数学选修1-2课标解读

1、数学选修12课标解读2.1统计案例1.知识内容的整体定位本部分内容是学生在初中阶段和高中数学必修课程已学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题，认识统计方法在决策中的作用。本部分内容的课程标准要求都是了解，因此教学中要注意难度的把握，宜采用案例教学的方式。本部分的内容公式多，但重点应放在通过统计案例，让学生了解回归分析和独立性检验的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式。教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性)

2、，体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。在统计案例中，还应介绍所学统计方法在社会生活中的广泛应用，以丰富学生对数学文化价值的认识。2.课程标准的要求北京市的要求：通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。（1）通过对典型案例 (如“肺癌与吸烟有关吗” 等)的探究，了解独立性检验 (只要求2×2列联表) 的基本思想、方法及初步应用。（2）通过对典型案例(如“人

3、的体重与身高的关系”等)的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。课标的要求：通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。（1）通过对典型案例 (如“肺癌与吸烟有关吗” 等)的探究，了解独立性检验 (只要求2×2列联表) 的基本思想、方法及初步应用。（2）通过对典型案例 (如“质量控制” “新药是否有效”)的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。（3）通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。（4）通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究，进一步了解回归的基本思想、方法

4、及其初步应用。注意两种要求的区别3.课程标准要求的具体化和深广度分析（1）通过对典型案例 (如“肺癌与吸烟有关吗？” 等)的探究，了解独立性检验 (只要求2×2列联表) 的基本思想、方法及初步应用的意义。通过典型案例“肺癌与吸烟有关”的探究1）认识分类变量。通过案例学习，认识性别、商品、吸烟、肺癌等都是分类变量。性别变量取男、女两个值，吸烟变量可取吸烟、不吸烟两个值，商品可以取一级、二级、三级等。2）根据问题会列独立分类变量（只要求）的列表。3）根据列联表，会用三维柱形图或二维条形图粗略判断两个分类变量是否有关系。4）会根据列联表数据计算的观测值，并根据观测值查表确定在多大程度上可以

5、认为两个分类变量有关系。5）理解独立性检验的基本思想：要确认“两个分类变量有关系”成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立。在该假设下构造的随机变量应该很小，如果由观测数据计算得到的的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量的含义，可以通过概率的值查表评价该假设不合理的程度。6）能用独立性检验的基本思想、方法解决一些实际问题。在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。课标明确规定“只要求”学生学习、了解列联表的独立性检验的基本思想、方法及其初步应用。实际解决问题时，可以用三维柱形图或二维条形图进行粗略判断。用三维柱形图，

6、如果底面主对角线上两个柱体高度的乘积与副对角线上两个柱体高度的乘积不等，那么可以在某种程度上认为两个分类变量有关。但是，只凭列联表的数据和图形下结论不够确切，原因是列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性。用列联表检验的方法确定的结论，更能够确切判断在多大程度上适用于整体。运用独立性检验的基本思想、方法解决实际问题得出的结论往往是有条件的，不能不顾条件，扩大适用范围。（2）通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用的意义。1）能够根据问题给出的数据确定解释变量和预报变量。2）能根据问题给出的数据画出散点图，并能根据散点图判断解释变量

7、和预报变量线性相关还是非线性相关。3）根据散点分布情况，会确定回归模型的类型。如果散点图中的点分布在一条直线状带形区域，可以选用线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，要对变量做适当的变换，再选用线性回归模型来建模。4）能够由问题给出的数据或问题转化得到的数据求出回归方程。5）会对模型拟合效果作残差分析，会分析不同模型拟合效果。6）会用回归的基本思想、方法解决一些实际问题。应用回归模型解决实际问题进行预报时应注意模型的适用范围。这一点是十分重要的，否则可能会出现严重的错误，或是十分可笑的结果。具体说应该注意以下四个方面：样本数据是来自哪个总体的，预报时也仅适合这个总体。模

8、型的时效性，利用不同时间段的样本数据建立的模型，只能用来对那个时间范围的数据进行预报。建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。4.教学要求统计案例是新增内容，课标只要求通过对典型案例的探究，“了解”几种统计方法的基本思想、方法及初步应用。我们知道，了解是“对知识的含义有感性、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够（或会）在有关的问题中识别它。”因此，统计案例的教学应该注意以下几点。（1）以典型案例为教学载体，通过对案例的探究，认识统计方法的基本思想、方法，避免为讲思想、方法把案例当思想、方法的例题。就是说通过案

