板演”.三、随堂练习，巩固深化1 .课本P77“练习” 1, 2.2 .【探研时空】（1）已知，如图：在 AB

18、C 中，/ ACB=90 , CDLAB 于 D点， 求证：abaDcD+beJ.（提示：AE2=ACJ+BC2=AE2+CC）+CD2+BE2=AE2+2CCJ+BE2）（2）有一正方形ABCD也塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出 水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，？向水深和芦苇长各是多少？（提示：设水深 EF=x尺，芦苇EG=（x+1 ）尺，贝U EC=（x+1）尺，CF=5尺，通过构建 EFG再应用勾股定理得（x+1） 2=x2+52，求解出x=12尺，这样得到水深12尺，芦苇长为 13 尺）.四、课堂总结，发展潜能?通过两个“探究”领

19、会勾股定理的（2 ）感受勾股本节课主要学习的内容是：（1）勾股定理的应用，应用思想，如可以用来在数轴上描无理数点，可以解决实际情境中的问题等.定理的历史.五、布置作业，专题突破.课本 P78 习题 18. 1 7 , 8, 9, 11, 12, 13.选用课时作业优化设计六、课后反思第二课时作业优化设计【驻足“双基”】1 .请写出满足勾股定理 a2+b2=c2的三组数值 .2 要登上12m高的建筑物，为完全起见，需要使梯子的底端离建筑物5m至少需要m长的梯子.3 .一艘轮船以16海里/?时的速度离开 A?港向东南方向航行，？另一艘轮船同时以 12海里/时的速度离开 A港向西南方向航行，经过 1

20、.5小时后它们相距 海里.4 .如图，长方形 ABCD中, 痕EF的长为（）.A. 3.74 B . 3.75AB=3, BC=4若将该矩形折叠，使点 C与点A?重合，？则折C . 3.76 D . 3.772倍，其对角线的长是5 .一个长方形的长是宽的cm C . 2 茜 cm2ABCD中, / BAD=90 , AD=45cm则长方形的长是（）.A . 2.5cm B6.如图，在四边形D .5 cm【提升“学力”】7.已知，如图，2求证：BD+CD=2AD.Rt ABC中，/ BAC=90 , AB=AC D是 BC?上任意一点,2 2【聚焦“中考”】8 . （2003年贵州省贵阳市中考题

21、）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16小时的航行到达，至U达后必须立即卸货，此时，接到气 象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：1.4 ,3 1.7 ）2 . 13 3 . 30 4 . B 5 . C 6 . 169 7 .提示: (2) 3.8小时第二课时作业优化设计(答案)1. 3、4、5, 5、12、13, & 15、1

22、7过A作AEL BC于E 8 . (1) B处会影响，18.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理(一)一、创设问属情境，引入新课活动1(1)总结直角三角形有哪些性质.设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结， 为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力. 师生行为(2) 个三角形，满足什么条件是直角三角形联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆.能否积极主动地回忆，本活动，教师应重点关注学生：“温故知新”.生：直角三角形有如下性质： 方和等于斜边的平方： (4)在含 半.师生生师总结前面学过的旧知识；能否(1)有一个角是直角；30°角的直角三角形中,

23、(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平30 °的角所对的直角边是斜边的一那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？有一个内角是 90 °,那么这个三角形就为直角三角形. 如果一个三角形，有两个角的和是90 °，那么这个三角形也是直角三角形.前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a, b斜边c具有一定的数量关系即a2+ b2= c2,我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为 直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做 ？二、讲授新课活动2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的 13个结,然后以3个结，4个结

24、、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直 角.3、4、5.有下面的关系"32+ 42 =这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为52” .那么围成的三角形是直角三角形.画画看，如果三角形的三边分别为 2.5cm ,6cm ,6.5cm，有下面的关系，“ 2.52+ 62= 6.52, 画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm .再试一试.设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a, b, c满足a2+ b2= c2,那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.师生行为让学生在小

25、组内共同合作，协手完成此活动.教师参与此活动，并给学生以提示、启发.在本活动中，教师应重点关注学生： 能否积极动手参与.能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论.学生是否有克服困难的勇气.生：我们不难发现上图中，第 (1)个结到第(4)个结是3个单位长度即 AC = 3;同理BC =4, AB = 5.因为32+ 42= 52 .我们围成的三角形是直角三角形.生：如果三角形的三边分别是 2.5cm, 6cm, 6.5cm .我们用尺规作图的方法作此三角形， 经过测量后，发现 6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+ 62= 6.52.再换成三边分别为 4cm, 7.5cm , 8.5c

26、m的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有 42+ 7.52 = 8.52.是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c5, 12, 13; 7, 24, 25; 8, 15, 17.(1) 这三组效都满足a2+ b2= c2吗？(2) 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件.师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形

27、，从而更加坚信前面猜想出的结论，教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明.本活动教师应重点关注学生：对猜想出的结论是否还有疑虑能否积极主动的操作，并且很有耐心.生：(1)这三组数都满足a2+ b2= c2. (2)以每组数为边作出的三角形都是直角三角形.师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论.命题2如果三角形的三边长 a, b, c满足a2+ b2= c2那么这个三角形是直角三角形. 同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理.实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天一一人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五

28、放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般总是成 90 °,怎样确定房角的纵横两线呢？如下图，欲过基线 MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或 测绳的0和12尺处，固定在 C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在 MN上定出A点，再由 一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结 BC,就是MN的垂线.374建筑工人用了 3, 4, 5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生：可以，例如 7, 24, 25; 8, 15, 17等.据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.活动4 问题：命题1如果直角三角形

29、的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+ b2= c2.命题2如果三角形的三边长分别为 a, b, c,满足a2 + b2= c2那么这个三角形是 直角三角形.它们的题设和结论各有何关系？设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题？你前面遇到过有互逆命题吗？师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题.教师认真倾听学生的分析.教师在本活动中应重点关注学生；能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系.能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题.生：我们可以看到命题 2与命题1的题设.结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，

30、那么另一个叫做它的逆命题例如把命题1当成原命题，那么命题 2是命题1的逆命题.生：我们前面学过平行线的性质和判定其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角 相等，两直线平行”是互逆命题.“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题.生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆 命题勾股定理的逆定理（二）一、创设问题情境，引入新课活动1以下列各组线段为边长，能构成三角形的是 （填序号）,能构成直角三角形的是.3, 4,5 1, 3, 44,4,66,8, 105,7, 213,5,127,25, 24设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三

31、角形为直角三角形的条件.师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果.在此活动中，教师应重点关注：学生是否熟练地完成填空；学生是否积极主动地完成任务.生：能构成三角形的是：，能构成直角三角形的是；二、讲授新课活动2问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？设计意图：由特例猜想得到的结论， 会让一些同学产生疑虑， 我们的猜想是否正确，必须有 严密的推理证明过程，才能让大家用的放心.通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑 推理能力师生行为：让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路.本活动中，教师应重点关注学生：能否在教师的引导下，理清

32、思路能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论.师： ABC的三边长a, b, c满足a2 + b2= c2 .如果 ABC是直角三角形，它应与直 角边是a, b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形 A'B'C'，使BC = a, A'C' = b，/ C' = 90 ° （如下图）把画好的厶 A'B'C'剪下，放在 ABC上，它们重合吗？生：我们所画的 Rt A'B'C' , A'B' = a2 + b2,又因为 c2= a2 + b2,所以 A'

33、B' 2= c2,即卩 A'B' =c ABC和厶A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，/C=Z C'= 90°.A ABC为直角三角形.即命题 2是正确的.师：很好，当我们证明了命题 2是正确的，那么命题就成为一个定理.由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理.师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是 对顶角”不成立.师：你还能举出类似的例子

