第二章 系统的数学模型

1、重点：微分方程的建立 Laplace变换和反变换 传递函数建立 传递函数方框图的化简难点：机械系统微分方程的建立 Laplace反变换一、数学模型 2-1 引 言系统的数学模型系统的数学模型:描述系统输入、输出变量以描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的数学表达式。及内部各变量之间的数学表达式。描述各变描述各变量动态关系的数学表达式，量动态关系的数学表达式，称为动态模型。称为动态模型。常常用的动态模型有用的动态模型有微分方程、传递函数及动态结微分方程、传递函数及动态结构图构图。二、数学模型的建立方法 建立数学模型通常有两种方法，即解析法解析法(分析法分析法)和实验法实验法。 解析方法根据系

2、统各环节所遵循的物理或化学规律分别列写相应的运动方程，这种方法要求明确系统的结构和特性。实验方法指对系统加入激励信号，测出其响应信号，再经分析、拟合以辨识系统的数学模型。 本章注重讨论解析法建立物理系统的数学模型。加原理非线性系统：不满足叠理线性系统：满足叠加原. 1 系统x1(t)x2(t)y2(t)y1(t) 系统ax1(t) + + bx2(t)ay1(t)+by2(t) 要求时变系统：不满足上述则定常系统：若tytxtytx,. 2入、输出无关。不随时间变化，且与输即：定常系统的参数baji, xbdtxdbtdxdbxadtdxatdxdaiimimmoononn 0101一般微分方

3、程：一般微分方程：2-2 2-2 微分方程微分方程1、分析系统的结构、工作原理以及信号传递变换过程，确定系统和各元件的输入、输出变量；2、从系统的输入端开始，按信号传递顺序根据各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件关于中间变量的原始微分方程；3、消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。4、规范化：左出右入；各级导数按降阶排列；系统的微分方程是动态数学模型中最基本的一种。系统的微分方程是动态数学模型中最基本的一种。用用解析法建立系统微分方程式的一般步骤如下：解析法建立系统微分方程式的一般步骤如下：二、典型系统微分方程模型列写（一）电气系统(基尔霍夫定律)信号：电流

4、元件：电阻、电感、电容物理量：电压、电流（二）机械系统（牛顿第二定律） 机械系统分为平动系统和旋转系统1、机械平动系统信号：位移元件：质量、弹簧、阻尼物理量：位移（速度、加速度），力2、机械旋转系统信号：角位移元件：转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼物理量：角位移（角速度、角加速度），力矩0)()()()(tUtUtidtdLtRiio电容两端电压为：tdttiCtUo0)(1)(图2-1u0(t)Ui(t)CLR例例2-1 无源电器网如图2-1所示， 为输入电压， 为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。)(tui)(0tu解：设电路中电流为 i(t)()()()(22tututudtdRCt

5、udtdLCiooo整理得:例例2-2 2-2 如图如图2-32-3为由两级形式相同的为由两级形式相同的RCRC电路串联组成的电路串联组成的滤波网络滤波网络. .试列写以试列写以UrUr为输入为输入, , UcUc为输出的网络的动态为输出的网络的动态方程方程. .图图2-3 2-3 两级两级RCRC滤波网络滤波网络(1)(1)根据克希霍夫定律根据克希霍夫定律写出原始方程式：写出原始方程式：rudtiiCiR)(121111(2.9)(2.9)1R2Rrucu2C1C1i2i1l2lABdtiiCtuiRc)(1)(21122(2.10(2.10)(122tudtiCc(2.11)(2.11)(

6、2) (2) 输入输出微分方程式输入输出微分方程式：rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211(2.12)(2.12)令令213222111,CRTCRTCRTrcccuudtduTTTdtudTT)(3212221(2.13)(2.13)例例2-3 如图所示系统，试列写系统输入输出的微分方程模型。M质量；k弹性系数；C粘性阻尼系数Fi(t)输入切削力；y0(t)输出位移。Fi(t)K(b)CMy0(t) 解：(1)确定系统、各元件输入输出输入输入输出输出力力系统系统Fi(t)yo(t)质量质量myo(t)yo(t)弹簧弹簧kyo(t)0K（yo(t)-0）阻

