2017年南京盐城高三一模数学

1、密封线号学名姓校学级班（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学第页（共6页）（这是边文，请据需要手工删加）南京，盐城高三第一次模拟考试2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学（总分160分，考试时间120分钟）参考公式：1 .、锥体体积公式：V=qSh,其中S为底面积，h为局；3柱体体积公式：V=Sh,其中S为底面积，h为高.样本数据X1,X2,，Xn的方差S2=ni3（xi-x）2,其中x=；igxi.1、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程）1 .已知集合A=1,0,1,B=（8,0）,则AAB=.2 .设复数z满足z（1+i

2、）=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为.3 .已知样本数据x1,x2,x3,x4,x5的方差s2=3,则样本数据2x1，2x2,2x3,2x4,2x5的方差为.4 .如图是一个算法流程图，则输出的x的值是.5 .在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为x>06 .已知实数x,y满足dx+yW7,则y的最小值是x二十2W2y7 .设双曲线勺y2=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的离心率为a8 .设an是等差数列，若34+a5+a6=21,则S9=.9.将函数y = 3sin2x+3的图象向右平移0<J<&l

3、t;2-2:用单位后，所得函数为偶函数,贝Uj=.10 .将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为O,4EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是11 .在4ABC中，已知AB=3,C=看，则CA-CB的最大值为3了312 .如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y=-(x+1)上从左向右依次取点Ak、Bk,k=1,2,，其中Ai是坐标原点，使AkBkAk+1都是等边三角形，则4A10B10A11的边长是.13 .在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：(x3)2+y2=r2的公共点，且它们在点P处

4、有公切线，若二次函数y=f(x)的图象经过点O,P,M,则y=f(x)的最大值为.14 .在4ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2+2c2=8,则ABC面积的最大值为.2、 解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15 .(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCXAC,D,E分别是AB,AC的中点.(1)求证：BiCi/平面AiDE;(2)求证：平面AiDEL平面ACC1A1.16 .(本小题满分14分)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且bsin2C=csinB.(1)求角C;(2)若sin(

5、B-3-卜5,求sinA的值.22在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=b2经过椭圆E:会+告=1(0<b<2)的焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l:y=kx+m交椭圆E于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(-1,0),N(1,0),记直线TM,TN的斜率分别为k1，k2,当2m2-2k2=1时，求k1k2的值.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米.活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD,上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与

6、半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角。满足tan0=3.4(1)若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？(2)在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中兀取3)一南居民搂G设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+a-3(aCR).x(1)当a=2时，解关于x的方程g(ex)=0(其中e为自然对数的底数)；(2)求函数(j)(x)=f(x)+g(x)的单调增区间；(3)当a=1时，记h(x)=f(x)g(x),是否存在整数使得关于x的不等式2后h(x)有解?若存在，请求出入

7、的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：In2=0.6931,In3=1.0986)若存在常数k(kC N*,k>2)、q、d,使得无穷数列an满足an+1=(qan,卜4,则称数列an为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列bn为“段比差数列”.(1)若bn的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.当q=。时，求b2016；当q=1时，设bn的前3n项和为浙，若不等式&nW入3-1对nCN*恒成立，求实数入的取值范围；(2)设bn为等比数列，且首项为b,试写出所有满足条件的bn,并说明理由.密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线号学名姓校

8、学级班（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学附加题第页（共2页）（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分.）A.（选彳4-1:几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆。外一点，PA,PB分别交半圆。于点D,C.若AD=2,PD=4,PC=3,求BD的长.B.（选彳4-2:矩阵与变换）设矩阵M=m2的一个特征值入对应的特征向量为|：L求m与入的值.232C.（选彳4-4:坐标系与参数方程）x=3t5在

9、平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）.现以坐标原点。为极点，以ly=5tx轴非负半轴为极轴建立极坐标，设圆C的极坐标方程为尸2cos0，直线l与圆C交于A,B两点，求弦AB的长D.（选彳45:不等式选讲）若实数x,y,z满足x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.【必做题】（第22、23题，每小题10分，计20分.）22 .（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课

