时　余弦函数的图象与性质

1、余弦函数、正切函数的图象与性质第1课时余弦函数的图象与性质学习目标：1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和yAcos(x)的图象(重点)2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值(重点、难点)自 主 预 习·探 新 知1余弦函数的图象把正弦函数ysin x的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数ycos x的图象，该图象叫做余弦曲线图1­3­72余弦函数的性质函数ycos x定义域R值域1,1奇偶性偶函数周期性以2k为周期(kZ，k0)，2为最小正周期单调性当x2k，2k2(kZ)时，递增；当x2k，2k(kZ)时，递减最大值与最小值当x2k(

2、kZ)时，最大值为1；当x2k(kZ)时，最小值为13.余弦型函数yAcos(x)(xR)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.思考：在0,2上画余弦函数图象的五个关键点是什么？提示画余弦曲线的五个关键点分别是(0,1)，(，1)，(2，1)基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)余弦函数ycos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条()(2)余弦函数ycos x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形()(3)在区间0,3上，函数ycos x仅在x0时取得最大值1.()(4)函数ycos x在上是减函数()解析由余弦函数ycos x的图象与性质可知(1)(2)(

3、4)都正确，ycos x在x0,3上，在x0和x2时取最大值1，故(3)错误答案(1)(2)(3)×(4)2用“五点法”作函数ycos 2x，xR的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A0，2B0，C0，2，3，4 D0，B令2x0，和2，得x0，故选B.3使cos x1m有意义的m的值为()Am0 B0m2C1<m<1 Dm<1或m>1B1cos x1，11m1，解得0m2.故选B.4比较大小：(1)cos 15°_cos 35°；(2)cos_cos.解析(1)ycos x在0°，180°上为减函数，并且0

4、76;<15°<35°<180°，所以cos 15°>cos 35°.(2)coscos ，coscos ，并且ycos x在x0，上为减函数，又0<<<，cos >cos ，即cos<cos.答案(1)>(2)< 合 作 探 究·攻 重 难用“五点法”作余弦型函数的图象用“五点法”作函数y2cos x，x0,2的简图思路探究在0,2上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可解列表：x02cos x101012cos x32123描点连线，如图规律方法1“五点法”是作三角函

5、数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点2列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点跟踪训练1用“五点法”作函数y32cos x，x0,2的简图解按五个关键点列表、描点画出图象(如图)x02cos x10101y32cos x13531求余弦型函数的单调区间求函数ycos的单调递减区间思路探究本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将ycos化为ycos形式，故只需求ycos的单调递减区间即可解ycoscos，令zx，则ycos z，即2kz2k，kZ，2kx2k，kZ，2kx2k，kZ.故函数ycos的单调递减区间为2k，

6、2k，kZ.规律方法1求形如yAcos(x)b(其中A0，>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；在A>0，>0时，将“x”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间跟踪训练2求函数y2的单调递增区间解y22.结合y|cos x|的图象由kxk(kZ)得kxk(kZ)所以函数y2的单调递增区间为k，k(kZ)有关三角函数的最值问题已知函数y1abcos

7、 x的最大值是，最小值是，求函数y4asin 3bx的最大值思路探究欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解解函数y1的最大值是，最小值是，当b>0时，由题意得当b<0时，由题意得因此y2sin 3x或y2sin 3x.函数的最大值均为2.规律方法1对于求形如yacos xb的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围2求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解跟踪训练3函数ysin2xcos x的值域为_解析设cos xt，因为x，则t

8、，所以y1cos2xcos x2，t，故当t，即x±时，ymax；当t1，即x0时，ymin1.所以函数的值域为.答案正、余弦函数的对称性探究问题1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？提示正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形2正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？提示正弦曲线的对称中心坐标为(k，0)，(kZ)，其对称轴方程为xk，(kZ)余弦曲线的对称中心坐标为，(kZ)，对称轴方程为xk，(kZ)3如何求yAcos(x)的对称中心及对称轴方程？提示只需令xk即可求得其对称中心的横坐标令xk，可求得其对称轴方程已知函数y2co

9、s.(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称，求的最小正值解(1)令2xk，kZ，解得x(kZ)令k0，x；令k1，x.函数y2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x.(2)设该函数向右平移个单位后解析式为yf(x)，则f(x)2cos2cos.yf(x)的图象关于原点(0,0)对称，f(0)2cos0.2k，kZ.解得(kZ)令k0，得.的最小正值是.规律方法关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f(x)Asin(x)(或Acos(x)的图象关于xx0对称f(x0)A或A.(2)f(x)Asin(x

10、)(或Acos(x)的图象关于点(x0，0)中心对称f(x0)0.跟踪训练4把函数ycos的图象向右平移个单位，正好关于y轴对称，求的最小正值.【导学号：79402024】解由题意平移后的函数为ycos，它是偶函数，因此，当x0时，cos取得最大值1或最小值1，故2n或(2n1)(nZ)，即k(kZ)k(kZ)，当k1时，取最小正值.当 堂 达 标·固 双 基1函数ycos x与函数ycos x的图象()A关于直线x1对称B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称C作出函数ycos x与函数ycos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.2下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos 4xDT，4.3函数ysin是()A奇函数 B偶