7、尼阻尼cyo(t)0)(tymo )0)(tyco(2)据牛顿第二定律列些关于中间变量的微分方程：)()()()(tyMtyktyCtFoooi （3）消除中间变量，规范化)()()()(tFtyktyCtyMiooo 或：)()()()(202tFtykdttdyCdttydMioo例例2-4 如图2-2所示旋转运动的惯量阻尼弹簧系统。在转动惯量为J的转子上带有叶片与弹簧，其弹簧扭转刚度与粘性阻尼系数分别为k与c。若在外部施加一扭矩M作为输入，以转子转角作为输出，列写系统动力学微分方程。图2-2 机械旋转系统CKMJ 解：(1)确定系统、各元件输入输出输入输入输出输出力力系统系统M(t)转动

8、惯量转动惯量J(t)(t)扭转扭簧扭转扭簧K(t)0K（(t)-0）旋转阻尼旋转阻尼C(t)0)(tJ )0)(tc(2)据牛顿第二定律列些关于中间变量的微分方程：)()()()(tJtktCtM （3）消除中间变量，规范化)()()()(tMtktCtJ 微分方程式是描述线性系统运动的一微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。然而，用微分方程式表示的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇系统的数学模型在实际应用中一般会遇到

9、一些困难。到一些困难。 拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。在控制工程中在控制工程中, ,使用拉氏变换的主要目的使用拉氏变换的主要目的: :用它来研究系统动态特性用它来研究系统动态特性. .因为描述系统动态特性的传递函数和频因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上率特性都是建立在拉氏变换的基

10、础之上的。的。的拉氏变换。为则称存在，线性积分量为实变量，若对于复变上的实值函数为定义在一、定义：设)()()()(,), 0)(0tfsFdttfsFjsttfest0)()()()()(dtetftfLsFtfLsFst，即或记为： 2-3 拉普拉斯变换与反变换拉普拉斯变换与反变换 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换。复变函数等价的变换为在复数域内与之中的实变函数定条件下，将实数域）拉氏变换实质：在一（的原函数为的象函数，为）称（积分；）（。，其量纲为时间的倒数其中，的函数，称复变函数；为复数）（式中：)()(4)()()()(32)(10sFtfsFtftfsFLaplacedtejs

11、ssFst)()()()(),()(),()(: )() 121212211sbFsatbtsFtstFfaffFf则：若叠加定理线性性质为延时函数其中，有，则对任意正实数若）延迟性质：)a()()a()()(2tfsFtfasFtfeas二、拉氏变换性质二、拉氏变换性质时刻的值，即初始值。为其中：则，且上存在导数在若）微分性质：0)0()0()()( )()()( ), 0)(3tffsFstfLsFtfLtftf )()(0)0(.)0( )0()0(.)0( )0()()()1121sFtLffbffsFtLasfffsssfnnnnnnnn则，若推论：dttftsssFdttfLff)

12、()(,)0()()(411式中）积分定理： sdtfffdtffsfsfsdtnnnntnnnnnnnnnsFtfLbtfssFtfLa)()(0)0(.)0()0()()0()0(.)0()0()()().210121 重积分重积分重积分则，若式中，推论：)()(5limlim0ssFtfst）初值定理：)()(6lim0limssFtfst）终值定理：)()(),()(7asFtfeLasFtfLat为常数，则设）位移定理：三、典型信号拉氏变换三、典型信号拉氏变换ttttxi, 0001)(1、单位脉冲信号单位脉冲信号1)单位脉冲信号数学表达式单位脉冲信号数学表达式称单位脉冲信号1)(

13、dttxitf(t)01/2)理想单位脉冲信号数学表达式理想单位脉冲信号数学表达式）（记做理想单位脉冲信号，则ttttxi000)(00001)(ttt工程上：tf(t)03)理想单位脉冲信号的拉氏变换理想单位脉冲信号的拉氏变换1)(tL0001)(tttu2、单位阶跃信号单位阶跃信号/位移位移1) 数学表达式数学表达式tu(t)012) 拉氏变换拉氏变换stuL1)(3、单位斜坡单位斜坡/速度信号速度信号1) 数学表达式数学表达式000)(ttttxi2) 拉氏变换拉氏变换21)(stxLitxi(t)0114、单位加速度信号单位加速度信号1) 数学表达式数学表达式00021)(2ttttx

14、i2) 拉氏变换拉氏变换31)(stxLitxi(t)05、指数函数信号指数函数信号1) 数学表达式数学表达式atetf)(2) 拉氏变换拉氏变换satfL1)(6、正、余弦信号正、余弦信号1) 数学表达式数学表达式ttfttfcos)(sin)(212) 拉氏变换拉氏变换222221)()(sstfLstfL一、定义一、定义jjstdsesFjtfsFL)(21)()(1 2.3.2拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。求拉氏反变换的方法有：求拉氏反变换的方法有：(1)(1)查表法查表法(2)(2)部分分式法部分分式法(3