9、例提出问题，研究案例寻求解决问题的方法，在探究案例问题的过程中体会统计方法的基本思想与方法，而不是先讲一种统计的思想、方法，然后把案例作为应用的例题。（2）在过程中体会思想、方法。研究统计案例，不是为了记住案例或案例的结论。研究案例的目的，就是使学生经历数据处理的过程，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点，体会统计方法应用的广泛性以及对决策的作用；在分析探究案例的过程中体会、感悟案例所使用的统计的思想、方法，注意的问题。因此，统计案例的教学要展现解决问题的全过程，要让学生积极主动地参与到案例探究的全过程，在过程中体会思想、方法。（3）在实践活动中或解决实际问题的过程中体会几种统计方法的

10、基本思想、方法、初步应用。案例介绍的统计方法，学生容易理解掌握，但案例设计的统计方法的基本思想、思想方法，学生不易理解。因此，在教学中，给学生提供一定的实践活动的机会，结合数学建模活动，选择几个案例，要求学生亲自实践，在实践活动过程中体会、感悟统计方法的基本思想、方法、初步应用效果会更好。（4）对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想基础及应用，对于其理论不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。同时，教学中应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校可运用一些常见的统计软件解决实际问题。5.重、难点分析重点：建立回归方程的思想和方法，独立性检验的基

11、本思想。难点：对于回归方程的理解，独立性检验的思想。重、难点分析：（1）独立性检验的基本思想和方法独立性检验是统计学中检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。要用独立性检验解决实际问题，就必须对独立性检验的基本思想和独立性检验的方法有较深刻的认识。因此，独立性检验的基本思想和方法是案例探究的重点内容。独立性检验的步骤相对固定，但独立性检验的统计思想，即独立性检验的基本思想对学生来说比较难理解，是教学的难点。独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想，它与反证法类似。假设检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否推出“矛盾”来判断结论是否成立。但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是

12、指不符合逻辑的事实发生；而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生。小概率事件在一次实验中通常是不会发生的，若在实际中这个事件发生了，说明保证这个事件为小概率事件的条件有问题，即结论应该在很大程度上成立。独立性检验的这一基本思想离开具体案例是比较难理解的。（2）判断刻画模型拟合效果的方法在数学必修3的统计中，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，求回归直线方程、利用所求回归直线方程进行预报等内容。预报结果的含义是什么，如何提高预报结果的精度，服务于我们的决策，这就是回归分析要做的事情。搞清预报结果的含义就要搞

13、清残差变量的含义；模型拟合效果越好，相应的分析预报结果的精度就越高。所以判断刻画模型拟合效果的方法是教学的重点内容。22推理与证明1.知识内容的整体定位“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理与演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理）、试验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到

14、新的结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间了解紧密、相辅相成。证明包括逻辑证明和试验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学过知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的了解与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）归纳推理归

15、纳推理是针对一类事物而言的，如图（1）所示：A和B具有的共同的特性是否可以推广到整个S？这就是一个从局部到整体的过程。例如，1）在统计学中，由一部分数据的特征数，推测出总体数据的特征数。2）解线性方程组时，由二元线性方程组的解法，推广到多元线性方程组的解法。3）平面向量推广到空间向量再推广到向量空间。（2）类比推理类比推理是针对的两类事物，如图（2）所示，在A和B两类事物中，A类中有性质成立，类中也有性质成立，A类中还有性质成立，那么B类中是否也有性质成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。例如，1）平面几何与球面几何的类比。2）指数函数与对数函数的

16、类比。3）等式与不等式的类比。4）有理数与无理数的类比。5）数的运算与符号的运算的类比。6）平面上直角三角形三边的关系与直三棱锥三个平面的关系的类比。SABqpq?pAB（图1） （图2）标准要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并经进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现猜想证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。（3）对于“合情推理”和“演绎推理”，要通过具体的实例理解合情推理和演绎推理，不追求对概念的抽象表述。模块中设置

17、的证明问题应选材于学生已学过的数学实例和生活中实例，了解和情推理的含义体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理，因此，应结合教材提供的具体实例组织教学，补充的实例也应该以“已经学过的数学实例和生活中的实例”为准，对证明的问题的难度也要加以控制。（4）结合已经学过的数学实例，让学生了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。已知条件新的结论与要证明的结论是否吻合？结束综合有关的公理、定理和已经得到的结论是否直接证明综合法直接证明分析法要证明的结论论论得到使上面结果成立的充分条件新结果在已知条件下新结果是否成立？结束结合有关的公理、定理和已经得到的结论是否用新结果替

