微积分下测试题三

1、1）若函数/ （x,y） = 2x2+a叶M2+2y在点（-1,1）处取得极值，则常数a= 3XX2）设/（兀）=fwvdy,则纽x）dx= Plyy ydx = A-人-。（注：此题为二次积分解:因为等6x# + 2yxV2>/2(x-y),设改变积分次序的变形题）3 ）设S是立方体05兀，y,zSI的边界外侧。则曲面积分JJAV/W/Z + y6dxdz + z 1 dxdy =3s4)已知函数y = y （x）由方程ey+6xy+x2-I = 0确定。则/ （0） = -2。5)微分方程y + 3y-4y = x2aa用待定系数法确定特解（系数不求）的形式为（ox2 +2、在椭球面

2、2x2 + 2y 2 + z2 =1上求一点，使得函数/ （兀，y, z） = x2 + z2在该点处沿方向/ =i- j的方向导数最大F(兀,y , z , 2) = V2 (x- y) + /I (2x2 +2y2 + z2 -1解方程组F = >/2 + 42x = 0 rVFv=-A + 42y = 0尺=2加=0 a=2x2+2/ + z2-1 = 0得解1X =1 y =- ?2z = 0所以所求方向导数最大值为血£y3、求曲而N + N =4上点（In2 Jn2,l）处切平面和法线方程x y解:设 F （x, y , z） = ez +ez -4,则所求切平面为

3、2 (兀-In2) + 2 (y-ln2) 41 n2 (z I) = 0I r nv 1 n2 丁一1-4 In 2法线方程为设 F（/） = JJJf （x2Ay2A-z2） dxdydzf 其中/ （町为连续函数。求 F（f）。=J；则:解:因为 F( r) = n A x2 + y2 + z?) dxdydz则;f (P2) Q2 血(pdp = 4 打;/ (p2) p2dp所以 F （/）= 4加 2/（/2）。5、求微分方程y -4y'+3y = 0的解，使得该解所表示的曲线在点（0,2）处与直线2兀一 2_y +4= C相切。解:解特征方程r2-4r + 3 = 0得特

4、征根q = 3，勺=1,微分方程y" -4/ + 3y = 0的通 解为y = Ce3x+ C2e y r = 3Ce3x + C2ex,有所求曲线过点（0,2） Wq+C2=2 ；又由曲线在点（0,2）处与直线 2x2y + 4 = 0 相切。#(O) = 3C; +G= I3一 （干2盲所求特解为一尹+尹d232设函数具有二阶连续的偏导数,而z = f（ex sin y）满足方程+| = ze2xI求/ （“）。解：dz - sin yex sin ydx + ex cos ydy I&z=f (，sin y) ey sin y ,Y »*7 V *e sin

5、y je sin y +dx2 dy2f n(e x sin y)d = ze2x => f n(e x sin y) = z = f(e x sin y) => /z(w) = /(w)/"(%)=/(町可化为厂何-/3+f?)-/=。euf(u)-f何丁 + euf (W)-/(W) = 0e"/ -/( “)(=导数为零就说明存在常数c,使得/?) - /(?) = G o/ 广(町一/=G两边同乘以严可得eufu)-e- uf(u) = C e-A-111-2u因此有存在常数C?使得eufu) + Ae=C? => f(u) = C 2e"

6、;a eu7、计算曲面积分JJ ( a + yx 2 COS /?+£ COS y)dS其中工是球体x2 + y 2 + z 2<2z与锥体z>ylx2 + y 2的公共部分。的表面cosz , cg3>,9是其外法向量的方向余弦。解：用高斯公式计算 原式=Ilf ( y2+F+2z)山/r2 疔 ycos>sin> +；cos>sin(p d(p=2/132 (cos6(P cos8(py4 cos6 727=7110T (6sin (厂)(P _3-o工H 0、证明/(兀，y):=<x在全平面可微。yx = 0=J。兀 0心吐"

7、(f 2 sin2 0 + 2qcos0) ” sin ?dp证明：当 xhO 时，fx=-7sin( AA)4- cos(xy), fy =cos(xy)连续,所以兀工 0 时,xX函数/(x,y)可微(理由有连续偏导数一定可微);当兀=0时，人（0,刃=说4止如him沁也不存在，所以'''A.v->（）A rAx->（） AAxx = 0时，函数f（x 9y）不可微（理由可微一定可导）。9、计算曲线积分j（l + xe 2y）dx+（x 2e2y-l）dy，其中厶为（x-2） 2 + y 2= 4在第一象限内l 逆吋针方向的半圆弧。解：因为此曲线枳分与路

8、径无关，所以原式=（1 +兀）力=-12。10、求曲面八厂到平面：2兀+2沖+ 5 = 0的最短距离解：因为点（忑， , z°到平面2x+2y + z + 5 = 0的距离为卩+ 2> , o + Z ° +5Fx =4( 2x + 2y + z + 5) + 2 兀=0Fy = 4( 2x + 2y + z + 5) + 2Ay = 0 代=2( 2x + 2y + z + 5)+ ; z = 0 得<解方程组<2 2代=-+ /+-1 = 0 兄 2 .4所求最短距离为丄。3附加题：(供学习无穷级数的学生作测试)X = -11z = -lIK设 F (

9、兀，y,z,兄)=(2x + 2y+ z + 5+A51）判断级数工牛（qo,0o）的敛散性。 n= n解：因为 lim (7 + I) =lim00"并->8"TOO(1 + 7?a丿=0,所以8 Bn当0<1吋,工三7仏>0,00）收敛；心和8 /?"当0>1时，工牛（QO,0>O）发散;n= n当 0 = l,a> 1 时7 （ Q>0,0>0）收敛；H=1当 13 = .a<1 吋,V/L （a>0,0>0）发散。h=i n域）2）试将函数fAx ） = Ae-,2clt展成兀的幕级数（要求写出该幕级数的一般项并指出收敛r解：/(A)= £edt£1：”0工上罕兀2n+l二 0 （2 +1 ）=0 ！xe(-oo , +oo)13）证明级数一 +25+ = +22 2