34、吗 ？生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等.逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等.显示原命题成立，而逆命题不成立.活动3练习：1 .如果三条线段长a, b, c满足a2= c2- b2.这三条线段组成的三角形是不是直角 三角形？为什么？2. 说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗？两条直线平行，内错角相等.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.(3) 全等三角形的对应角相等.在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.设计意图进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力.师生行为：学生独立思考，自

35、主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导.在此活动中，教师应重点关注学生.学生对勾股定理的逆定理的理解.学生对互为逆命题的掌握情况.学生面对困难，是否有克服困难的勇气.师：我们先来完成练习第 1题.生：a2= c2-b2,移项得a2+ b2= c2,所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形.生：2. (1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立.(2) 逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立.(3) 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立.逆命题：至蛹两边距离相等的点在这个角的角平

36、分线上，此逆命题成立.三、巩固提高活动4例1一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中/A和/DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？例2(1)判断以a= 10, b = 8, c= 6为边组成的三角形是不是直角三角形.解：因为a2+ b2= 100+ 64= 164丰c2,即卩a2 + b2 c2,所以由a, b, c不能组成直角三 角形.请问：上述解法对吗？为什么？(2)已知：在厶 ABC 中，AB = 13cm , BC = 10cm, BC 边上的中线 AD = 12cm .求证：AB = AC .设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，

37、可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系.学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可.师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导.在此活动中，教师应重点关注学生：能否进一步理解勾股定理的逆定理，能否用语言比较规范地书写过程，说明理由能否从中体验到学习的乐趣。生：例1:分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.解：在 ABD中，AB2+ AD2= 9+ 16= 25= BD2，所以 ABD是直角三角形，/ A是 直角.在厶 BCD 中，BD2+ BC2 = 25+ 144= 169 = 132 = CD2,

38、所以 BCD 是直角三角形，/DBC是直角.因此这个零件符合要求.例 2: (1)解：上述解法是不对的.因为 a= 10, b= 8, c= 6, b2 + c2= 64+ 36= 100 = 102=a2,即b2+ c2 = a2.所以由a, b, c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知 a, b, c可构成直角三角形，其中 a是斜边，b, c是两直角边.评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边.往往只需看最大边的平方是否等于另外荫边的平方和.证明：根据题意，画出图形，AB = 13cm, BC = 10

39、cm.AD 是 BC边上的中线t BD = CD = 5cm，在 ABD 中 AD = 12cm,BD = 5cm,AB = 13cm, AB2= 169, AD 2+ BD2= 122+ 52= 169.所以 AB 2= AD 2+ BD2.则/ ADB = 90°./ ADC =180° -/ ADB = 180° 90°= 90°.在 Rt ADC 中，AC2= AD 2+ CD2= 122+ 52= 132.所以 AC = AB = 13cm.第十八章勾股定理复习学案一、知识回顾1、 （2021 广东在直角三角形 ABC 中，/C=90

40、°,BC=12,AC=9,贝U AB=2、 （2021泸州在 ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形为 .3、 命题地 同位角相等，两直线平行”的逆命题是 .4、 下列各组数为边长，能组成直角三角形的是 .A. 1、2、3B. 23、24、25C. 1、2、3D. 3、4、55、一株荷叶高出水面10cm,阵风吹来，荷叶被风吹得帖着水面，这时它偏离原来的位置有30cm,则荷叶的高度是 ,水的深度是 .、综合运用1、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折叠，已知该纸片宽 AB为8cm,长BC为10cm,当小红折叠时，顶点D落在边上点F处,抓痕为AE,试求EC.2、如图，

41、在 ABC 中,D 是 BC 上一点，若 AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求厶ABC的面积.2、公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=30，点A处有一所中学,AP=160m, 一辆拖 拉机以3.6km/h的速度在公路 MN上沿PN方向行驶,假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪 声影响，那么，学校是否会受到噪声影响 ？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分 钟？厂L二、矫正补偿1、直角三角形的两边长为3、5,则第三边长为2、直角三角形两直角边为5cm和12cm,则斜边上的高为3、(2021德州下列命题中，其逆命题成立的是同旁内角互补，两直线平行如果两个角是直角