15、)(3)有理分式法有理分式法二、部分分式法二、部分分式法基本思想基本思想：复杂象函数：复杂象函数F(s)F(s)若干简单有理分式之若干简单有理分式之和和查表求简单有理分式原函数查表求简单有理分式原函数F(s)F(s)原函数原函数F(s)F(s)一般式：一般式：mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm01110111.)()()(的根，则为、设0)(.321sAssssn）（）（）（nnnnnnnnnssssssasBaasaasaasasBsF210111)(.)()(分母进行因式分解分母进行因式分解 用部分分式法将用部分分式法将F(s)F(s)分解成若干个简单有理分式之分

16、解成若干个简单有理分式之和，分和，分以下三种以下三种情况：情况：1 1、A(s)=0A(s)=0的根为各不相同的实数的根为各不相同的实数此时此时F(s)F(s)可分解为：可分解为：niiinnssAssAssAssAsF12211)(issiiisssFAA)(为待定系数，求法为：其中tsniiniiiieAssALsFLtf1111)()(理，可得原函数：再据拉氏变换的叠加定例例1 1 已知已知 ,试求原函数试求原函数.) 3)(2)(1(35)(sssssF解：解： 写成部分分式形式写成部分分式形式321)(321scscscsF1) 3)(2)(1(35) 1(11ssssssc7) 3

17、)(2)(1(35) 2(22ssssssc6) 3)(2)(1(35) 3(33sssssscttteeetf3267)( 课堂练习课堂练习：求：求F F（s s）的拉氏反变换的拉氏反变换233)(2ssssF3455)(22sssssF的原函数6)ss(s2ssF(s)求222 2、A(s)=0A(s)=0有共轭复根：有共轭复根：nnssAssAssssAsAsFsssA33212121)()()(互不相等实根，则，其余根为、有一对共轭复根设。、可求实部、虚部分别相等此式为复数相等，令其得或，并令两边同乘将式求法：、求法同上，系数或或21212121213321212132121)()(,

18、)()()(AAAsAsssssFssssssssssAssAssssAsAsFAAAAssssssssnnn的原函数例：求) 1(1)(2sssssF3 3、当、当A(sA(s)=0)=0有重根时，有重根时，F(sF(s) )可表示为可表示为.)()(1111rrrrpscpscsFnnrrpscpscpsc.1111)()(lim11)(1sFpsdsdjcrjjpsjr！)()(lim)!1(111)1(11sFpsdsdrcrrrps)()(lim111sFpsdsdcrpsr)()(lim11sFpscrpsr因此，原函数为因此，原函数为 )()(1sFLtfnnrrrrrrpscp

19、scpscpscpscL111111111)()(tprrrrectctrctrc112211)!2()!1(tpnriiiec1例例6 6 已知已知 ，试求原函数，试求原函数f(tf(t) )。)3() 1(2)(2sssssF解：解：31) 1()(43122scscscscsF21)3() 1(2) 1(1222ssssssc43) 3() 1(21(1221ssssssdsdc）32)3()1(2023ssssssc121) 3() 1(2) 3(324ssssssc) 3(12132) 1(43) 1(21)(2sssssFttteetetf3121324321)(利用部分分式法求复

20、杂函数原函数的方法：利用部分分式法求复杂函数原函数的方法：（1 1）分析）分析A(s)=0A(s)=0根的情况，并将根的情况，并将A(s)A(s)分解因式；分解因式；（2 2）据）据A(s)=0A(s)=0情况，将情况，将F(s)F(s)展开为部分分式，即展开为部分分式，即多个简单分式和的形式；多个简单分式和的形式；（3 3）将每个分式化为常见函数的象函数形式；）将每个分式化为常见函数的象函数形式；（4 4）查表和应用叠加定理写出）查表和应用叠加定理写出f(t)f(t)的表达式。的表达式。五、拉氏变换解微分方程(3)(3)利用部分分式法，结合查表，取拉氏反变换，得微利用部分分式法，结合查表，取