18、代要证明的结果要证明的结论否定要证明的结论把“否定要证明的结论”作为条件件得出新的结论结合相关的公理、定理或已得到的结论是否与已知条件或公理、定理矛盾结束是否间接证明反证法标准对“了解和情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；了解直接证明的两种基本方法和间接证明的一种方法”的要求是阶段性要求，“体会并认识合情推理在数学发现中的作用，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯”的要求是终结性要求。2.课程标准的要求（1）合情推理与演绎推理 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作

19、用。 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的了解和差异。（2）直接证明与间接证明 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。（3）数学文化 通过对实例的介绍（如欧几里得几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公理化思想。 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。3.课程标准要求的具体化和深广度分析（1）如何认

20、识“了解合情推理的含义”对合情推理的含义的认识是指通过具体实例的推理过程的分析、体会、概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法。例如，歌德巴赫把在数学研究中观察到的式子在形式上改写成：，发现了规律：偶数=奇质数+奇质数，于是他产生了一个想法：10，20，30，都是偶数，那么其他的偶数是否也有类似的规律呢？他进行了特例的验证，概括出特例的规律特征，提出了猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这个猜想的提出过程就是运用了经历由部分到整体、由个别到一般的归纳推理过程。又如：在研究球体时，类比圆，发现球存在一些与圆类似的特征（如都具有完美的对称性，都是到定点的距离为定长的点集

21、），因此，我们推测对于圆的特征，球也可能具有。如圆有切线推测球有切面等等。这种推理过程是由两类对象具有的类似特征，由其中一类对象具有的某些已知特征推测另一类对象也具有这些特征，是由特殊到特殊的类比推理过程。（2）如何认识“能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义“能利用归纳和类比等进行简单的推理”是指：对给定的具体问题，能够通过计算、分析、比较、概括、推广、归纳、观察、推测、类比等手段或方法完成简单的推理。例如：已知数列的第1项，且，试归纳出数列的通项公式。可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项，观察数列的前几项和序号的关系，找出规律和共同特点，归纳出数

22、列的通项公式。“体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义是指体会并认识合情推理具有猜测和发现新结论，探索和提供解决问题的思路和方法的作用；例如欧拉公式的发现就是在探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系时，运用合情推理发现的。（3）如何认识“体会演绎推理的重要性”的含义演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式。在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。能够运用演绎推理的“三段论”的思维模式证明数学问题，获得数学结论。例如：证明函数在上是增函数。大前提是增函数的定义，小前提是，满足增函数的定义，于是根据演绎推理的“三段论”，得在上是增函数。（5）如何认

23、识“了解合情推理和演绎推理之间的了解和差异”的含义归纳与类比是常用的合情推理。从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得结论看，合情推理的结论只是猜测，未必可靠，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。合情推理与演绎推理都是认识世界的过程中需要的重要的思维方式，两者紧密了解、相辅相成。（6）如何认识“了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点”的含义“了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点”是

24、指通过实例，对已学过的数学知识的证明方法的思考过程与特点进行分析与概括，即：综合法是“顺推法或由因导果法”，分析法是“逆推法或执果索因法”。（7）如何认识“了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点”的含义“了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点”是指要明白反证法的适用情形和使用的逻辑规则，特别是明确应用逆向思维，推出与已知条件或假设或定义、公理、事实等矛盾是反证法的思考过程的特点。（8）如何认识“体会公理化思想”的含义“体会公理化思想”的含义是指通过介绍实例（如欧几里得几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），使学生了解数学知识的产生和发展

25、过程，体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步的作用，进而发展学生的探究和创新精神。4.教学要求（1）恰当创设情境，促进学生的自主探索合情推理并非盲目地、漫无边际地胡乱猜想，它是以数学中某些已知事实为基础，通过选择恰当的复习结构材料创设情境，引导学生观察。体现知识的发生、发展过程，促进学生自主探索。并尽量将学生所熟悉的知识，通过归纳、类比的思想，逐步推广到未知的知识领域。在中学数学的教学实践中，通过恰当创设情境，引导学生观察；精心设计实验，激发学生思维；仔细设计问题，激发学生猜想；利用类比探讨，加深知识理解；利用数学归纳，巩固特殊到一般思维；利用演绎证明，揭露蕴涵性质等渐进地培养学生的数学思

