2016年考研数学二模拟题及答案

1、如16年考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）4321 .设x0是多项式P（x）=x+ax+bx+cx+d的取小头根，则（）.(A)P'(xo)M0(B)P'(x0)<0(C)pF(xo)之0(D)Pr(xo)>0解选才iA.由于limP(x)=收，又x0是多项式P(x)的最小实根，故P'(x0)<0.xx02 .设limf(x)-f(a)=1则函数f(x)在点x=a().x阻,x-a(A)取极大值(B)取极小值(C)可导(D)不可

2、导解选才ID.由极限的保号性知，存在U(a)当xwU(a)时f(x；f(a)、0.当xax-a时，f(x)<f(a),当x>a时，f(x)>f(a),故f(x)在点x=a不取极值.f(x)-f(a).f(x)-f(a)1lim-=lim3-.=8,所以f(x)在点x=a不可导.x-axax-a3(x-a)23 .设f(x,y)连续，且满足f(x,y)=f(x,y),则f(x,y)dxdy=()x2VM11 *2(A)2j0dxj0f(x,y)dy1Ji金(C)20dxL=f (x,y)dy解选才i B.由题设知1Jy2(B)210dyn f(x, y)dx11 -y2(D)

3、20dyf0f (x, y)dxf(x,y)dxdy-2x2 y2 Mx2 y21, y _011-y2f(x,y)dxdy =2 0dy1T2 f (x,y)dx .4.微分方程y J2y' = xe27q特解y*形式为（）*2x(A) y = (ax b)e(B) y = ax e2x*2 2x(C) y =ax e*22x(D) y = (ax bx)e解选才iD.特征方程r22r=0,特征根r=0,r=2,九=2是特征根，特解y*形式为2xy=x(axb)e5.设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是(),.、xx(A)10f(t2)dt(B)10f2(t)dtx(O

4、j0tf(t) + f(-t)dtx(D) J0tf(t)-f(-t)dtx解选才iC.由于tf(t)+f(t)为奇函数，故°tf(t)+f(t)dt为偶函数.6.设在全平面上有 J(x,y) <0 , 二 x条件是()(A) xi >x2, yi <y2.J(x,y) >0 ,则保证不等式 y(B) Xi <x2, y1 <y2.f (x1, y1) < f (X2,y2)成立的(C)x1 >x2, y1V2.(D) Xi <X2, y1 >y2.解选才|A.、(X,y)<0=f(x,y)关于X单调减少,.:x行(x

5、'y)>0=f(x,y)关于y单调增加,-y当x1>x2,y1<V2时，f(x,y)<f(X2,y1)<f(X2,y2).7.设A和B为实对称矩阵，且A与B相似，则下列结论中不正确的是()(A) A 九E与B 九E相似(B) A与B合同(C) A KE = B ?uE(D) A- E =B - - E解选才iD.A与B相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故A,C正确，又A和B为实对称矩阵，且A与B相似，可以推出A与B合同，故B正确.8.A=Am而，R(A)=r,b为m维列向量，则有().(A)当r=m时，方程组Ax=b有解(B)当r=n时，

6、方程组Ax=b有唯一解(C)当m=n时，方程组Ax=b有唯一解(D)当r<n时，方程组Ax=b有无穷多解解选才IA.当r=m时，r(A,b尸r(A),方程组Ax=b有解.、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上)9.(1 x)x -ex解答案为_e.2i(1 x)，-elim x-px=limx_01一 ln(1 -x)xe ex=elimx 01一 ln(1 ：x)ex 1x1ln(1 x) -1x=elim 二 elimx_0xx_0ln(1 x) -x1二 elim 1-xx 0 2x10设f有二阶连续偏导数,；：2uu = f (x, xy, xyz)

7、,贝Uzy解答案为xf3'+x2yf32"十x2yzf33t-:u=xyf3二z-2f33xz)= xf3x2yf32x2yzf33二u=xf3xy(f32x;z.y.y.xx.11 .设微分方程y=上+中(一)的通解为y=，则甲(x)=xylnCxx11将y=代入微分方程，得中(lnCx)=,故5(x)=六.lnCxln2Cxx212 .数歹un/n中最大的项为解答案为3/3.【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】-ln x f (x) = exx111nx设f(x)=Ox=xx=ex,x<e时，f (x) >0, f (x)单调增力口，故n&l

8、t;e时，f(n) = Rn 递增,石最大,x>e时，f'(x)<0, f (x)单调减少，故n>e 时，f(n)=?n 递减,73最大,又33=6.9.：8=、,2,数列布的最大项为语.xdt13 .方程5x2f=0在区间（0,1）内的实根个数为01t8xdt1dt解答案为1.令f（x）=5x2f（0）=2<0,f（1）=3J。；。，1由零点定理知，此万程在区间（0,1）内至少有一个实根，又f'（x）=5-8>0,f（x）单1x调增加，故此方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.14 .设n阶矩阵A的秩为n-2,3，0（2,口3是非齐次线性方程组