21、拉氏反变换，得微分方程解；分方程解； 利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)(2)由代数方程解象函数；由代数方程解象函数；ssYyssYysysYs6)(6) 0 (5)(5) 0 () 0 ()(2解：解：将初始条件代入得将初始条件代入得例例7 72)0(, 2)0(6)(6)(5)( yytytyty求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。6122)()65(22sssYsss)3)(2(6122)65(6122)(222sssssssssss

22、Y32)(321scscscsY21021261(2)(3)ssscss ss5) 2() 3)(2(6122222sssssssc4) 3() 3)(2(6122323sssssssctteesYLty321451)()( ,.01110111aasasabbsbsbXXsssssGnnnnmmmmio令定义：当初始状态为零时，线性定常系统输出量与输入量的拉氏变换之比，称为系统传递函数。G(s)Xi(s)Xo(s)传递函数方框图表示系统的变换关系：一、传递函数2.4.1 传递函数传递函数2-4 传递函数传递函数二、传递函数的几点说明1、传递函数的概念，只适用于初始状态为零时的线性定常系统。2

23、、传递函数的分母、分子分别反映了系统本身的固有特性和系统与外界的联系。3、同一系统选取不同物理量作为输入、输出时，传递函数不同。 akcsmsFsYsGs_12y(t)f(t)mkc)()()()(tftkycmtytyy(t)x(t)mkc)()( )()()(tytxktytxctym)()()()()(tkxtxctkytyctym bkcssmkcssXsYsG_2uiu0iLRC cRCsLCsCRsLsCsssGsUUio_111124、传递函数不能反映实际的物理结构。5、分母阶数n不能小于分子阶数m，因实际系统具有惯性，存在延时。6、G(S)量纲可有可无，视XO(S)与Xi(S)

24、量纲而定。传递函数求取步骤：传递函数求取步骤： 1、写出系统的线性或线性化微分方程。2、零初始条件下对微分方程进行拉氏变换。 3、求输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，即为系统传递函数。例1：图示机械系统，输入为xi，输出为xo，求系统传函。xixoAk2c2c1k1xB解：以整体为研究对象难于分析；现以节点A、B为研究对象，并增设中间变量x。节点没有质量，所以惯性力为零，考虑节点受力平衡，得：xxcxxcxxkAooioi211:)()()()()(2222112211sXscksckscksXsckscksXoi，得：作拉氏变换，联立消去scksckscksckscksXsXsGio2

25、222112211)()()()()(xkxxcBo22:例2：如图所示电路。输入ui，输出uo，求系统传函。iCRdtiRdCiiiiidtCRiuuiRuiiiooi2112111212221211,1，有：增设中间变量解 1.1111)()()(,112221112221sCRsCRsCRsCRsCRsUsUsGiiiio，作拉氏变换，并消去UiC2R2UoR1C1i1i2i三、传函的零点和极点： aasasabbsbsbssSXSXsGnnnnmmmmio01110111.)()(令B(S)=0的根称为传递函数的；令A(S)=0的根称为传递函数的。系统传递函数的分母多项式称为特征多项式

26、， A(S)=0称为，极点称为。根据多项式定理，传递函数的一般形式也可写成：)()()()()()()(2121sAsBPsPsPszszszsKsGnm系统的零、极点增益模型）（即态输出与输入的比值，系统放大倍数：系统稳0G)S(SXlim)S(SXlim)(lim)(limi0o0ssitottxtx系统特性由系统的闭环传递函数来描述。四、关于传递函数的几个术语 sEsXsGo、前向通道传递函数1 sXsBsHo、反馈通道传递函数2Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)B(s)-xi(t)xo(t) 反馈环节执行环节- sHsGsEsBsGK、开环传函3Xi(s)G(s)H(s)E(

27、s)B(s)B(s)Xo(s)-注意：开环传递函数是闭环控制系统一个重要概念，它并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环。 无量纲 sHsGsGsssHsGsGssBsEssHsBsBssEsGsEsssGXXXXXXXBiooioio11,s4GB闭环传函：得到：和消去中间变量而由于、闭环传函 sHsGsGssBssEsBsHsGsGssBssEsBGXGXBiBi11，即通常在相加点处取为正正反馈，即通常在相加点处取为负负反馈Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)B(s)-+G(s)H(s)+-G(s)+-H=15 . 02321, 013 , 21zjpp零点：极点：分别令分

