专题勾股定理培优版综合

1、专题勾股定理在动态几何中的应用.勾股定理与对称变换1. (一)动点证明题如图，在zBC中，AB=AC,(1) 若P为边BC上的中点，连结AP,求证：BPXCP=AB2-AP2;(2) 若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由;若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论2. (二)最值问题如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3,BE=1,P为AC上的动点，WJPB+PE的最小值是如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得

2、到BN,连接EN、AM、CM.求证：AAMBAENB;(2)当M点在何处时，AM+CM的值最小;当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;C(3)当AM+BM+CM的最小值为T3+1时，求正方形的边长C3. 问题：如图，在/ABC中，D是BC边上的一点，若/BA2ZC=2ZDA(=45°,DC=2.求BD的长.小明同学的解题思路是：利用轴对称，把ADCH行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决.(1) 请你回答：图中BD的长为；参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在/ABC中，D是BC边上的一点，若/BAD=ZC=NDAC=30,DC=2求BD和AB的长.4. 图图二.勾

3、股定理与旋转阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1,在ABC(其中ZBAC是一个可以变化的角)中，AB=2AC=4以BC为边在BC的下方作等边PBG求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将ABP®时针旋转60°得到ABC,连接A'A,当点A落在A'C上时，此题可解（如图2）.请你回答：AP的最大值是.参考小伟同学思考问题的方法，解决下歹0问题：如图3,等腰RtABC边AB=4,PAABC内部一点，则AP+BP+C的最小值是（结果可以不化简）5. 如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3BP=

4、4CP=5求ZAPB的度数.变式1:?ABC,ZACB=90,AC=BC点P是？ABC内一点，且PA=6PB=2PC=4求ZBPC的度数变式2:问题：如图1,P为正方形ABCLft一点，且PA:PB:PG1:2：3,求ZAPB的度数.小娜同学的想法是：不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PAPRPC相对集中，丁是他将BCF点B顺时针旋转90°得到BAE(如图2),然后连结PE,问题得以解决.请你回答：图2中ZAPB的度数为.请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3,P是等边三角形ABC内一点，已知ZAPB=15°,ZBPC=25°.在图3中画出并指明以P

5、APRPC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);求出以PAPRPC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等丁图2已知RtzBC中，ZACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45”，半径的长等丁CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE,CF分别与直线AB交丁点M,N.(1)当扇形CEF绕点C在ZACE的内部旋转时，如图，求证：MN2=AM2+BN2;(2)当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由.图75、而、M3,求这个三角形的面积.变式1:如图，在RtAABC中，/BACnLACnAB,/DAE=45&

6、#39;且BD=3,CE=4顶DE=变式2:如图，在RtAABC中，AB=AC,DE是斜边BC上两点，且ZDAE45°,将ADC绕点A顺时针旋转90，后，得到AFB,连接EF,下列结论:AEDXAEF;ABEXACD;BEDC=DE;BE2+DC2=DE2其中正确的是（）A.；B.；C.；D.（三）其它应用7.在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的.边长为1),再在网格中画出格点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.(1)请你将ABC的面积直接填写

7、在横线上;思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法.若ABC三边的长分别为y/2a、J13a、/有a（a：>0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC,并求出它的面积填写在横线上探索创新：（3）若ABC中有两边的长分别为股a、应a（a>0），且ABC的面积为2a2，试运用抱贸法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上:已知ZABC=90°,点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在/ABC的内部作等边ABEmAPQ,连结QE并延长交BP丁点F.（1）如图1,若AB=23,点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF