第1章第一章习题答案

1、第一章 函数11集合与函数习题 1。11 求下列函数的自然定义域：（1） y =3x + 2由3x + 2 ³ 0 ，得定义域为 x ³ - 2 。31（2） y =1 - x2由1 - x 2 ¹ 0 ，得定义域为 x ¹ ±1。1（3） y =4 - x 2由4 - x 2 > 0 ，得定义域为(- 2,2)。（4） y = tan(x +1)pp由 x + 1 ¹ kp +, k Î Z 得定义域为 x ¹ kp +-1, k Î Z.2（5） y = arcsin(x - 3)由 x - 3

2、Î-1,1，得定义域为 x Î2,4。（6） y = ln(x +1)2由 x + 1 > 0 ，得定义域为 x > -1。2x + 1 sin px（7） y =ìx + 1 ³ 0,由，得定义域为 x > -1且 x Ï Z 。ípx ¹ kp , k Î Zî2 求下列函数的值域：（1） y = x 2 , x Î-10,0由-10 £ x £ 0 ，得0 £ x 2 £ 100.（2） y = lg x, x Î(0,1

3、0由0 < x £ 10, 得lg x £ 1。Î0,1（3） y =由0 £ x £ 1 ，得0 £ x - x 2 £ 1 ，所以0 £x - x 2 £ 1 。421, x Î (0,1)（4） y =1 - x1由0 < x < 1 ，得0 < 1 - x < 1 ，所以> 1.1 - x3 把半径为 R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为a 的一扇形后围成一无底圆锥。试将这圆锥的体积表示为a 的函数。解：圆锥的底圆周长为铁皮被剪后所剩扇形的弧长，即

4、R(2p - a )，所以圆锥的底圆半径为R(2p - a )2p， 圆 锥 的 母 线 长 显 然 为 R， 所 以 圆 锥 的 高 为R 2 (2p - a )24p 2R 4pa - a 22pR 2 -=，由此得圆锥体积为：1R 2 (2p - a )2R 4pa - a 2R3 (2p - a )2 4pa - a 2V =p，其中0 < a < 2p 。=4p 22p24p 23f (x) 和 g(x)是否相同？为什么？4 下列各题中，函数（1） f (x) = lg x 2 , g(x) = 2 lg x;f (x) 的定义域为 x ¹ 0 ，而 g(x)的

5、定义域为 x > 0 ，所以两函数不同。（2） f (x) = x, g(x) =x2g(（3） f (f (x) = 3 x4 -，与 f (x) 对应法则不同，是不同的函数。3 , g(-1-1 与 g(x)具有相同的定义域和对应法则，是两个相同的函数。（4） f (x) = 1, g(pg(x)的定义域为 x ¹ kp +, k Î Z ，与 f (x) 的定义域不同，是两个不同的函数。2（5） f (x) = x -1 , g(x) =1;x2 -1x + 1f (x) 的定义域为 x ¹ ±1，而 g(x)的定义域为 x ¹ -

6、1，所以两个函数不同。（6） f (x) = x, g(x) = ( x )2g(x)的定义域为 x ³ 0 ，与 f (x) 的定义域不同，它们是两个不同的函数。（7） f (x) = 1, g(g(;= 1，它与 f (x) 的定义域和对应法则都相同，是两个相同的函数。-1, g(x) =x2 -1;（8） f (f (x) 的定义域为 x ³ 1， g(x)的定义域为 x ³ 1和 x £ -1，所以它们是两个不同的函数。（9） f (x) = lg x 2 , g(x) = 2 lg x ;g(2 ，它与 f (x) 的定义域和对应法则都一样，是

7、两个相同的函数。x（10），它与 g(x)的定义域和对应法则都一样，是两个相同的函数。5. 设 f (x) 为定义在(- l,l) 内的奇函数，若 f (x) 在(0, l )内单调递增，证明 f (x) 在(- l,0)内也单调递增。证明：设 - l < x1 < x2 < 0 ，则 0 < -x2 < -x1 < l ， 所 以 f (- x2 ) < f (- x1 ) ，而 f (- x) = - f (x)，所以 f (x1 ) < f (x2 )。6. 设下面所考虑的函数都是定义在(- l,l) 上的。证明：（1）（2）两个偶函数的和

8、是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数；两个奇函数的商是偶函数，两个偶函数的商是偶函数。（3）证明：设 f1 (x), f2 (x)为奇函数， g1 (x), g2 (x)为偶函数。（1） (g1 + g2 )(- x) = g1 (- x)+ g2 (- x) = g1 (x)+ g2 (x) = (g1 + g2 )(x);( f1 + f2 )(- x) = f1 (- x)+ f2 (- x) = - f1 (x)- f2 (x) = -( f1 + f2 )(x);（2） (g1 g2 )(- x) = g1

9、 (- x)g2 (- x) = g1 (x)g2 (x) = (g1 g2 )(x);( f1 f2 )(- x) = f1 (- x)f2 (- x) = (- f1 (x)(- f2 (x) = f1 (x)f2 (x) = ( f1 f2 )(x);( f1 g1 )(- x) = f1 (- x)g1 (- x) = - f1 (x)g1 (x) = -( f1 g1 )(x);f1 (- x)- f1 (x)f1 (x)æ f1 öæ f1 ö（3） ç÷(- x) =÷(x);f (- x) = - f (x)