10、的节数”为X,求X的概率分布表与数学期望E（X）.23 .(本小题满分10分)设nCN*,n>3,kCN*.求值： k*n*1; k2C。n(n1)312nCn：1(k>2);(2)化简：12C0+22cn+32Cn+(k+1)2d+(n+1)2Cn密封线一(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学参考答案第页（共4页）（南京，盐城市）（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）（南京，盐城市）数学参考答案填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.-12.13.124.95.56.36 423539.2：,.,157

11、.下8.639.行10.411.212.51213.§14.5-二、解答：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15 .证明：（1）因为D,E分别是AB,AC的中点，所以DE/BC,（2分）又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，BC/BC,所以B1C1/DE.（4分）又B1C1平面ADE,DE平面A1DE,所以B1C"平面ADE.（6分）（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC底面ABC,又DE底面ABC，所以CCJDE.（8分）又BCAC,DE/BC,所以DELAC,（10分）又CC1,AC平面ACC1A1,且CC1nAe=C,所以DE，

12、平面ACC1A1.（12分）又DE平面ADE,所以平面A1DEL平面ACC1A.（14分）（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DEL平面ACC1A1,类似给分）16 .解：（1）由bsin2C=csinB,根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB,（2分）1因为sinB>0,sinC>0,所以cosC=2,（4分）.兀又CC（0,兀），所以C=w.（6分）3（2）因为C=：,所以BC,一兀所以b3又sin"一W尸5-f片复8分）所以cos,（1=71sin23又A+B=2,即A=2tL-B,33所以 sinA = sin'-B :

13、sin（B j=加信03一兀1厂 cos7sinBO12 分）强<42=N3（14分）252510.（I47J）亿解：（1）因为0<b<2,所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O:x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b,（3分）22所以2b2=4,即b2=2,所以椭圆E的方程为x4-+气=1.（6分）（2）方法一：设P（x1，y1），Q（x2,y*T（xo,yo）,联立g=1，2222消去y,得(1+2k2)x?+4kmx+2m24=o,ly=kx+m所以 Xi + X2= 一4km1 + 2k2'又2m2-2kj，所以一争所以 xo- m y°

14、=,k 1吁 km=2m (10 分)12m贝 U k1 - k2=-+1m12m- 1 = 4k2-4m2=-2 (2m2-2k2) m1 八 2.(14 分)方法二：设遂+日=142&k1L 4 2P(x1, y1) , Q(x2, y2) , T(xo, yo),则两式作差，得(x1+x2)(x1 一x2)t(y1 + y2)( yi y2)4又 x1 + x2=2x。，y1 + y2 = 2y。，g、 xo (x1 x2),所以 2+ yo(y1 一 y2) = o,所以yo (y1一y2)X1 X2=0,又点P%y1），Q（x2, y2）在直线 y=kx+m 上，所以；_x2

15、= k,所以 xo+2kyo=0，又点所以T(xoyo)在直线y = kx + m上,yo= kx0+ m,2kmm八由可信xO=17,yo=17.(1o为)以下同方法一.18.解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.（1）因为 AB= 18,方程为y= |x + b, 4AD = 6,所以半圆的圆心为H(9, 6),半径r= 9.设太阳光线所在直线即 3x+4y4b = 0（2分）|27+24-4b|432+429,解得b=24或b=|(舍).故太阳光线所在直线方程为3，八、y=4x+24, （5 分）令x=30,得EG=1.5米<2.5米.所以此时能保

16、证上述采光要求.(7分)(2)设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.、.一.3方法一：设太阳光线所在直线方程为y=-3x+b,口n上|3r+4h-4b|即3x+4y4b=0,由、22=r,解得b=h+2r或b=h2r（舍）.（9分）3故太阳光线所在直线万程为y=-3x+h+2r,令x=30,得EG=2r+h45,由EG<|,得h<25-2r.（11分）所以$=2m+2兀r2=2rh+3xr2<2r（25-2r）+3xr25r2+50r=-2（r-10）2+250<250.当且仅当r=10时取等所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的

17、截面面积最大.(16分)EG恰为2.5米，则此时点 G为(30 ,方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长2.5),设过点G的上述太阳光线为li,则li所在直线方程为y-5 30）,即3x+4y-100=0,（10分）由直线li与半圆H相切，得|3r+4h-100|r=5而点H（r,h）在直线11的下方，则3r+4h100<0,即一3r+4hT00从而h=252r.（13分）5一12325252又S=2rh+2兀r2=2r(252r)+2xr2=-2r2+50r=-(r-10)2+250250.当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大.

