2016年高考数学全国1卷(理)及答案

1、绝密启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷总分值150分。考试用时120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

2、答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合Axx24x30,Bx2x30,则AB,、3、333A(3,3)B(3,-)C(1,3)D(-,3)22222设(1i)x1yi,其中x,y是实数，则xyiA1BJ2CV3D23已知等差数列a。前9项的和为27,a108,则4。A100B99C98D974某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候

3、是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是5A32已知方程一m取值范围是A（1,3）Bgd42一y一1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则3mnB(1,J3)C（0,3）D(0j3)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是28-,则它的3外表积是A17B18C20D286俨在2,2的图像大致为函数2x2AccabXBabcbacCa10gbeblogaCDlogaClogbe执行右面的程序框图，如果输入的x0,y1n1,则输出x,y的值满足Ay2xBy3xCy4xDy5x10以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,

4、E两点，已知AB4行，DE275,则C的焦点到准线的距离为A2B4C6D811平面过正方体abcdA1B1clD1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,则m,n所成角的正弦值为A电D12已知函数f(x)sin(xyf(x)图像的对称轴，且A11B9)(0,|万)，x为f(x)的零点,5一.f(x)在(,5-)单调，则的最大值为1836C7D5为4第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每题5分。13设向量a(m,1),b(1,2),且|

5、ab|2|a|2|b|2,则m.14(2xJx)5的展开式中，x3的系数是.用数字填写答案15设等比数列an满足a1a310,a2a45,则a1a2an的最大值为.16某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17本小题总分值1

6、2分ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosc(acosBbcosA)c.I求C;f3.3n假设cv17,ABC的面积为33,求ABC的周长.18本小题总分值12分如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD,AFD90,且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.I证明：平面ABEF平面EFDC;II求二面角EBCA的余弦值.19本小题总分值12分某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机

7、器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.I求X的分布列;n假设要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;在n 19与n 20之中选其田以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，,应选用哪个？20本小题总分值12分设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.I证明EAEB为定值，并写出点E的轨

8、迹方程；n设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21本小题总分值12分已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.I求a的取值范围；n设x1,*2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22本小题总分值10分选修41:几何证明选讲如图，OAB是等腰三角形，AOB120,以。为圆心，1,，一一OA为半径作圆.2I证明：直线AB与。O相切；II点C,D在。上，且A,B,C,D四点共圆,证明：AB/CD.23本小题总分值10分选修4

9、4:坐标系与参数方程xacost.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数万程为(t为参数，a0).在y1asint,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:4cos.I说明Ci是哪一种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程；II直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan02,假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.24本小题总分值10分选修45:不等式选讲已知函数f(x)x12x3.I在答题卡第24题图中画出yII求不等式|f(x)|1的解集.数学答案17、正确答案评分标准及答案仅供参考12分解：(1);anbn+i+bn+i=nbn.n=1时alb?+b2=bial33.a1

10、=2由已知an乘以2为首项，公差3的等差数列an=ai+(n-1)d=2+3(n-1).an=3n-1由知所而-1代入航.加+武始+产”儿上中.(3n-1)bn+i+bn+i=nbn1-byr(3n-1)bn+1+bn+1=nbn.bn+i=3(nn*)设bn构成以1为首项，公比为3的等比数列|11-弓)力1311-i一22311T.设bn前n项和Sn,则Sn"18、正确答案评分标准及答案仅供参考12分(1)证明PD山面ABCPD，ABDE，面PAB.DEAB又PDde.AB，平面PGDpG-AB正三棱锥p-abc中pa=pbG为AB中点(2正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC各侧

11、面为直角三角形.PA1pb,pblPC,pC1PA,/.pB平面PAC作EF/PB交PA于F则eU面PAC/.F为E在平面PAC内正投影正三棱锥P-ABC中，D为三角形ABC的重心，PA=6.AB=6.DG=倔pg出.PD-丽EE2R阳中由摄影定理PD=PE-PG.PE=2.5为等腰三角形，eRpa.ef=pf=215am-X2X2-2.2D-PEF的高为DE.PaG_2百几RtApGD中DE=7RT=2四面体PDEF体积14SapEFXDE=X2X2-19、12分正确答案评分标准及答案仅供参考解：当n=19时x<19y=19X200=3800元1x>19时y=19X200+(x-

12、19)500=500x-5700(元)?8。0x<19 y=500jc-5700x>19(2)由柱状图知，更换16个频率0.06;更换17件频率为0.16.>19.n的最小值为19件(3)假设每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为100=4000元假设每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为，口X4U0U+1UX450UICO=4050元4000<4050购买1台机器的同时应购买19台易损零件.20、12分解：将直线i与抛物线联立L2,(1);M关于P的对称点为NTy)v_v彳公L-ON直线斜率“N贝UH点坐标解答"不,|UH|二川二二|0N|一yN.t

13、=2%所占h由知"MH直线程；，二宗+上制与抛物线联立1厂二4万.日门八八人=0.=16匚即y2-4ty=4t2V|.二2px解得，里幽v-XON方程，吁E,:2t屈士，2t)一修二4八-4产'二得14*=°.直线MH与抛物相切正确答案评分标准及答案仅供参考 直线MH与曲线C除点H外没有其它公共点21、12分正确答案评分标准及答案仅供参考II解：由知假设a>0f(x)在(-fl)减，1,+8增，且f(1)=-e<0.X7+OO时，f(x)f+oo,XOO时，f(x)7+oo 一定有2个零点；e假设a<-Z时，f(x)在-8,1内递增，1,ln(-2

14、a)内递减，ln(-2a),+8递增且f(1)=-e<0f(x)只有一个零点；假设a=-5时f(x)在R上递增，则f(x)只有一个零点；假设0>a>2时，f(x)在-8,ln(-2a)增，ln(-2a),1减，1,+OO增.f(1)=-e<0x十°0时，f(x)+oo,x-00时f(x)7oo f(x)在1,+8内只有一个零点，f(x)假设恰有2个零点，只能使f(ln(-2a)=0而ln(-2a)-2(-2a)+aln(-2a)-12=0a2即须4-ln(-2a)+ln(-2a)-12=0*;<a<0.ln(-2a)<1.4ln(-2a)&g

15、t;0,ln(-2a)-12>0.*不可能为0综上f(x)有2个零点a的范围为0,+X22、10分三选一22.1取AB中点P,二。£是等腰三角形.OPXAB.zAOB=120.zAOP=/BOP=60.OP=boA=r所以AB与。O相切2设CD中点为Q,四边形ABCD外接圆圆心为O'连结OC,OD,O'C,O'D.由OC=OD知OQCD由O'C=O'D,知O'QCDO',O,D三点共线同理O,O',P三点共线.Q.O,O',P四点共线即PQ过点O,且PQ±AB,PQJ_CD.ABCD23 .i"1+而m"为参数消参后得M+(y二=>0曲线Ci表示以0,1为圆心，半径为a的圆.曲线Ci为：/+必-Zy+l-砂=口化为极坐标方程为：p22pWn8+1-=02曲线C2化为普通方程：一