26、维意识和合情推理能力。例 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。PEFDABC考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们选取有三个面两两垂直地四面体，作为直角三角形的类比对象。让学生分析比较：四面体两边交成1个直角3个面在一个顶点处构成3个直二面角直角边面，和的面积和斜边面的面积推测出结论：再用综合法证明。体现出由推理到证明探究的完整过程。（2）教学中要让学生感受探究的过程通过观察问题和从问题发现到对问题解决的整个思维过程，让学生真实地感受到数学的创造过程与任何其他学科的创造过程是一样的，它同样需要经历观察、试验、归纳结论，最后再加以严格证明的一个完整的归纳推理的思维过

27、程。例如：关于凸多面体的“欧拉公式”的探究思路。（3）重视数学文化，让学生感受演绎推理，初步体会公理化思想方法中学数学教材基本上是以演绎推理作为主要的推理模式，运用最普遍是“三段论”式的结构，它由两个前提（分别称为大前提、小前提）和一个结论构成。大前提是具有一般性的原理，如已知的公理、定理、定义、性质等；小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命题中给出的已知条件；结论是根据两个前提推出的判断。其模式为：大前提：M是P小前提：S是M结 论：S是P尽可能地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法。5.重、难点分析推

28、理与证明贯穿高中数学的整个体系，它的系统学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领作用。合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和构建知识体系的作用，是公理化体系中的基本推理方法。两者紧密了解、相辅相成，它们的学习有利于培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在教学发现中的作用，体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。因此准确把握概念，理解和情推理、演绎推理的了解与区别，理解直接证明与间接证明的方法和步骤是重点。如何通过对

29、命题进行观察、比较、分析、类比、归纳，运用适当的方法对命题给予证明是难点。2.3数系扩充与复数的引入1.知识内容的整体定位根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好地把握数系的扩充和复数的引入的要求，首先须明确整体定位。标准对这部分的定位如下：“数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。本部分知识的教学，可结合数学文化的学习，进行数系扩充的介绍，使学生感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的了解。”为了更好地理解整体定位，需要明确下面几方面的问题：（1）“数系的扩充和复数的引入”在情感、态度、价值观

30、以及过程与方法的定位上，关注的是以问题为载体，激发学生对于数系扩充原动力的认识，初步体会数学的文化价值，促进学生科学观的形成。“数系的扩充和复数的引入”不能认同为“数的发展史”，二者内容和目标都不同，这一点须教师注意。（2）“数系的扩充和复数的引入”在知识的定位上，限定了这部分内容是复数最为基础性的知识。对于高中生来说，学习一些复数的基本概念、复数的几何表示、复数代数形式的四则运算及加减法的几何意义是十分必要的，可以使高中毕业生对复数的概念与运算初步地有一个较为完整的认识。（3）“数系的扩充和复数的引入”在技能定位上，值得指出的是对复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧的训练。2.

31、课程标准的要求（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的了解。（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。3.课程标准要求的具体化和深广度分析（1）如何认识“数系的扩充”的意义一般来说，在中、小学课程中，我们对数系的扩充是不会用代数结构的思想来处理传统的数学内容的，即把数看作群、环、域、体等基本结构的具体内容，从结构的观点介绍它的概念和性质。而是把新元素加到已建立的

32、数系之中，使之扩充为新数系，不追求像科学数系那样严谨，目的是既要考虑学生的可接受性，也不能偏离教学任务的主体，毕竟这部分知识不是在讲数学史。（2）如何认识“在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的了解”的意义例如：从自然数到实数集的扩充，是为了解决人类在生产生活中所遇到的实际问题大多数都与对量的度量问题相关联而逐渐产生的。从实数集到复数集的扩充，则完全是出于数学本身解方程的需要而产生的。数系扩充的这两条主线，体现了人类思维在认识数与现实世界的主观能动性，可以说历经艰辛、充满智慧的扩充过

33、程。让学生感受到对数系每一次扩充，都是因为旧数集与所需解决的问题之间的矛盾引起的，一般采取在原数集中添加新元素的方法使得原数集得到扩充；虚数的引入，产生了虚数，其中蕴涵了创新精神和实践能力，对培养学生的情感、养成科学的态度、形成正确的价值观有积极的意义。（3）如何认识“理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件”的意义“理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件”是指：能描述复数的代数形式，会辨认复数的实部和虚部；初步应用复数的分类，对一个具有代数形式的复数成为实数、虚数、纯虚数的判定。初步应用复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题。例如：复数的实部和虚部是什么？实数取什么数值时，复数是实数

