常微分方程试题库.

1、常微分方程一、填空题i 微分方程(dy)n dy y x2o的阶数是dx dx答：12.假设M(x,y)和N(x,y)在矩形区域R内是(x, y)的连续函数，且有连续的一阶偏导数,那么方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0有只与y有关的积分因子的充要条件是対)(y)3. 为齐次方程.答：形如dy g(=)的方程dx x4如果 f (x, y) 那么,dyf (x,y)存在dx唯一的解y(x),定义于区间x xoh上，连续且满足初始条件yo(X。)，其中h.答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件hmin( a, b) m5 对于任意的(x,y1) ,(x,y2)R (R为某一矩形区域

2、),假设存在常数 N(N 0)使那么称f(x, y)在R上关于y满足利普希兹条件.答：f(x,yj f(x2)N y! y26.方程dy x2y2定义在矩形区域R： 2 x 2, 2 y 2上，那么经过点(0,0)的解的dx存在区间是 答:11x447假设Xi(t)(i1,2,.n)是齐次线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式，那么w(t)满足一阶线性方程答：w a1 (t)w 08假设Xi (t)(i1,2,.n)为齐次线性方程的一个根本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解，那么非齐次线性方程的所有解可表为n答：xcixi Xi 19 .假设(X)为毕卡逼近序列n(X)的极限，那么

3、有 (X) n(X)答:MLLf(n 1)!10. 为黎卡提方程，假设它有一个特解y(X)，那么经过变换，可化为伯努利方程.答：形如 dy p(x)y2 q(x)y r(x)的方程y z ydX11. 一个不可延展解的存在区间一定是 区间.答：开12. 方程3 . y 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .dx答：D (x,y) R2y 0，或不含x轴的上半平面13 .方程乎 x2 sin y的所有常数解是.dx答：y k ,k 0, 1,2,14. 函数组1(x), 2(x), n(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不恒等于零.答：充分15. 二阶线性齐次微分方程

4、的两个解y1 (x), y2(x)为方程的根本解组充分必要条件是.答：线性无关或：它们的朗斯基行列式不等于零16. 方程y 2y y 0的根本解组是 答: ex, xeX17 假设y (x)在(,)上连续，那么方程dy (x)y的任一非零解 dx与x轴相交.答：不能18.在方程yp(x)y q(x)y 0中，如果p(x)， q(x)在(,)上连续，那么它的任一非零解在 xoy平面上与x轴相切.答：不能19假设y ! (x), y2 (x)是二阶线性齐次微分方程的根本解组，那么它们共同零点.答：没有20. 方程 y1 y2的常数解是.dx答：y 121. 向量函数组Y1(x),Y2(x), ，丫

5、n(x)在其定义区间I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式 W(x) 0，x I .答：必要22. 方程dy x2 y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .dx答：xoy平面23. 方程x(y2 1)dx y(x2 1)dy 0所有常数解是 .答：y 1, x 124 .方程y 4y 0的根本解组是 .答: sin 2x, cos2x25.阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.答：2二、单项选择题1. n阶线性齐次微分方程根本解组中解的个数恰好是 A丨个.A不是其对应齐次微分方程组的解B是非齐次微分方程组的解C是其对应齐次微分方程组的解D是非齐次微分方程组的通解方程业1y2过点(一，

6、1)共有B 个解.dx2A一B无数C两D三方程业xy 2 B 奇解.dxA有三个B无C有一个D有两个一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差5.6.线性空间.AC丨.n阶线性齐次方程的所有解构成一个AnB n-1Cn+1Dn+22.如果 f (x, y),f(x,y)都在xoy平面上连续，那么方程ydydxf(x, y)的任一解的存在区间D .A必为(B必为(0,3.C必为(,0)D将因解而定1方程矽x 3dxy满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是D .A上半平面Bxoy平面C下半平面D除y轴外的全平面4.7.8.9.An维Bn 1 维方程芸3y3过点a .dyA有无数个解B只有三个解C