28、子、分母为零，得到1个零点，3个极点： 求系统零、极点。，馈系统，其开环传函例：设有一个单位负反5951023sssssGK 151051011223ssssssssGHGGHGsGKKB则闭环传函：)()()(sHsGsGK开环传函tt1xo(t)0 xi(t)KXo(s)Xi(s) tKtxxioz1xoz2xi 例：图示为一对共轭齿轮传动副，xi和xo分别为输入、输出轴的转速，z1和z2为轮齿数目。根据齿轮啮合传动的基本定律，得： KsssGttzzXXzxzxiooi21212-5 2-5 典型环节的传递函数典型环节的传递函数1、比例环节比例环节： 放大系数KKsssGXXio,动力学

29、方程：动力学方程：传递函数：传递函数：传函方框图：传函方框图：特点特点：输出无延时，无失真：输出无延时，无失真uiCRiuo例：如图所示电路。 )1(1)()(,1,CsRCssssGidtCuiRUUuuioooi 称为时间常数，传递函数，微分方程：TTssGdtdxTxxioo112、惯性环节惯性环节：当输入为阶跃函数时： )(111)()(1tusLtsTsssGseXxXXTtooiotxo(t)0 xi(t)1111TsRCsRCT特点特点：因储能元件的存在，输出延时：因储能元件的存在，输出延时3、积分环节积分环节： dttxTtxio1Xo(s)Xi(s)Ts1uoR+-CRici

30、1ui例：图示放大器积分电路，iiiicocidtudcRu11)( sFsdttfL1 RCTRCssUsUsGio这里,1)()( TssXsXsGio1txo(t)0 xi(t)当输入为阶跃函数阶跃函数时： tTsLtTsTssTssGtttutXxsXxoooi111111,0, 00, 112特点特点：（1）对单位阶跃信号，输出在t=T时刻才等于输入 滞后作用（2）)()(txTtxoidttxTtxio)(1)(即：当xi(t)=0时，xo(t)不再变化，保持原值 记忆功能 eXXsiosssG)()(传递函数4、延迟延迟/延时环节延时环节：，微分方程：)()(txtxiotxo(

31、t)0 xi(t)特点：由xo(t)=xi(t-)知，输出滞后于输入个单位，但不失真比较比较：txo(t)0 xi(t)tt1xo(t)0 xi(t)txo(t)0 xi(t) 比例环节特点：任一时刻输出都不失真，不延时 惯性环节特点：输出延时，开始时还存在失真 延时环节特点：在0-内无输出，延时后，输出无失真5、振荡环节振荡环节：例：如图所示电路。uiCRuoL111/1/)()()(22sRLsLCRLssRLCRsCRsLsCRsUsUsGionnnnssTssTsGLCTLCT222222121)(,11则：，令 ,22txtxtxTtxTiooo。，阻尼比；无阻尼固有频率；振荡环节时

32、间常数101TTn 。，则：令2222222221,1121121nnnnssGTsTTssGsTsTsT。根：特征方程有一对共轭复若22 , 11, 10: )nnjsatuo(t)0ui(t)1nnnsssG2222)(特点特点：,)()()(1, 1:)221121222, 1ssAssAsssssGsGbnnns作因式分解，得：对。系统极点若此时二阶环节可视为两个一阶惯性环节的串或并联。nnnsssG2222)(C）当T很小很大时，T2S2可忽略，二阶环节近似为一阶惯性环节 12122TssGsTd）振荡环节一般含有两个独立储能元件和一个耗能元件，由于两个储能元件之间有能量交换，使系统

33、输出发生震荡，耗能元件的存在，又使得振荡为衰减振荡。一般系统含几个独立的储能元件，系统微分方程就有几阶。e）从G(S)极点看，极点为一对共轭复根（1）时，系统输出发生振荡。6、微分环节微分环节：；，传函TssGtxTtxio)()()(例：图示放大器微分电路。dtCRdtCRuiduuiiduiiocico11 RCssGuoR+-Rici1uiC微分环节作用：KPXo(s)Xi(s)对于比例环节txo(t)=Kpt0 xi(t)=tttttKxxpoi)()(1）使输出提前使输出提前。Xo(s)Xi(s)KpT sKp+并入微分环节)()( 1) 1()()( )( 22TtKtxsKsTK