34、，虚数，纯虚数。（4）如何认识“了解复数的代数表示法及其几何意义”的意义“了解复数的代数表示法及其几何意义”是指：可以说出复数与复平面内的点以及与复平面内从坐标原点出发的向量是一一对应的，并会在复平面内画出它们相应的图示位置。（5）如何认识“能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义”的意义“能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义”是指：复数的加法、减法、乘法运算，可类比与多项式的运算法则来进行；在实际进行除法运算时，我们不是按照除法的法则来套用公式的，而是通过把复数分母“实数化”再转化成乘法来完成的。最终运算的结果和法则的结论是一致的，减轻

35、学生的记忆负担。复数的加减法运算的几何意义只要求类比向量加、减的运算法则，加法符合平行四边形法则，减法符合三角形法则。4.教学要求（1）标准与大纲要求的对比教学内容标准目标表述大纲目标表述数系的扩充在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的了解。了解引入复数的必要性；了解数系从自然数到有理数到实数到复数扩充的基本思想复数理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。理解复数的有关概念复数的表示法了解复数的代数表示法及其几何意义。掌握复数代数表示与几何意义复数的运算能进行复数代数形式的四则运算

36、，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。能进行复数代数形式的加减乘除运算，掌握复数代数形式的运算法则在具体内容的要求上，标准与大纲有明显的区别。标准内容这部分是选修内容，对文理科要求相同。大纲要求理科为选修内容，文科不作要求，可见对文科来说是新增内容。大纲与标准要求有差异的内容：大纲要求的“掌握”变为标准“了解”的内容是：复数的代数表示及其几何意义；大纲要求的“掌握”变为标准“不作要求”的内容是：复数代数形式的运算法则；大纲要求的“不作要求”变为标准“了解”的内容是：复数代数形式的加、减运算的几何意义；大纲要求从泛指“理解”复数的有关概念，到标准特指“理解”的内容是：复数的基本概念以及复数相等

37、的充要条件；大纲与标准要求相同的内容是：了解数系的扩充过程；能进行复数代数形式的四则运算。从知识的要求上来看，标准与大纲有升有降，升少降多，教学中要关注这些变化。（2）教学要求1）基本要求注重知识的发生、发展过程我们知道，学生的数学学习，是在教师指导下对数学知识的一种特殊认识过程。这一认识过程也必须遵循从感性认识到理性认识，又从理性认识到实践的过程，这个过程反映到对具体知识的编排上，那就是要从实际事例的分析中，或者对已有知识的分析、推理中，引入新的概念、原理。特别注意知识的发生、发展过程，对概念、法则、公式的处理，不是首先呈现教学活动的结果，而是先从学生已有的知识出发，通过观察、比较、分析、抽

38、象、概括，得出结论。突出概念和运算之间的类比本章所介绍的复数内容是学生以前没有接触过的全新的内容，但复数的概念是实数概念的扩展，复数的运算遵循实数的运算律和运算顺序，为了使学生顺利地掌握本章的内容，教学中要突出复数的概念、运算与实数的概念、运算之间的类比，即类比实数的概念和性质讲复数的有关概念和性质，类比平面直角坐标系讲复平面，类比实数的运算讲复数的运算。注意与初、高中数学知识内容的了解这部分知识内容，与初中、高中所学过的平面直角坐标系、一次方程（组）和一元二次方程、平面向量、平面几何等知识均有密切的了解。教学时，应注意了解有关的知识。重在应用例 求满足的复数的值。解法1：（化归思想）设，由原

39、式得： ，由复数除法的定义得到：即 由复数相等的充要条件得： 故所求复数。解法2 （整体思想）由已知得即所以 。2）某些具体内容的教学要求“数系的扩充”和“复数”的教学要突出概念的形成过程例如：“数系的扩充”过程和“复数的基本概念”的形成过程，是本部分所有知识的起点，学生对它理解程度，直接影响学生对这部分知识的后续学习，所以要引起足够的重视。教师可以一方面以求方程的根为问题情境载体，让学生经历体验、感知、确信从实数到复数的扩充过程是由数学内部的矛盾，即解方程的需要引起的，同时要遵循熟悉要扩充，必须在原数集中添加新元素的一般规律；另一方面在复数概念引入时，要分清对是定义的（，并且对实数的加法、乘

40、法的运算律保持不变，可以推出形如这样的数的存在，再定义它是复数，经过这样的过程来定义复数，就使得这种定义是合理的。有了这样的基础，再定义复数的实部、虚部、两个复数相等的充要条件、乃至复数的分类就比较自如了。要正确认识复数的实部与虚部例如：对于复数，实部是，虚部是，注意在说虚数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是，复数的实部和虚部都是实数。说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。要正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。不能乱用复数相等的条件解题。用复数相等的条件要注意：化为复数的标准形

