2016年北京市高考文科数学试题及答案

1、2016年北京市高考文科数学试题及答案绝密启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A32x4,Bx|x3或x>5,贝AIB(A) x|2<x<5(B)x|x<4或x>5(C)x2<x<3(D)x|x<2或x>5(2)复数甲=输出的(A)i(B)1+i(C)i(D)1

2、(3)执行如图所示的程序框图，s值为(A) 8(B) 9(C) 27(D) 36(4)下列函数中，在区间(i,i)上为减函数的是(A)y4(B)ycosx(C)yln(x1)(D)y2x1 x、'、'、'(5)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为(6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(A)5(B)2(C)285(D)於(7)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上，则2x-y的最大值为(A)-1(B)3(C)7(D)8(8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预

3、赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.(单位：9988777766米)622086428030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则(A)2号学生进入30秒跳绳决赛(B)5号学生进入30秒跳绳决赛(C)8号学生进入30秒跳绳决赛(D)9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9)已知向量a=(i，肉,b(卢1),则a与b夹角的大小为(10)函数f(x)(x2)

4、的最大值为x1(11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为.2 2(12)已知双曲线会g1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(而，0),则a=;b=.(13)在BC中，a2-,a=V3c,则？=.3 C(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品最少有种.三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（ 15） （本小题13分）已知an是等差数列，b

5、n是等差数列，且b2=3,b3=9,a1=b1，a14=b4.（I）求an的通项公式；（n）设Cn=an+bn,求数列Cn的前n项和.（ 16） （本小题13分）已知函数f（x）=2sinaxcosco+cos2ax（3>0）的最小正周期为兀.（ 17） 的值；（n）求f（x）的单调递增区间.17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：频率.藤(J.50.3rmoji«Em：Hoj1I1一.00

6、.511.522333s4*4.5(立方米)(I)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.(18)(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABC»,PM平面ABCDAB/DC,DCAC(I)求证：DC平面PAC；(II)求证：平面PAB平面PAC；(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.(19)(本小题14分)22已知椭圆C：今长1过点A(2,0),B(0,1)两点.ab(I)求椭圆C的方程及离心

7、率；(II)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证：四边形ABNM的面积为定值.(20)(本小题13分)设函数fxx3ax2bxc.(I)求曲线yfx在点o,f0处的切线方程；(II)设ab4,若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围；(III)求证：a23b。是fx.有三个不同零点的必要而不充分条件.2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)(1)C(2)A(3)B(4)D(5)C(6)B(7)C(8)B二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9)-(10)2(11)3(

8、12)1262（13）1（14）1629人解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）等比数列bn的公比q93,b237所以b1q27.设等差数列an的公差为d.因为&61)a14b427)所以113d27)即d2.所以an2n1(n1)2)3).(II)由(I)知，an2n1,bn3因此Cnanbn2n13nl.从而数列a的前n项和Sn132n1133n1n12n113n21323n1(16)(共13分)解：（I）因为f x2sin xcos x cos2 xsin2xcos2x2sin2x一.4所以fx的最小正周期依题意，解得1.(II)由(I)知fx展sin2x.4

9、函数ysinx的单调递增区间为2k-,2k5(k).由2k2x2k1242)得k口xk88所以fx的单调递增区间为k3-,k-(k).88(17)(共14分)解：(I)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(II)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2.44,66,88,1010,1212,1717,2

10、222,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5（元）（18）（共13分）解：（I）因为C平面CD，所以CDC又因为DCC，所以DC平面C（II）因为/DC，DCC，所以C因为C平面CD，所以C所以平面C所以平面平面C（III）棱上存在点F，使得/平面CF证明如下：取中点F，连结F，C，CF又因为为的中点，所以F/又因为平面CF，所以/平面CF（19）（共14分）解：（I）由题意得，a2,b1.2所以椭圆C的方程为y21.4所以离心率

11、eY.(II)设Xo,yo(xo0)yo0),则x24y24.又2,0,0,1,所以，直线的方程为yx2.X02令x0,得y色，从而|1y1x027x02直线的方程为y*x1.%令y0)得x-)从而II2x2一.y01y°1所以四边形的面积V。1x02x24y；4x0y04x08y042x0y0x02y022xQyo2x04y04x0y（）xo2y022.从而四边形的面积为定值.(20)(共13分)因为f 0所以曲线(II)当解：(I)由fxx3ax2bxc)彳导fx3x22axb.c)f0b，3,2,x x 4x 4x c）yfx在点0,f0处的切线方程为ybxc.所以fx3x28x4.f x 0,得 3x2 8xf x与f x在区间0，解得x 2或x f 3上的情况如下：x,222"2323,fx00fxZc32c-27Z2,q，所以,当c0且c370时,存在xi4,2,x2x32,0,使得fxifx2fx30.3由fx的单调性知，当且仅当c噂时，函数fxx34x24xc有三个不同零点III）当4a212b0时，fx3x22axb0，x此时函数fx在区间,上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点4a212b0时）fx3x22axb只有一个零点）记作.x,x0时，fx0，