平面向量与解析几何的综合运用

1、精选文档平面对量与解析几何的综合运用数学组 施冬芳由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何学问的交汇处设计试题，已渐渐成为高考命题的一个新的亮点。近几年全国各地的高考试题中，向量与解析结合的综合问题时有消灭。但从最近教学状况来看，同学对这一类问题的把握不到位，在试卷上经常消灭进退两难的境地，因此，就这一问题做一归纳总结和反思。平面对量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者

2、考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：1、 运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清楚,易于操作,比用斜率或定比分点公式争辩这类问题要简捷的多。 例1. (全国卷)）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解：设椭圆方程为则直线AB的方程为，代入，化简得.令A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得 在椭圆上，即

3、由（1）知又，代入得故为定值，定值为1. 例2（天津卷）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c, 0）(c0)的准线l与x轴相交于点A, 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。()求椭圆的方程及离心率；()若，求直线PQ的方程；()设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：简解 () 椭圆方程为,离心率 ()略. () 证明 设P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程组：； 留意1，消去x1、y1和y2 得 因F（2 , 0）, M（x1,y1），故而所以 .2.运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题；运用向量的数量积，可以把有

4、关的长度、角度、垂直等几何关系快速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。例3. （重庆卷）设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y22px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。分析 要证点O在圆H上，只要证OAOB，可转化为向量运算·0，用向量运算的方法证明（见图1）解答 由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：kyx2p又设A（xA,yA）,B(xB,yB), 则其坐标满足消去x，得y22pky4p20kyx2py22px 由此得xAxB4pk (yAyB) (42k2)p

5、 ， xAxB4P2因此·xAxByAyB0，即OAOB故O必在圆H的圆周上。又由题意圆心H（xH , yH）是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且从而当k0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小。此时，直线AB的方程为：x2p.3、运用平面对量综合学问，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。例4（全国新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(1, 3)， 若点C满足，其中，R且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）. 分析 本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富。解法1

6、设C(x, y)，则 (x, y)=(3, )(, 3)=(3, 3)，又 +=1 x=3， y=3 x=41，y=23消去参数，得点C的轨迹方程为x2y5=0解法2 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x2y5=0，故本题应选D从上述几例可以看出，只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析，充分挖掘问题的向量背景，留意运用曲线参数方程的点化作用，就完全有可能获得一个秀丽的向量解法。随着新教材的逐步推广、使用，今后高考对新增内容的考查会渐渐加大，综合性会更强。作为新课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点

7、，成为了作为联系众多学问的桥梁。因此，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必定趋势,所以必需格外重视对向量的复习与演练，直至达到深刻理解、运用娴熟的境地。对“导数的应用”的教学反思数学组 施冬芳新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用始终是高考试题的重点和热点之一。本文对几类常见问题进行剖析和探究。问题：若为函数f(x)的极值点，则= 0吗？答：不肯定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数在处有微小值，而不存在。正确的命题是：若为可导函数f(x)的极值点，则= 0问题：

8、若= 0, 则函数f(x)在处肯定有极值吗？答：不肯定。反例：函数有= 0，而f(x) 在处没有极值。 正确的命题是：若= 0,且函数f(x)在处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在处有极值.问题：在区间上的可导函数f(x)，>0是函数f(x)在该区间上为增函数的充要条件吗？答：不肯定。反例：函数 在上为增函数，而= 0。正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间上，>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件. （函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内0。另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不全都

9、。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。问题：单调区间应写成开区间还是写成闭区间？答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。问题：“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有区分吗？ 例1已知曲线上一点P（2，）. 求点P处的切线方程。大多数同学能快速找到解题思路，并得到正确结果：.变式 已知曲线上一点P（2，）。求过点P的切线方程。 解 设切点为Q,则切线的方程为 又点P在切线上，所以 整理，得 所以 于是 切线的方程为，.小结：“曲线在点P处的切线”只有一条，且P为切点；“曲线过点P处的切线”有两条,P不肯定是切点。在高三数

10、学复习中，用好课本，尤其是课本例题更为重要，能总结出一些有规律性的东西，可使同学在复习时既有生疏感又有新颖感，从而提高生疏的深度。问题6：忽视函数的定义域，简洁致错，也给解题带来很大困难。例2 求函数的单调递增区间。错解： 所以 所以 单调递增区间是和。 正解： 因定义域为 ， 所以是正数 于是 所以 单调递增区间是。评注：这种类型的题目在高三总复习中经常见到，也是同学常犯的错误之一。函数的单调性是函数性质的核心，是高考必考内容，强调求函数的单调区间时，不忘求定义域，还要先求定义域，从而达到化繁为简，事半功倍的效果。问题：用导数解含参数的函数在某区间上的单调性问题例3 若函数 在内单调递减，则实数a的取值范围为错解： 由于 在内单调递减，所以 在上恒成立，即 恒成立。因此 。正解： 由于 在内单调递减，所以 在上恒成立 ，即 恒成立。因此 评注：这种类型的题目是高考试题的重点和热点，也是同学常见的错误之一。出错的缘由在于没有搞清楚函数单调性的充分条件与必要条件之间的关系；没有正确理解函数单调性的充分条件”的含义。经探讨得到以下结论： 一般地，设函数 在某个区间内可导，则，且方程的解是离散的 是f(x)在该区间上为增函数的充要条件