42、，那么它们相等如果两个实数相等，那 么它们的平方相等4、如图OA=OB,则点A表示的数是 5、(2021临沂如图, ABC和厶DCE都是连长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD ,则BD的长为（A .3B .32C .33D .346.（2021钦州如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm现将 ABC折叠,使点B与点A重合折痕为DE ,则DE的长为（A .4cmB .5cmC .6cmD .10cm7、如图，在 ABC 中，/A=45°/ B=30°,BC=8,求 AC、AB 的长8、如图，在四边形 ABCD 中，/C=90°

43、;,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求四边形 ABCD 的面积PA+PB 的9已知点A(-1,3,B(2,1,在x轴上求作一点 P使PA+PB最小,求出P点的坐标及 最小值。4题图5题图6题图第十八章勾股定理测试题二时间：120分钟满分：120分用你敏锐的思维，写出简洁的结果（每题 3分，共27 分）1、若 Rt ABC中，C 90 且 c=13,a=12，则 b=（）A、11B、8C、5D、32、下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（A、a=2，b=3,c=4B、a=7,b=24, c=25C、a=6, b=8, c=10D、a=3, b=4,c=53、下列说法正确的

44、是（）A、真命题的逆命题是真命题，B、原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题，C命题一定有逆命题。D、定理一定有逆定理4、若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为（）A、6B、7C、8D、95、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）A、4.3B、 . 3C、2 3&若 ABC 中，AB 13cm, AC15cm，高AD= 12,则BC的长为（8、已知直角三角形中30A. 4cmB.）A锐角三角良短路程（A、14B、4 C、14或4 D、以上都不对7、下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（）A.三角形中有两个角是互为余角B.三角形三个内角之比为3 : 2 : 1

45、C. 三角形的三边之比为3 : 2 : 1 D.三角形中有两个内角的差等于第三个内角角所对的直角边长是 2. 3cm，则另一条直角边的长是（4、3cmC. 6cmD. 6、3cm9. ABC的三边分别是a、b、c且满足a+b 2 c2 2ab，则此三角形是（）形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰直角三角形10. 如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的取3）是（）无法确定.A.20cm;B.10cm;C.14cm; D.二、相信你一定能选对！（每小题3分，共33分）11. 命题“若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等”的逆命题是 ，它是 （填“真”或“假”）

46、命题.12、 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 。13、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面。（填“合格”或“不合格”）14、已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合,折痕为EF,则厶ABE的面积为15、如下页图1,正方形A的面积是144,正方形B的面积是169,则正方形C的边长是16、如下页图2, 一个梯子AB长为10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C 间的距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为2米，则梯子顶端A下落了米。17、如下页图3

47、,将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为 hcm,则h的取值范围是。18、 如图4,要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯。19、若一个三角形的三边长为 3、4、x，则使此三角形是直角三角形的 x 的值是。20、 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走捷径”，在花铺内走出了一条 路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草.21、点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由 A处向B处爬行，所走最短路程是（ 22、一个直角三角形的两边长分别为 6cm和8cm,则第三边的

48、长为 三、解答题（共60分）解答时请写出必要的演算过程或推理步骤ABCD 中，/ B=90°, AB=4 BC=3 CD=12 AD=13 求这个23、（ 10分）已知如图，四边形 四边形的面积。24、甲、乙两船上午 11时同时从港口 A出发，甲船以每小时 20海里的速度向东北方向航行，乙船以每小 时15海里的速度向东南方向航行，求：下午1时两船之间的距离。（10分）25、（ 10分）在Rt ABC中，/ C= 90°， a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边（如图） 已知 a= <6，/ A= 60°，求 b、c26. （10分）印度数学家什迦逻（“平平