7、C只有解Dn 2 维0 D只有两个解fy (x, y)连续是保证f (x, y)对y满足李普希兹条件的条件.A充分B充分必要C必要D必要非充分10.二阶线性非齐次微分方程的所有解C丨.A构成一个2维线性空间B构成一个3维线性空间C不能构成一个线性空间D构成一个无限维线性空间11 .方程. y的奇解是D . dxAy xBy 1Cy 1Dy 012 .假设y 1x , y2x是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，那么该方程的通解可用这两个解表示为C .B1x2xCC 1x2X13. fy x, y连续是方程 矽dx必要B14.方程矽.y 1Cdx有一个B必要非充分奇解.有两个i(x)A1 (x

8、) 2 (x)DC 1x2xfx,y初值解唯一的D 条件.C充分必要D充分D有无数个15.方程樂3yl过点。，°有A三、A无数个解B只有一个解(C)只有两个解D只有三个解求以下方程的通解或通积分1晋宀dx x y解："dy y-y2 ，那么y1dye y (1dyy dy c)所以3yxcy2也是方程的解2.求方程dyx y2经过dx解：0>(x)01(x)XX020 (x)dx2XXX012(x)dx另外 y o0,0的第三次近似解1 2x21 2x215x20x3(x)0 x22(x) dx1511118xxx2044001603.讨论方程dydxy(i)1的解的

9、存在区间dx两边积分 所以方程的通解为故过y(i) 1的解为通过点 (1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 2,所以解的存在区间为 (，2)4. 求方程(矽)2 y2 10的奇解dx解：利用p判别曲线得p2 y2 102p 0消去p得y21即y所以方程的通解为y si n(x c)所以y1是方程的奇解11x5. (cosx )dx (2)dy 0yy y(y)所以(y) inyxy解：M =y2y ,-N =x2yu1cosxxy得usin xxv1xy2yyy2=,所以方程是恰当方程 y x(y)故原方程的解为sin x - ln y c6. y y2 2ysinx cosx sin

10、2x解:yy2 2ysinx cosx sin2 xy sin x ，令 y即 y sin x1,故 yx cz sin x ,那么方程可化为竺dx1sin x2327. (2xy 3y )dx (7 3xy )dy解：两边同除以y2得8.2xdx 3ydx 厶 dyy3xdy 0dx2所以dydxd3xy3xyxy2xc ,另外 y0也是方程的解0时，别离变量得dyyhx等式两端积分得In y-ln(1x2) ln C2即通解为y C 1 x29.dydx解3y e2x齐次方程的通解为3 xy Ce令非齐次方程的特解为y C(x)e3x代入原方程确定出Cx5畀原方程的通解为y Ce3x ,

11、1 2x+ e510.? y xy5dx方程两端同乘以5，得dydx令y44y5 dydx史，代入上式，得dxdz4 dx通解为Ce4x原方程通解为4 Ce4x11.2 22xydx (x y )dy 0解 因为卫 2x ，所以原方程是全微分方程. yx取X。，yo0, 0，原方程的通积分为xy 2o2xydx o y dy C即x2y 1 y3 C312.业 ylnydx解：当y 0，y 1时，别离变量取不定积分，得通积分为出dx C yin yin y Cex13. yy (y )2 3x20解原方程可化为2(yy x)0于是ydX x2°积分得通积分为丄 y2 Cix -x3C

12、23dy dxy2 上x x解：令yxu，那么dx u悄，代入原方程，得14.,1 u2dux -dx别离变量，取不定积分，得dxdulnCC 0通积分为：yarcsinIn Cxxxy_tanyxxu ,那么dyudux代入原方程，得dxdxdutan udu丄uxuxtan udx'dx15.乜 d x解令1x当tanu 0时，别离变量，再积分，得dutan udxxIn CIn sin u In x In C即通积分为：si n# Cxx16. 业工1 dx x解：齐次方程的通解为y Cx令非齐次方程的特解为y C(x)x代入原方程，确定出 C(x) lnx C原方程的通解为y