18、(16分)19.解：(1)当a=2时，方程g(ex)=0即为2ex+一3=0,去分母，得e2(ex)2-3ex+1=0,解得ex=1或ex=2,(2分)故所求方程的根为x=0或x=ln2.(4分)(2)因为x)=f(x)+g(x)=lnx+ax+亘-3(x>0),x而、/、1,a1ax+x，a1)所以j(x)=x+a-x2-=x当a=0时，由。(攵)>0,解得x>0；ax(a1)(x+1)x2"(x>0),x(6分)a1当a>1时，由Mx)>0,解得x>a当0<a<1时，由。(攵)>0,解得x>0；当a=1时，由。(攵

19、)>0,解得x>0；当a1a<0时，由()(x)>0,解得0<x<a综上所述，当a<0时，4(x)的增区间为|o,二)；当0waw1时，4(x)的增区间为(0,+oo)；当a>1时，(Rx)的增区间为+ooj.(10分)(3)方法一：当a=1时，g(x)=x-3,h(x)=(x-3)lnx,所以h'(x)=lnx+13单调递增，h'3i=ln3+12<0,h'(2)=ln2+13>0x222'所以存在唯一xoC13,2；,使得h(x0)=0,即lnx0+13=0,(12分)2x0当xC(0,x°

20、;)时，h，(x)<0,当xC(x0,+°°)时，h'(x)>0,所以h(x)min=h(x°)=(xO3)lnx0=(x°3)1尸一x0，(Xo-3)Xo记函数r(x)=6-x+99),则r(x)在g2"单调递增，(14分)所以rgh(x0)<r(2),即h(x0)X(-2,-2),由2入一去且入为整数，得入0,所以存在整数入满足题意，且入的最小值为0.(16分)方法二：当a=1时，g(x)=x3,所以h(x)=(x-3)lnx,由h(1)=0得，当入=。时，不等式2Qh(x)有解，(12分)下证：当入w1时，h(x

21、)>2入恒成立，即证(x2)lnx>2恒成立.显然当x(0,1U3,+8)时，不等式恒成立，只需证明当xC(1,3)时，(x3)lnx>2恒成立.即证明lnx +<0.令 m(x) = lnx + -x 3所以 m' (x) = xx2 一 8x + 9/ 一、9 (x 3) x (x 3)2,由 m' (x) = 0,得 x=4 47, (14 分)当 xC(1, 4-/),m' (x)>0;当 xC(4巾，3), m'(x)<0 ;所以 mmax(x) = m(4 W)= ln(4 巾)1<ln(4 2)= ln2

22、1<0. 33所以当入w 1时，h(x)>2入恒成立.综上所述，存在整数入满足题意，且入的最小值为0.(16分)20.(1)方法一：: bn的首项、段长、段比、段差分别为 b2 014= 0X b2 013 = 0,b2 015= b2 014+ 3=3,1、3、0、3,b2 016= b2 015 + 3 = 6.(3 分)方法二：: bn的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,b1= 1, b2 = 4, b3= 7, b4=0Xb3=0, b5=b4+3 = 3, b6=b5+3=6, b7=0Xb6=0 当n>4时，bn是周期为3的周期数列.b2 oi6= bs

23、= 6.(3 分)方法一：: bn的首项、段长、段比、段差分别为1、 3、 1、 3,b3n+ 2 b3n 1 = (b3n + 1 + d) - b3n 1= (qb3n+ d) - b3n 1 = q(b3n 1 + d) + d b3n 1 = 2d = 6 ,b3n 1是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又b3n 2+ b3n 1 + b3n= (b3n L d) + b3n 1 + Qn 1 + d) = 3b3n 1 , S3n= (b+b2+ b3) + Q+b5+b6) + + (b3n 2 + b3n 1 + b3n).n (n1)c 2 c ，八八、= 3(bz+b5+

