专题复习综合与实践探究

1、专题复习（六）综合与实践探究综合与实践探究题，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和探究问题的能力，一般是压轴题，不仅覆盖了初中阶段数学的核心内容，还蕴含了数学思想（函数思想、方程思想、转化思想、分类思想、数形结合思想等）、数学方法（归纳、演绎、观察、试验等），具有足够的思维含量，属于较难题.希望同学们在复习中，一方面学会利用数学的概念、原理和方法解决数学问题和现实世界中的问题；另一方面把大量与数量和图形有关的问题抽象成数学问题，并用数学的方法加以探索、研究和解决，并加以验证.（2019河北T2613分）某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD如图1和图2.现有1号、2号两辆游览车分

2、别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分.探究：设行驶时间为t分.（1）当0Vt<8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1,y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）当t为何值时，1号车恰好第三次经过景点C?并直接写出这一段时间内它与2号车相遇的次数.发现：如图2,游客甲在BC上的一点K（不与点B,C重合）处候车，准备乘车到出口A,设C仁x米.情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘

3、即将到来的2号车.比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去.步行的速度是50米/分.当行进到DA上一点P（不与点D,A重合）时，刚好与2号车迎面相遇.（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；（2）设PA=s（0vsv800）米.若他想尽快到达出口A,根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？【思路点拨】探究：（1）由“路程=速度x时间”就可以得出y1,y2（米）与t（分）的函数关系式，再由关系式就可以得出两车相距的路程是400米时t的值；（2）求出1号车3次经过C的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇

4、后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数.发现：分别计算出情况一的用时和情况二的用时，再进行大小比较就可以得出结论.决策：（1）根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车到出口A的距离小于2个边长，而乘2号车到出口A的距离大于3个边长，进而得出结论；（2）分类讨论，若步行比乘1号车的用时少，就有三V迎二2-S，得出sv50200320.就可以分情况得出结论.解：探究：（1）y1=200t,V2=200t+1600.2分当相遇前两车相距400米时，y2y1=400,即一200t+1600200t=400.解得t=3.3分当相遇后两车相距400米时，y1-V2=400,即200t（200t+160

5、0）=400，解得t=5.4分（2）当1号车恰好第三次经过景点C时，由题意，得200t=800X2+800X4X2.解得t=40.5分这一段时间内它与2号车相遇5次.6分发现：情况一用时为：迎靠-七16-7分情况二用时为：800204+x=16+200.8分.情况二用时较多.9分决策：(1)由题意知，此时1号车正行驶在CD边上，乘1号车到出口A的路程小于2个边长，而乘2号车到出口A的路程却大于3个边长，所以乘1号车用时比2号车少.10分(2)若步行比乘1号车用时少，贝U800二2S，解得sV320.50200.当0vsv320时，选择步行.11分同理可得：当320vsv800时，选择乘1号车.

6、12分当s=320时，选择步行或乘1号车.13分注：对于决策(2)，如果答“当sV320时，选择步行，以及当s>320时，选择乘1号车”均视为正确1.(2019石家庄十八县大联考)尝试探究：小张在数学实践活动中，画了一个ABCZACA90°,BO1,AC=2,再以点B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,以点A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E,如图1,则AE=寸51,此时小张发现AE=ACEC,请同学们验证小张的发现是否正确.拓展延伸：小张利用图1中的线段AC及点E,构造AE=EF=FG连接AF,得到图2,试完成以下问题：(1) 求证：ACFAFCE(2) 求ZA的度数；(

7、3) 求cosA的值.应用迁移：利用上面的条件，求半径为2的圆内接正十边形的边长.解：尝试探究：AC牛90°,BO1,AO2,A=5.AAAE=对1.AE"=(*1)2=62*,ACEO2X2g-1)=62寸5,AE"=ACEC.小张的发现正确.拓展延伸：(1)证明：.A=ACEC,ACAE'A!=EC.AE=FC,.ACFC一无=EC又C=ZC,ACFAFCE.(2).ACFAFC匕.AFOZFEC.EF=FC,/OZFEC./AFOZC.AOAF.AE=EF,ZA=ZAFE.ZFEO2ZA.ZO2ZA.ZAFOZC=2ZA.ZAF济ZC+ZA=180&

8、#176;,.ZA=36°.过点F作FMAC交AC于点M.由尝试探究，知AE=寸51,EO3一寸5.EF=FC,MA34A阵艾1.由得，AOAF=2,AMJ5+1-cosA=-.AF4应用迁移：360°，一,.正十边形的中心角为1=36。，且是半径为2的圆内接正十边形,AC和AF都是圆的半径，FC是正十边形的边长.当点A是圆内接正十边形的圆心时，设AF=A=2,FC=EF=AE=x,.ACFAFCEAFFC''MEC.2EF一=.EF2-EFEF=°51.，半径为2的圆内接正十边形的边长为2.(2019河北)观察思考：1,图2是它的示意图.其工作原

9、理是：滑块Q在平直滑道l上可以某种在同一平面进行传动的机械装置如图左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以。叫半径的O。上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OMl于点H,并测得。七4分米，P牛3分米，O&2分米.解决问题：(1) 点Q与点。间的最小距离是4分米；点Q与点。间的最大距离是5分米；6分米；PQ与。是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么?的距离最小.”事实上，还存在着点点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是(2) 如图3,小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，

10、P到l距离最大的小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l位置，此时，点p到l的距离是3分米；当op绕点o左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.图1图2图3解：(2)不对.理由：.OA2,PO3,OO4,且42乒32+22,即oQ乒P(Q+OP2,OP与PQ不垂直.PQO。不相切.P'OP连接P'P,交。町点D.POP'Q'=3,OP在绕点。左右由知，在O。上存在点P,P'到l的距离为3,此时，OP将不能再向下转动，如图.摆动过程中所扫过的最大扇形就是PQP'Q'均与l垂直，且四边形PQQP'是矩形

11、.OMPP',Pt>P'D.OA2,Ot>O+HA1.ZDOR60°.ZPOP=120°.这个扇形面积最大时圆心角的度数为120°.1所示，规格3.(2019保定高阳县模拟)某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图要求杯口直径AE6cm,杯底直径Ct>4cm，杯壁母线AOB46cm.请你和他们一起解决下列问题：(1)小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2,忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分.图2中EF的长为6兀cm,MM勺长为4兀cm,MENF=6cg要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定M浙在圆

12、的圆心o,如图3所示，小颖同学发现若将EF,MN近似地看作线段，类比相似三角形的性质可得EF的长OF*K.请你帮她证明这一结论;ONMN勺长根据中的结论，求M晰在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n；(2)小颖同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长.解：(1)设M斯在圆的半径为r,所对圆心角度数为n,则lMN=,lEF=n'N,180180n兀（r+NF）丘F180IMNn兀r'18?hJEFr+NF。卅NFOF即=.rONONIMN丘FOF6兀r+6由得，=志即一=，解得r=12.ON4兀rIMN-lMN=羸喘=4兀,即=4兀.180180180解得n=60.M晰在圆的半径r=12cm,它所对的圆心角的度数为60.如图4,延长EMFN交于点Q/MON60°,MOrfEOF都是等边三角形.长方形的长EF=12+6=18（cm）.设RS与EF交于点P,连接OR交ZX于点QOC