13、Cx + xln x17. (x2ey y)dx xdy 0解积分因子为(x)丄x原方程的通积分为x x y y1 (e $)dx 0 dy Ci x即exC, C e C1x18. yy (y)20解：原方程为恰当导数方程，可改写为(yy)yy别离变量得ydyC1dx积分得通积分19.y (x In y )11 22yC1 x C2令y p，那么原方程的参数形式为1 .In pPP由根本关系式dydx1 1dy ydx p (2 )dpp p i(1 )dpp积分得y p In p C得原方程参数形式通解为In pIn20.2yy y 2x 0原方程可化为(yydy y - dx积分得通积分

14、为于是x2C12 C1X21.(x3 xy2 )dx(x2yy3)dy 0解：由于y2xy ，所以原方程是全微分方程.x取(xo, yo)(0, 0)，原方程的通积分为x4x 320(x3 xy2)dxy 30 y dy C12x2y2 y4四、计算题11 .求方程y丄ex的通解.2解对应的齐次方程的特征方程为:特征根为:1，2故齐次方程的通解为：y Gex C2e x因为1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为yi(x)Axex代入原方程，有 2AexAxe Axe故原方程的通解为C1exC2e£ ex,可解出1 x xe42.求以下方程组的通解dxdtdydt3x2y4yA E1

15、324即2320特征根为11 ,22方程组的特征方程为解011对应的解为x1a-iy1b1其中a1, b1是11对应的特征向量的分量,满足12 a104 1 b10可解得a11, b11.同样可算出2对应的特征向量分量为a2 2,b1所以，原方程组的通解为CiC22e2t3e2t3.求方程y 5y sin5x的通解.解：方程的特征根为i 0,25齐次方程的通解为y Ci C2e5x因为 i 5i不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为yi(x) Asin5x Bcos5x代入原方程，比拟系数得25A 25B125A 25B01i确定出 A ， B 5050原方程的通解为y C C2e5x(cos

16、 5x si n5x)504.求方程y 5y5x2的通解.解对应齐次方程的特征方程为2 50 ,特征根为0,25,齐次方程的通解为y C C2e5x因为 0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y (x) x(Ax Bx C)代入原方程，比拟系数确定出11A， B，C-3 525原方程的通解为y C1 C2e5x 1x3- x2 x3525五、证明题1. 在方程dy f(y) (y)中，f(y)，(x)在(，)上连续，且(1)0 .求dx证：对任意x0和y。1，满足初值条件y(x。)yo的解y(x)的存在区间必为(证明：由条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y

17、 1是方程的两个常数解.任取初值(Xo, yo)，其中Xo(),yo1 .记过该点的解为y y(x)，由上面分析可知，一方面y y(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y 1，下方不能穿过y 1,否那么与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为(2. 设y 1(x)和y 2(x)是方程y q(x)y o的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x) C，其中C为常数.证明:如果y 1(x)和y2(x)是二阶线性齐次方程y P(x)y q(x)y 0的解，那么由刘维尔公式有W(x)W(x°)exP(t)dtxo现在，p(x) 0故有W(x)W(x°)ex)dtxoW

18、(xo) C3. 在方程yp(x)y q(x)y o中，p(x)， q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：由条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(，).显然，该方程有零解y(x) o .假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点xo处与x轴相切，即有y1(Xo) y1 (xo) = o，那么由解的惟一性及该方程有零解y(x) o可知yi (x) o, x ()，这是因为零解也满足初值条件yi(xo)yi (xo) = 0,于是由解的惟一性，有yi(x) y(x) 0, x (,) 这与yi(x)是非零解矛盾.4. 在方程yp(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：假设p(x)恒不为零，那么该方程的任一根本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.证明：设yi (x)，y2 (x)是方程的根本解组，那么对任意 x (,)，它们朗斯基行