24、 b3n 1) = 34n+? X6 = 9n +3n, (6 分)S3n< 入 3n，3n3V< 入，设 Cn=3S3V,则 Q (Cn)max,又 cn + 1 cn =9 ( n+ 1) 2+3 (n+1)9n2+ 3n - 2(3n一 2n 2)3nc n 13n当 n=1 时，3n2-2n-2<0, c1<c2；当 n>2 时, C1<C2>C3> ，(Cn)max= C2= 14,3n2-2n-2>0, Cn+1<cn,(9分)入 >14,得 入C 14, +oo ). (10 分)方法二：: bn的首项、段长、段比

25、、段差分别为b3n+1=b3n, b3n+ 3 - b3n = b3n+ 3- b3n+1 = 2d = 61、3、1、3,b3n是首项为b3=7、公差为6的等差数列,n（n1）2b3+b6+b3n=7n-l2x6=3n+4n,易知bn中删掉b3n的项后按原来的顺序构成一个首项为1,公差为3的等差数列, bi + b2+ b4+ b§+ b3n - 2+ b3n-1= 2nx 1 t2n （2n 1）x 3 = 6n2-n,S3n=(3n2+4n)+(6n2n)=9n2+3n,(6分)以下同方法一.(2)方法一：设bn的段长、段比、段差分别为k、q、d,则等比数列bn的公比为bb/=

26、q,由等比数列的通项公式有bn=bqnT,当mCN*时，bkm+2bkm+1=d,即bqkm+1bqkm=bqkm(q1)=d恒成立，(12分)若q=1,则d=0,bn=b;若qw1,则qkm=/dh,则qkm为常数，则q=-1,k为偶数，d=-2b,bn=(-(q1)b1)n1b；经检验，满足条件的bn的通项公式为bn=b或bn=(1)nTb.(16分)方法二：设bn的段长、段比、段差分别为k、q、d,若k=2,则b1=b,b2=b+d,b3=(b+d)q,b4=(b+d)q+d,由b1b3=b2,得b+d=bq;由b2b4=b3,得(b+d)q2=(b+d)q+d,联立两式，得?一0或23

27、则bn=b或bn=(1)L1b,经检验均合题意.(13分)q=1lq=1,若k>3,则b1=b,b2=b+d,b3=b+2d,由b1b3=b2,得(b+d)2=b(b+2d),得d=0,则bn=b,经检验适合题意.综上，满足条件的bn的通项公式为bn=b或bn=(1)nTb.(16分)附加题21.A.解：由切割线定理得：PDPA=PCPB,则4X(2+4)=3X(3+BC),解得BC=5,(4分)又因为AB是半圆。的直径，故/ADB=：.(6分)则在三角形PDB中有BD=#B2PD2=y6416=46.（10分）b.解：由题意得Im：312L乂2(4分)则（8分）解得m=0,入=-4.（

28、10分）3x=5tC.解：直线l:（t为参数）化为普通方程为4x3y=0,（2分）4y=5t圆C的极坐标方程p=2cosO化为直角坐标方程为（x1）2+y2=1,（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为d=-=J4=2=4,（6分）423）25所以AB=2-d2=5.（10分）D.解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2w（12+22+12）（x2+y2+z2）,即x+2y+z<W+22+12W+y2+z2,（5分）又因为x+2y+z=1,所以x2+y2+z2>-,6当且仅当x=y=1，即x=z=6,y=3时取等号.1综上，（x2+y2+z2）min=6.（10分）(4分)“、，“，一，3222.解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P=1-=-3X33（2）由题意得XB（5,3）,P（X=k）=c5gji|；，k=0,1,2,3,4,5.（6分）所以X的概率分布表为:X012345P32808040101243243243243243243(8分)15所以，X的数学期望为E（X）=5X1=5.（10分）