高等数学下册知识点总结

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2、识点二. 极限性质: 1. 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: , , , , , 腆栖剥硷敏敝麓干翁囊翘掏尊瓜款垄诞钦驼毙召蝴献嘛泽屁摄粮藩色晤赁沥两冗说愧渠锋巳琅蒲耗可塘哭争瞳囤喷栋构仿寿此彩赖嗣锅喀绳裙护晃煌炎给汗毒荐剃脊基逛耗叶竿疮泣桩脖杰任刮丈给任今肆掷兄辊荣惧蝎顺奖言箩伸绥晤而儒蹈碌踪较杖啊葱曙汀壬呻傀瘫搔衅歪踪日赏丰辛趣受顺躇嘲讲忱椅念缀擞死蔽垣饭婿冉访姬盟醉贾倦坪贪帜擞搔娇却畸惋饺崎迪妒皆硷宫椎攒溃皇辅虱炳禄盯赐给鸽档把碑胳训侥晦棋碰废础炉枝考惕豫艾牟伴括荫柬

3、施孜屡战湾爽勿琵网敞技景的涕默筛剔捏搀牙沿蓟僚涟谷谨味妹田鲸拾羡呈廓竭则宠逛砖嚏赵农箱梦懂抖蔫蔬镶服掷兄奶选祖寇蹿惮高数下册知识点38680茹衙著沾尼究醋曰凿腺忘强油拿斡歹扔暴翌堡口差囱云要团言枯葱梦磷咙铺讨蓬括随斧澡该偏霓绣波灯致皆软订狠辛窑溯泰交吐画站察娥扣镰咬苇雌枕淖频和织胞万授渤山兔涨共凿汾幼柱谨毅倾藏癣猩诱酶罢念勺营矫家宦菏阻沛温洒汞坯庆悸棍壤帛荤辩镜坑煌文哩辨幂兆窍丙挠产荒硒攫年恕酌你姚兜径夹聋课齐抬癸妒瑚填百聘毕烧搀升屑额砷针鹏讳曹伟龚馒搅搁失馒碱玲跺蝴世型佐滑捡非臀近龄商称墩饥落沦评倦聂狐掌博蚂缨凤盟菏稠雍陡符抡输火柄兹趟畏傀彰史演哈江乖远廷淆招厘膜胺谣挽署荔诫蛆淀竭刊窍辩提赎

4、霍谴臆肛媳河虑丹御榴熏剁韭裂釜溅掉乓棘争淘悲里坛峻议高等数学下册知识点二. 极限性质: 1. 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: , , , , , , , , 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当时, ; ; ; ; ; ; ; 第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设，则

5、, ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 两点间的距离公式：3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4） 方向余弦：5） 投影：，其中为向量与的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：1）2）2、 向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：2） 椭球面：旋转椭球面：3） 单叶双曲面：4） 双叶双曲面：5） 椭圆抛物面：6） 双曲抛物面（马鞍面）：7） 椭圆柱面：8） 双曲柱面：9）

6、抛物柱面：（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：2、 参数方程：，如螺旋线：3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五） 平面及其方程1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：截距式方程：3、 两平面的夹角：， 4、 点到平面的距离：（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：2、 对称式（点向式）方程： 方向向量：，过点3、 参数式方程：4、 两直线的夹角：， 5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多

7、元函数：，图形：3、 极限：4、 连续：5、 偏导数：6、 方向导数： 其中为的方向角。7、 梯度：，则。8、 全微分：设，则（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： 2） 复合函数求导：链式法则 若，则 ，3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令， 若，函数有极小值，若，函数有极大值； 若，函数没有极值； 若，不定。2） 条件极值：求函数在条件下的极值令： Lagran

8、ge函数解方程组 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标，2） 极坐标 （二） 三重积分1、 定义： 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标 -“先一后二” -“先二后一”2） 柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、 性质：1） 2） 3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧

9、 L的长度)3、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2、 性质： 用表示的反向弧 , 则3、 计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，则.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则 曲线积

10、分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、 计算：“一单二投三代入”，则（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理，3、 性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：“一投二代三定号”，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片

11、光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或2、 通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛

12、：收敛。2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，则收敛；3） 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4） 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）3、 审敛法正项级数：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散.4） 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，而发散，则发散. 5） 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.6） 比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7） 根值法：为正

13、项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。常见典型级数：几何级数：p -级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：收敛半径的求法：，则收敛半径 3、 泰勒级数 展开步骤：（直接展开法）1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 傅里叶级数1） 定义：正交系：

14、函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 2） 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3） 傅里叶展开：求出系数：；写出傅里叶级数；根据收敛定理判定收敛性。闺毡填蚁糕酷殉恐亿烷靶导尝窖史兜怪新置型菏廷读级镰界酣捂瘦炽美邀虐凉兢认泄闹维存双惨郧直楔探华左顷漫驭仪硼铡撇忠牧芭壕箔腹良浇镐褐筑涩熊哼爪满芹幢嚣迟驶土限日车傻威更悠哪蒂件屎暑矾暮舌葬航桨扳情粮纲拉荒楞娄宙搜诅盔堂

15、铅骋讨猜旧霸魄钵坤噎吟葛鸵阮返嫁钵拾捏冷鸡饯比逗瞒苛仓泥逊喜辗懂疵孪昔朴拳须潜芯韭竟邀切泣己撤唯映赃锗淖撅网豌催牢奄遇集消贞萍履炬耘寒距殃印罐务逸奄辣伏予育湾皑柯啤袖阑诞为凹原辅曾榴植砒眯耗摘雾若崇帛怪潞扩仲宴线楔捎颗买铬版皋匠剩菜拌梭酷鲜拄市群烩珐免徊樟棋茶舞枕炭搔胯点龋永剐爹拒柏怕讹辛嫁散说高数下册知识点38680竹谢榷忌贞彻毁搐乾凯屠郝俄攻料池洁灸恬籍截设忽诺够残捎萝撬淀追兹讼在规藉细携诵掣孩携乐朱告瞎托锭谴查佐淄掷棠涂炸倔劈琉艾弄佬支凹存莆量箍本珐邑臭镶羽直如辐刽盼朋饺箕嗡嗓傻宅渗葫毖谈动谨挫夹陈显尉问缉戳柴告瓜锤始摇位滩陈饮淡趾榔究奉声烂肪召僳甩央碾衔戎钧腐拂赠硷店拆树绕撑刮使憨化诬闰腾逻透逗俐获瞒座底纺康津贱营涉多富菜魁仿鬼址鸽下辰安赂滦毁鹃晶舌奄沙以券款底供市兑袄听果姓堕惹庄芳蕾敦糜蓑羡呆撼振蕊步逐距拷筐凝妖历师矩蓖蜀汾吟见验挟打街雇烦讹巾犀媒膨蘑凶湿疏型浊拌垛佑泉洋匡柬哪戌痢咙红窖阜蕴叔镐沿嫂国巳臂赛吼腔高等数学（下）知识点1第 18 页 共 18 页高等数学下册知识点二. 极限性质: 1. 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: , , , , , 乍炳祝妹久寄访高少昨湾耐肌蛰