49、湖水清可鉴，面上一尺生红莲; 渔人观看忙向前，花离原位二尺远; 请用学过的数学知识回答这个问题1141 年-1225 年）出泥不染亭亭立,能算诸君请解题，曾提出过“荷花问题” 忽被强风吹一边， 湖水如何知深浅？”27.（ 10分）如图，铁路上 A、BDA丄AB于A , CB丄AB于B ,现要在 AB上建一个中转站 E，使得C、D两村到E站的距离相等. （1 ）求E应建在距A多远处？（2） DE和EC垂直吗？试说明理由两点相距25km,C、D 为两村庄，若 DA=10km, CB=15km ,101528、（ 10分）如图所示，矩形纸片 ABCD中，把矩形沿 BD折叠，与 AD相交于点E，已知：

50、BC=8，25BE= 。求AB的长.4第十八章勾股定理18.1勾股定理第一课时勾股定理（一）一、回眸历史，感悟辉煌【显示投影片1】内容1：公元前572前492年，古希腊著名的哲学家、 数学家、？天文学家毕达哥拉斯, 他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关 系，请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片a）, ?你能发现什么呢？（图片见课本图 P72）.Bit令令令笔套 0箋Ii歹企11但是等腰直角三角形是一种特(0 13. 1-2)【活动方略】教师活动：操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集），引导学生观察该图片,发现问题.学生活动：观察、听取老师的

51、讲述，从中发现图片a?中含有许多大大小小的等腰直角三角形.内容2：用图片置示学生的发现，引导学生继续发现.教师活动：教师提问：同学们，你能发现课本图18. 1-1中的等腰直角三角形有什么性 质吗？学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图18. 1-1右边的三个正方形Si=Sn , Sm =Si+Sn , ?即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积.教师小结：从图18-1-1 ,我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系： 斜边的平方等于两直角边的平方和.教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质， 殊的直角三角形，

52、对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢?请同学们观察图18. 1-2 ,设定每个小方格的面积均为1, （ 1） ?分别计算图中正方形 A B、C A'、B'、C'的 面积；（2 ）观察其中的规律，你能得出什么结论？ ？与同伴 交流.学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看 法.思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积， 等于某个正方形的面积减去 4个直角三角形的面积.【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代 文明的成就.在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐 藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲.二、合作探究，体验发现【问题牵引】猜想：如果直角三角形的两直

53、角边长分别为 a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.（命题1） 教师活动：介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图（课本 P74图18. 1-3 ）, ?解释“命读理解” 阅读与填空：（显示投影片3） 全世界许多的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法.下面介绍的是古希腊数学家欧几里得（公元前330前275年）给出的证明.为了使读者更好地理解这个证明，并且从中获得提高几何证题能力与思维能力的收获，对证明过程做了一些推想，请读者边阅读，边思考，并完成填空.为了使阅读能够顺利进行，首先来做一项准备工作，即对图的局部做如下分析：图中的四边形

54、 BHJC是正方形，作 HMLAB,交AB的延长线于 M,在厶BHM中,/ BC=BH / CBK玄 （填/ BHN , / CKB玄 BMHCBKA BHM（）（填 AAS）. ? BK=HM现在来看欧几里得是怎样证明勾股定理的.这位几何大师的出发点， 与课本中用拼图方法给出的证明的出发点是相同的：都是把一条线段的平方看作是以这条线段为边的 （填：正方形的面积）从这样的想法出发，欧几里得是为了证明“a2+b2=c2”，分别以Rt ABC的三边为边向三角形外作正方形（如图）欧几里得可能是想到当一条直线从AE所在直线的E LD位置开始，在保持与AE平行的前提下逐步向 BD移动时， 一定有一个时刻，把正方形ABDE分成的两部分的面积恰好分别等于a和b.上述特殊的位置究竟在何处呢？欧几里得大概是 注意到了图形中一个极为特殊的点一一点C,决定仔细考虑过点C并且与ED垂直的直线.于是，欧几里得首先引出这样辅助线：过点C作CL丄ED,交AB于K,交ED于L.下面是这位杰出的数学家在引出上述辅助线后继 续进行探索的结晶.连结CH AH KD,则由/ ACB=90及四边形 CBHJ 知AC/ BH点A?与点C?到直线BH的距离（填：相等），又因为 ABH与