10、 = f (x) = ç ffè 2 øè 2 ø222g1 (- x)g1 (x)æ g1 öæ g1 öç÷(- x) =g÷(x);g (- x) = g (x) = ç gè2 øè2 ø227 证明：定义在对称区间上的任何函数都可唯一表示成一个偶函数与一个奇函数之和。证明： 唯一性： 若 f (x) = g(x)+ h(x) ，其中 g(x) 为偶函数， h(x) 为奇函数， 则f (- x) = g(- x)+ h

11、(- x) = g(x)- h(x)，所以只能是g(x) = f (x)+ f (- x), h(x) = f (x)- f (- x).2存在性：令 g(x) =2, h(x) = f (x)+ f (- x)2 f (x)- f (- x)2. 易验证 f (x) = g(x)+ h(x) ，且g(x)为偶函数， h(x)为奇函数。8 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1） y = x 2 (1 - x 2 )定义域为 R ，且 y(- x) = (- x)2 (1- (-（2） y = 3x 2 - x3y(1) = 2, y(-1) = 4 ，所以既不是

12、奇函数，也不是偶函数。2 )= y(x)，所以是偶函数。1 - x 2（3） y =1 + x 21 - (- x)21 + (- x)21 - x 2() = y( )定义域为 R ，且 y - x=x ，所以是偶函数。1 + x 2+1)（4） y =定义域为 R ，且 y(- x) = (-（5） y = sin x - cos x + 1+1) = -+1) = -y(x)，所以是奇函数。ppæöæöy= 2, y -= 0ç 2 ÷ç2 ÷，所以既不是奇函数，也不是偶函数。èø

13、2;øa x + a - x（6） y =2- x) = a+ ax定义域为 R ，且 y(- x= y( )x ，所以是偶函数。2a x - a - x（7） y =2a - x- ax定义域为 R ，且 y(- x) = - y(x) ，所以是奇函数。2（8） y = lg(x +x2 +1)R定义域为，且= - lg(x + 1)= - y(x)，所以是奇æö1y(-)ö+ 1÷ = lgç÷2x +2èøè x +x + 1 ø2函数。9 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函

14、数，指出其周期。（1） y = cos(x - 2)因为cosx 为周期函数，周期为2p（2） y = cos 4x，所以本函数也为周期函数，周期为2p 。因为cosx 为周期函数，周期为2p ，所以本函数也为周期函数，周期为 2p= p。42（3） y = 1 + sin px因为sin x 为周期函数，周期为2p ，所以本函数也为周期函数，周期为 2p = 2 。p（4） y = x cos x若其为周期函数，则存在 T > 0 ，使得 (x + T )cos(x + T ) = x cos x ，令 x = 0 ，得p2æ pöæ pöT c

15、osT = 0 ，所以cosT = 0 ；令 x =+T ÷cosç+ T ÷ = 0 ，由此得sin T= 0 ，得çè 2øè 2ø。所以 x cosx 不是周期函数。这是一个（5） y = sin 2 x2p1 - cos 2x，所以本函数为周期函数，周期为= p 。因为sin x =10222求下列函数的反函数：（1） y = 3 x +1y 3= x + 1, x = y 3 -1，所以反函数为 y = x3 - 1.1 - x（2） y =1 + x(1+ x)y = 1- x, (1+ y)x = 1

16、- y, x = 1- y , 所以反函数为 y = 1 - x 。1+ y1 + xax + b(ad - bc ¹ 0)（3） y =cx + d(cx + d )y = ax + b, (cy - a)x = b - dy, x = b - dy ，所以反函数为 y = b - dx .cy - acx - a（4） y = 2 sin 3x -£ x £ p öpæç6 ÷è6øppy1y1x易得-£ 3x £，所以3x = arcsin, x =arcsin，所以反函数为 y

17、 =arcsin。2223232（5） y = 1+ ln(x + 2)ln(x + 2) = y -1, x + 2 = e y-1, x = e y-1 - 2, 所以反函数为 y = ex-1 - 2.2 x（6） y =2 x+ 1(2yy2 1 - yx2 1 - x=, x = log, 所以反函数为 y = log。1 - y（7） y = 1 æÎ (0,+¥).2 çè2 y ±4 y 2 + 41x -= 2 y, x 2 - 2 yx - 1 = 0, x =x= y ±y 2 + 1,由x >

18、0,应取2x = y +y 2 + 1 ，所以反函数为 y = x +x2 +1 。设 f (x) 的定义域 D = 0,1，求下列各函数的定义域：11（1） f (x 2 );由0 £ x 2 £ 1 ，得-1 £ x £ 1.f (sin x)（2）由0 £ sin x £ 1，得2kp £ x £ (2k +1)p , k Î Z.（3） f (x + a)(a > 0)由0 £ x + a £ 1，得- a £ x £ 1 - a 。（4） f (x + a)+ f (x - a)(a > 0).ì0 £ x + a £ 1,ì- a £ x £ 1 - a,11所以当 a >时，定义域为空集；当 a =时，定由í，得íî0 £ x - a £ 1îa £ x £ 1 + a2211义域为 x =；当0 < a <时，定义域为a,1 - a。22ì1, xï< 1,f (x) = í0, x= 1, , g(x)