41、式实部、虚部中的字母为实数。“复数的表示法”的教学在讲复数集与复平面内所有点的集合一一对应时，要注意：任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定。这就是说，复数的实质是有序实数对。复数用复平面内的点表示。复平面内的点的坐标是，而不是，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是。当时，对任何，是虚数，当时，是实数。复数中的，书写时小写，复平面内的点的Z，书写时大写，要学生注意。“复数的运算”教学在复数代数形式的除法运算的关系式：，会给运算带来方便，运用这些关系就是一种运算技巧。关于共轭复数的概念设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或者与）是共轭复数。可以向学生介绍复数共轭

42、复数的记成：，但不要求利用进行因式分解。5.重、难点分析复数的概念及其表示方法是全章内容的出发点，复数代数形式的四则运算法则是中心内容，两个复数相等的充要条件是实现复数问题向实数问题转化的重要性质，有许多问题通过此性质加以解决；由此决定了它们是本部分内容的重点。实数集是复数集的真子集，从实数集扩充到复数集后，与代数中的实数运算、多项式、向量运算等有了解也有区别，它毕竟是一个新的数的概念，因此，复数的概念、复数的几何表示等概念与以前学过的实数概念中的内容不同，这些内容学生不易接受和掌握；由此决定了它们是本部分内容的难点。2.4框图1.知识内容的整体定位框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图

43、示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。框图是新增内容，通过框图的学习过程能够提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，能帮助学生清晰地表达和交流思想。尤其对希望在人文、社会科学方面发展的学生是十分必要的。为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）程序框图是算法步骤的直观图示，在必修3中已经学习过。（2）流程图可以用于描述工业生产、建筑施工、工业计划等的流程，这种流程图通常称为工序

44、流程图。流程图一般描述一个过程性的活动，活动的每一个具体步骤构成流程图的一个基本单元，按时间等顺序将基本单元了解起来构成流程图。基本单元的内容应根据实际来确定。（3）描述系统结构的图示结构图。流程图描述动态过程，而结构图刻画系统结构，结构图一般表现为“树”形（或环形）结构，其基本要素之间是概念上的从属关系或逻辑上的先后关系。用结构图能够清晰地表达系统的逻辑结构。有时也用它来表示知识的结构。2.课程标准的要求（1）流程图 通过具体实例，进一步认识程序框图。 通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）。 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。（2）结构图 通过实例，了解结构图

45、；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。 结合做出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物了解中的作用。框图的教学，应从分析实例入手，结合必修中的算法，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。3.课程标准要求的具体化和深广度分析（1）通过具体实例，进一步认识程序框图。我们已经学习了程序框图的有关知识，把用自然语言描述的算法转化为程序框图，一般需要将算法分解为若干输入、输出、条件分支结构、循环结构等基本步骤，然

46、后根据它们的逻辑关系，用流程线连接起来。例1 画出用二分法求方程的近似根的程序框图。分析：可以先用自然语言描述，再逐步“细化”算法步骤，然后画出相应的程序框图。解：算法步骤为：第一步 令，误差为。因为所以设第二步 令，判断是否为。若是，则为方程的根；若否，则判断的符号。第三步 若，则令；否则，令。输入误差和的初始值第四步 判断是否成立？若是，则为方程的近似根；若否，则返回到第二步。用程序框图表示上述算法步骤。“第一步”可细化为：输出是是否“第二步”“第三步”可以细化一个循环结构：输出是否“第四步”可以细化为：通过例1，进一步认识到：程序框图是算法步骤的直观图示；算法的输入、输出、条件分支、循环

47、等基本单元构成程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来连接；用程序框图表示的算法，比用自然语言描述的算法更加明确、流向清楚，而且更容易改写成计算机程序。（2）工序流程图1）通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）由一些图形符号和文字说明的图示称为流程图；流程图用来表示一些动态过程，通常有一个“起点”，一个或多个“终点”。显然程序框图是流程图的一种；流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤，在日常生活和工作的很多领域都得到广泛应用。例2 考生参加某培训中心的考试需要遵循以下程序：在考试之前咨询考试事宜，如果是新考生，需要填写考生注册表，领取考生编号，明确考试的科目和时间，然后交纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书；如果不是新考生，则须出示考生编号，明确考试的科目和时