9、Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为.解答案为3+4（口2-%）十卜2（口3-%）,4*2为任意常数.%,0（2,63是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则620（1P361是Ax=0的两个解，且它们线性无关，又nr（A）=2,故仪2_口1,1a3%是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为巴+匕（口2%）+卜2（%一%）.三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1（1x）x-esinln（1x）15 .（本题满分9分）求极限lim8J.x0.1xsinx-11(1 x)x -esinln(1 x)lim2limx0.1 xsinx-1

10、x01(1 x)x -e=2limx )01-ln(1 ) xe -e=2elimx 01-ln(1)-1ex -1ln(1 x) - x二-11 ： !i x=2elim 一 = -ex02x：z(y)-二 x二z u 0,求可导函数 （y）.-y1ln(1x)-1:elim二2elimx0xx016 .（本题满分9分）设f（x）单调且具有一阶连续导数，z=f（x+5（y）满足LLL-xf',N=f'&'(y),代入方程中(y)名名=0,得中(y)ffb(y)=0,二y二x二y即叫y)=qy),解得叭y)=Cex,其中C为任意常数17 .(本题满分9分)计算积

11、分LdyLJx2+y2+sin3y)dx解画出二重积分区域D,D1是D的第一象限部分，由对称性，得sin3y)dx=(.xysin3y)dxdyD=2JJ(Jx2+y2)dxdy=2jjd81：0照Di=2%cos3u22)d=20-二309318.(本题满分11分)求微分方程y“a(y')2=0(a>0)满足初始条件y、*=0,y'y=1的特解.x-Ox-O解令y，=p,y"=dp,代入原方程，得dxdp2cdp,dp,1-ap=0,j2=fadx,f-y=fadx,一一=ax+C1,dxppp由x=0,y=0,y'=p=-1,得C1=1,11rr.1

12、一二ax+1,p=，即y=,pax1ax1,11一故y=-fdx=ln(ax+1)+C2,ax1a1.1.由x=0,y=0得C2=0,所以y=-ln(ax+1).a19 .(本题满分11分)设f(x)和g(x)在区间(a,b)可导，并设在(a,b)内f(x)g'(x)f'(x)#0,证明在(a,b)内至多存在一点之使得f(r=0.证设中(x)=f(x)e(x),则中'(x)=eT(x)(fr(x)f(x)g'(x).若在(a,b)内存在两个不同的点-1,-2,使得f(1)=f(：2)=0,则由罗尔定理知，至少存在一点巴介于。$2之间，使中')=0,即eH

13、（f（与f代）g化）=0,于是有代）一f（与g优）=0，与题设矛盾,故在（a,b）内至多存在一点，使得fK）=0.20 .（本题满分11分）设有抛物线r：y=abx2,试确定常数a,b的值，使得r与直线y=x+1相切；r与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大.解设切点为(xo,yo),y'=-2bx, y0 = a 一 , 2b4b切线斜率k-2bx0=1=,x0=,、，、仙广111代入切线方程，得a'='+1=1=4（1a）.4b2bb又旋转体体积Va 2二0 二 x dy =dy =23、dy = 2n(a -a ),V' = 2n(2a3a2)=0,

14、解得a = 0或者V* = 2n(2 -6a),2V (0) =4二 0,V (-) = -4二3,232将a = 一代入得b =,所以a = =2时，体积v最大, 3b=3.421.（本题满分11分）一质量为m的物体以速度v0从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k>0）,试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度.解根据牛顿第二定律，物体上升的高度y = y（t）所满足的微分方程为d2ydt2Jdy:= -mg-k瓜卜初始条件为y(0)=0,y(0)=v0.v="代入方程，得dtdv2m二-mg-kvdtdvkv2

15、记a2=g,b2dv2.22一=-a-bv,dtdvabarctanbv=T+C,t=0时，v=v0,故C=1.bv0一arctanab1bv1,bv0arctan=t+arctan,abaaba令v=0,得上升到最高点的时间为t1=1-arctanbv0aba,bvarctan=ab(t1-1),av=atanab(t1-t)上升的最大高度为y=f0t1b-tanab(ti-t)dtcosab(t1t)0=ln(1+-bavv0_).22.(本题满分11分)、宜TTTT-T设=i=1,2,3,1,：2=1,1,2,-1/3=1,3,a,3,1=3,5,7,-1,：=0,1,1b.当a,b满足

16、什么条件时，P可由as'4线性表示，且表示式唯一?1,2,3,4当a,b满足什么条件时，P可由a1a2a3a4线性表示，且表示式不唯一？并求出P的表木式.解设x1al+x2a2+x3a3+x4a4=P，其增广矩阵11(%，,%,，0)=231130、/111135101-12a7100a-4131b,000301-1-10-2b2,当a#4时，（,豆2,1a3,10f4,P）=r（豆1P2,1a3,豆4）=4,方程组有唯一解，即P可由a1,tt2,a3,a4线性表示，且表示式唯一11,口01当a=4时,(%,%,%,%,P)001001-100301-1-100b2,故当a=4,b=2时，（口1,口2,口3P4,P）=（仪1产2p3p4）=3,方程组有无穷多解，即P可由1M1,1a2,1a3,1M4线性表示，且表示式不唯一,10201、01-10-1(Cf,%,%,P),同解方程组为0001090000,X3=X4=0x1=1-2x3x2=-1+x3X3通解为(1,1,0,0)T-+k(-2,1,1,0)T,故口的表示式