2017届高三数学二轮复习第一部分重点保分题题型专题二十不等式选讲教师用书理

1、题型专题(二十)选修4-5(不等式选讲)绝对值不等式师说考点含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)?f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)?af(x)c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.典例(2016全国丙卷)已知函数f(x)=|2xa|+a.(1)当a=2时，求不等式f(x)3,求a的取值范围.解(1)当a=2时，f(x)=|2x2|+2.解不等式|2x2|+26得一1Wx3.因此f(x)6的解集为x|-1x3,a即x2+12xmin1a3a所以2a号，解得a2.所以a的取值范围是2,+8).类题通法1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点.(2)划区

2、间、去绝对值号.(3)分别解去掉绝对值的不等式(组).(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.图象法求解绝对值不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，可在直角坐标系中作出不等式所对应函数的图象，利用函数图象求解.演练冲关(2016河南六市联考)设函数f(x)=|2x-a|+2a.(1)若不等式f(x)W6的解集为x|6WxW4,求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)w(k21)x5的解集非空，求实数k的取值范围.解：(1),.|2x-a|+2a6,.|2xa|W62a,2a6W2xaw62a,a3wxw3二.22不等式f(x)6的解集为x|6W

3、xW4,32a3=-6,解得a=-2.a3?=4,(2)由得f(x)=|2x+2|-4.|2x+2|-4(k2-1)x-5,化简整理得|2x+2|+1-1,-2x-1,x2或k21W1,.k的取值范围是k|k，3或k汨或k=0.不等式的证明师说考点1 .含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|ab|2ab.当且仅当a=b时，等号成立.ab定理2：如果a、b为正数，则Vab,当且仅当a=b时，等号成立.定理3：如果a、b、c为正数，则a+；+c(abc,当且仅当a=b=c时，等号成立.3定理4:( 一般形式的算术一几何平均不等式)如果ay,an为n个正数,日 raI+ a2+ an则n接Uaa2a

4、n,当且仅当a1=a2=3=an时，等号成立.典例(2016贵州模拟)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.(1)求f(x)的最小值mb2c2a2(2)若a,b,c均为正实数，且满足a+b+c=m求证：+-3.解(1)当x1时，f(x)=-2(x+1)(x2)=3xC(3,+8)；当一1Wx2时，f(x)=2(x+1)+(x2)=3xC6,i).综上，f(x)的最小值mH3.(2)证明：a,b,c均为正实数，且满足a+b+c=3,、b2c2a2因为一+匚+(a+b+c)abc/22=-+a+.+bab(当且仅当a=b=c=1时，取=).222.222所以3+b+ca+b+c,IP+3.类

5、题通法证明不等式的3种基本方法(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种.(2)用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法.演练冲关(2016福建质检)已知函数f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)f(a)f(b).解：(1)当xw1时，原不等式可化为一x-1-2x-2,解得x1;1当1x2时，原不等式可化为x+1-2x-2,解得x2时，原不等式可化为x+11.综上，M=x|x1.(2)证明：因为f(a)f(b)=|a+1|b+1|w|a+1(b+

6、1)|=|a+b|,所以，要证f(ab)f(a)-f(-b),只需证|ab+1|a+b|,即证|ab+1|2|a+b|2,即证a2b2+2ab+1a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+10,即证(a21)(b2-1)0.因为a,beM所以a21,b21,所以(a21)(b2-1)0成立，所以原不等式成立.建亲可时封涧山将雪煎型全爆练1. (2016广西质检)已知函数f(x)=J+ax(a0)在(1,+)上的最小值为15,函数X1g(x)=|x+a|+|x+1|.(1)求实数a的值；(2)求函数g(x)的最小值.aa解：(1)f(x)=Fax=-+a(x-1)+a,x1,a0,x-1x-

7、1.f(x)3a,即有3a=15,解得a=5.(2)由于|x+5|+|x+11|(x+5)-(x+1)|=4,当且仅当一5x-1时等号成立，：g(x)=|x+5|+|x+1|的最小值为4.112. (2016全国甲卷)已知函数f(x)=x-+x+-,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M(2)证明:当a,bCM时,|a+b|1+ab|.12x,x11解：(1)f(x)=1,-5Vx.1当xw5时，由f(x)2得一2x-1;1 1一当一x5时，f(x)5时，由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.np9n(2)证明：由知，当a,beM时，一1a1,-1b1,从而(a

8、+b)-(1+ab)=a+b-a2b2-1=(a2-1)-(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.3. (2016贵阳模拟)设f(x)=|x1|2|x+1|的最大值为m(1)求实数m的值；(2)若a、b、c(0,+),且a+2b2+c2=rn求ab+bc的最大值.解：(1)当x一1时，f(x)=3+x2；当一1x1时，f(x)=-1-3xl时，f(x)=-x-32ab+2bc=2(ab+be).当且仅当a=b=c=3-时，等号成立.此时，ab+bc取得最大值1.4.(2016求证:重庆模拟)设2,2 cb, cC r+且 a+ b+ c= 1.2ab+ bc+ca+2.证明：因为1=(a+b

9、+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caR4ab+2bc+2ca+c2,(当且仅当a=b时等号成立)c2121所以2ab+bc+ca+=2(4ab+2bc+2ca+c)(6+三)+工+占+(+T)=a(b+c)+bc+a+ab1cb+a2a+2b+2c=2,当且仅当a=b=c=3时等号成立.5. (2016郑州质检)已知函数f(x)=|x+6|mLx|(标R).(1)当正3时，求不等式f(x)5的解集；(2)若不等式f(x)W7对任意实数x恒成立，求m的取值范围.解：(1)当mr3时，f(x)5,即为|x+6|-|3-x|5,当x5,所以xe?；当一6Wx5,即x1,所以1wxw3;

10、当x3时，得95,所以x3.故不等式f(x)5的解集为x|x1.(2)因为|x+6|-|m-x|x+6+m-x|=|6|,由题意得|班6|W7,则一7W饼6W7,解得131成立；(2)关于x的不等式f(x)a在R上恒成立，求实数a的最大值._,5151解：(1)证明：由绝对值不等式的性质，f(x)=x-+x+qx+x+万=3,故函数f(x)的最小值为3,从而f(x)3e,所以Inf(x)1成立.555(2)由绝对值不等式的性质得f(x)=x2+|x-a|x-(x-a)|=a-,一5所以f(x)的最小值为/a,从而5aa,解得aw5.24因此a的最大值为5.47. (2016兰州模拟)设函数f(x)=|2x1|x+2|.(1)解不等式f(x)0;(2)若？x0CR,使得f(x0)+2m20,即|2x1|x+2|,即4x2-4x+1x2+4x+4,213x8x30,解得x3,31,所以不等式f(x)0的解集为x|x3.3x+3,x2,1(2) f(x) =|2x-