34、sTsKsXsGsXppppitxo(t)t1x(t)Tt2)()( TtxtxotKtxpo)(Kp(Ts+1)Xo(s)Xi(s)Xo(s)Xi(s) +Kp) 1(TssK-2）增加系统阻尼增加系统阻尼。KpTd s+；，其中阻尼比解：TKKTKsTTKKsKTssKTssKsGpppppppKsKKTsKKK1211) 1(1) 1()(122112221)1 ()1 ()1 () 1()1 (1) 1()1 ()() 1()1 (，则由于，系统传函传函为并联微分环节，则前向TKKTKsTKTKTKTKdppdpdpdpdpdpKKsKTsKTssKsTssKssGTssKs3）灵敏度

35、高灵敏度高。度高。微分环节对噪声的灵敏。如图噪声频率较高如图而一般信号频率较低变化趋势进行预测。入变化趋势，可对输入正比，也即输出反映输成输出与输入信号的导数对于微分环节，)(),()(),(baiTttxxo图a图b4）微分环节不能单独存在微分环节不能单独存在。微分环节输出反映输入的微分当输入为单位阶跃信号xi(t)=1时，实际不可能为单位脉冲信号）（输出,)()(),1( 11)()(XOttxTSSSXSGSoi所以，微分环节不能单独存在于系统。2-6 传递函数方框图表示及化简传递函数方框图表示及化简X(S)信号线函数方框G(s)X2(S)Xi(S)一、传递函数方框图的概念一、传递函数方

36、框图的概念 传递函数方框图传递函数方框图也是描述系统的一种数学也是描述系统的一种数学模型，方框图的结构要素模型，方框图的结构要素: :方框图具有方框图具有单向性单向性，即输出对，即输出对输入没有反作用输入没有反作用信号线传送信号，信号线传送信号，无能量损失和转换无能量损失和转换，即同一信号线上信号大小、量纲同即同一信号线上信号大小、量纲同相加点/比较点X2(S)X3(S)X1(s)_+分支点/引出点X3(S)X2(S)X1(S)XXX213XXX321（1）相加点输入可多个，但）相加点输入可多个，但输出是唯一输出是唯一的的（2）相加点处信号为）相加点处信号为同种变同种变量，量纲相同量，量纲相同

37、 GK(S)无量纲无量纲表示同一信号的不同传递方向表示同一信号的不同传递方向信号线不消耗、转换能量信号线不消耗、转换能量二、系统方框图的建立二、系统方框图的建立建立物理系统方框图的建立物理系统方框图的基本步骤基本步骤：1 1、确定系统、确定系统输入输入和和输出输出变量；变量；2 2、列写关于、列写关于中间变量中间变量的原始的原始微分方程组微分方程组；3 3、零初始状态零初始状态下对上述微分方程组进行拉氏变下对上述微分方程组进行拉氏变换，得到关于的换，得到关于的S S代数方程组代数方程组；4 4、按照信号在系统中的、按照信号在系统中的因果关系因果关系，依次将各元，依次将各元件的方框图连接起来，构

38、成整个系统的传递函件的方框图连接起来，构成整个系统的传递函数方框图。一般：数方框图。一般：左输入右画出左输入右画出。例例：如图所示无源RC电路网，设输入端电压ui(t)，输出端电压为uo(t) ,画出相应方框图。解：根据基尔霍夫定律：dttictutututRiooi)(1)()()()( i(t)uo(t)ui(t)RC零初始条件下，进行拉氏变换，得)(1)()()()(sIcssUsUsUsRIooi)(1)()()(1)(sICssUosUosUiRsIUo(S)Ui(S)I(S)+R1CS1即建立传递函数方框图步骤补充：建立传递函数方框图步骤补充：1 1、微分方程组应顺着信号传递顺序列

39、写；、微分方程组应顺着信号传递顺序列写；2 2、微分方程左输出右输入；、微分方程左输出右输入；3 3、传递的信号总是作为前一个方程的输出，后、传递的信号总是作为前一个方程的输出，后一个方程的输入；一个方程的输入；4 4、第一个方程常以系统输入、输出做输入信号；、第一个方程常以系统输入、输出做输入信号；最后一个方程常以系统输出做输出信号。最后一个方程常以系统输出做输出信号。三、方框图的化简三、方框图的化简 对于复杂控制系统，其方框图甚为复杂，为便于分析和计算，需将其化简。通常化简方法有：l方框图等效化简l利用梅逊公式化简Xo(s)G2(s)X(s)Xi(s)G1(s) GGGGXXXXXXsGi

40、oXio2112引入中间变量 sGsGnnii1则个环节串联而成，若系统由四、方框图的等效化简1、串联串联 sniGi1Xi(s)Xo(s)简化为：Xo(s)Xi(s)X2(s)X1(s)G2(s)G1(s)+ sGsGsXsXsGsXsGsXsXsXsXsXsGiiiiio212121 sGsGnnii1则个环节并联而成，若系统由2、并联并联Xi(s)Xo(s)简化为： sniGi1 HX2+X1 GX2+X1反馈连接：HsGB11)(GsGB1)(并联环节：Xi(s)Xo(s)G(s)H(s) GHGsG13、反馈反馈注意区分反馈与并联：Xi(s)Xo(s)简化为：GHG14、分支点移动规

41、则分支点移动规则分支点前移分支点前移X1(s)X2(s)G(s)X3(s)= X2(s)X1(s)X2(s)G(s)X3(s)= X2(s)G(s)分支点后移分支点后移X1(s)X2(s)G(s)X3(s) =X1(s)X1(s)X2(s)G(s)X3(s)= X1(s)1/G(s)5、相加点移动规则相加点移动规则相加点后移相加点后移相加点前移相加点前移X1(s)X3(s)G(s)X2(s)+X1(s)X3(s)G(s)X2(s)+X1(s)X3(s)G(s)X2(s)G(s)+X3(s)1/G(s)X1(s)G(s)X2(s)+6、相邻相加点移动规则相邻相加点移动规则X1(s)X4(s)X2

42、(s)+X3(s)X1(s)X4(s)X3(s)+X2(s)因加减运算符合交换律，所以相邻相加点可相互任意移动7、相邻分支点移动规则相邻分支点移动规则X(s)X (s)X (s)X (s)因信号线上信号相等，所以相邻分支点可相互任意移动注：相邻分支点、相加点间不能任意移动相邻分支点、相加点间不能任意移动。五、系统传递函数方框图简化方法五、系统传递函数方框图简化方法1、明确系统的输入和输出、明确系统的输入和输出2、分析系统结构，若系统传递函数方框图内、分析系统结构，若系统传递函数方框图内无交叉回路无交叉回路，则根据环节串、并联和反馈连接，则根据环节串、并联和反馈连接的等效原则的等效原则从里到外从

43、里到外进行简化进行简化3、若系统传递函数方框图内、若系统传递函数方框图内有交叉回路有交叉回路，则，则根据相加点、分支点等移动规则根据相加点、分支点等移动规则先消除交叉回先消除交叉回路路，然后转步骤，然后转步骤2。注意注意：每进行完一步等效变换均需重新分析：每进行完一步等效变换均需重新分析系统结构系统结构Cs11I2I+-I1R11-+UU1Cs21U2R21+-UI2U2例：简化如图所示系统方框图。1）分支点后移。Cs11+-R11-+U1Cs21U2R21+-Cs2sCRCsRCsRsG22222211111111)(其中2）串联、反馈环节合并。Cs11+-R11-+U1U2Cs2G1AB3

44、）相加点前移。Cs11+-R11-+U1U2Cs2 G1R1AB4）相加点A、B可合并，再分解，即A、B交换位置。Cs11+-R11-+U1U2Cs2 G1 R1ABCs11+-R11-+U1U2Cs2 G1R1AB5）反馈环节、串联环节合并。-+U1U2sCR21 G1BG2sCRCsRCsRsG11111121111111)(反馈环节传函：6）反馈环节合并。U1U2 GsCRsCRsCRsGGGsCRGGGGsGBB21221121212121111)(,1)(代入，得：将原系统闭环传函：含有多个局部反馈回路的闭环传递函数可由下列公式直接求得：递函数之和每一反馈回路的开环传前向通道传递函数

45、之积1)()()(sXsXsGioB在相加点处，对反馈信号相加时公式中取负号；对反馈信号相减时公式中取正号。要使用梅逊公式，必须具备以下两个条件：要使用梅逊公式，必须具备以下两个条件：（1）整个方框图）整个方框图只有一个前向通道只有一个前向通道；（2）各局部反馈回路间）各局部反馈回路间存在公共的传递函数存在公共的传递函数方框。方框。简化如图所示系统方框图。+-G1+XiG2XoG3H2H12321213211)(HGGHGGGGGsGB传递函数方框图简化总结：传递函数方框图简化总结：1、方法方法：结合等效变换规则和梅逊公式：结合等效变换规则和梅逊公式2、步骤：步骤：（1）分析系统结构，若无回路相交的情况，则）分析系统结构，若无回路相交的情况，