一 曲线的参数方程

1、2021/3/91第二讲第二讲 参数方程参数方程一一 曲线的参数方程曲线的参数方程2021/3/921、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何飞行员应如何确定投放时时机呢？确定投放时时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点2021/3/931

2、、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何飞行员应如何确定投放时机呢？确定投放时机呢？2021/3/94xy500o

3、0,y 令10.10 .ts得100 ,1010 .xtxm代入得.1010 所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在 指定位置 txy解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以2100 ,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何飞行员应如何确定投放时机呢？

4、确定投放时机呢？2021/3/95一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的表示点的坐标，变量坐标，变量t叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的的函数。函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯唯一决定，从数学角度看，这就是点一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标的坐标x,y由由t唯一确定，这样当唯一确定，这样当t在允许值范围内连在允许值范围内连续变化时，续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程

5、组三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。2021/3/96( ),( ).xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(2) 所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(2) 就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数, 简称参数简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数

6、几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明显意义。也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数2021/3/97例例1: 已知曲线已知曲线C

7、的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上上, 求求a的值。的值。23 ,()21.xttyt为参数 一架救援飞机以一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.在离在离灾区指定目标灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到（精确到1m）变式变式:2021/3/982、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所

8、表示的曲线上一点的坐标是（ ） 练习1sin,(cosxy为参数）A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1 2( , );3 31 1( , );2 21、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、21,(43xttyt 为参数）25(,0);16(1, 3);25(,0);16B2021/3/99 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上. （1）求常数）求常数a; （2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.212 ,().xttyat 为参数,aR解解:(1)由题意可知由题意可知

9、: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C的方程为的方程为: x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得: 12xt代入第二个方程得代入第二个方程得: 21() ,2xy2(1)4xy为所求.训练2：2021/3/910思考题：思考题：动点动点M作等速直线运动作等速直线运动, 它在它在x轴和轴和y轴方向轴方向的速度分别为的速度分别为5和和12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2), 求点求点M的轨迹参数方程。的轨迹参数方程。解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得tytx12251所以，点M的轨迹参数方

10、程为tytx12251参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y) （2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程2021/3/911小结：小结： 一般地，在平面直角坐标系中，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 ( ),( )

11、.xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程， 系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。2021/3/9122、圆的参数方程、圆的参数方程2021/3/913yxorM(x,y)0M2021/3/914)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三，设

12、，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt2021/3/915转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取考虑到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt2021/3/916圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数2021/3/917由于选取的参

13、数不同，圆有不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示不同的参数方程，它们表示 的曲线可的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值数参数时，要注明参数及参数的取值范围。范围。2021/3/918例、例、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参

14、数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)2021/3/919例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周运动时，求点作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方的轨迹的参数方程。程。yoxPMQ2021/3/920)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,c

15、os2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM2021/3/921径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx2021/3/922_4)0(sin2cos3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）2021/3/923参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 2021/3/924例3：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1sincos(1)().(2)()1 sin21 23cos(3)().sinxtxtyy

16、txy 为参数为参数为参数1.1.将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。的类型。2.2.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。3.3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x、y y的取的取值范围保持一致。值范围保持一致。代入代入( (消参数消参数) )法法恒等式恒等式( (消参数消参数) )法法2021/3/925曲线C的普通方程和参数方程是曲线C的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.通常使用代入消参，加减消参，使用

17、三角公式消参。曲线的参数方程曲线的普通方程.消去参数引入参数2021/3/926说明说明:把参数方程化为普通方程把参数方程化为普通方程,常用方法有常用方法有:(1)代入代入(消参数消参数)法法(2)加减加减(消参数消参数)法法(3)借用代数或三角恒等式借用代数或三角恒等式(消参数消参数)法法常见的代数恒等式常见的代数恒等式:22222222222222222211(1)()()42(2)()()12(3)()()1tttttaattatataattata 在消参过程中注意在消参过程中注意变变量量x、y取值范围的取值范围的一致性一致性，必须根据参，必须根据参数的取值范围，确定数的取值范围，确定f

18、(t)和和g(t)值域得值域得x、y的取值范围。的取值范围。2021/3/927如果知道变数如果知道变数x，y中的一个与参数中的一个与参数t的关系，的关系，例如例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系数与参数的关系y=g(t)，那么，那么)()(tgytfx这就是曲线的参数方程。这就是曲线的参数方程。二、普通方程二、普通方程 参数方程参数方程例4 (1)设x=3cos ， 为参数；22194xy求 椭 圆的 参 数 方 程 。2021/3/928)(sin2cos3149,sin2sin2sin4)cos1 (4, 149cos9cos312

19、222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyx例4 (1)设x=3cos ， 为参数；22194xy求 椭 圆的 参 数 方 程 。还有其它还有其它方法吗？方法吗？2021/3/929例4 (1)设x=3cos ， 为参数；22194xy求 椭 圆的 参 数 方 程 。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32为参数法二：法二：2.tt(2)设y=， 为参数2021/3/930tytxttytxyxtxtxtxty213)(21314913),1 (9144922222222222和为参数的参数方程是所以，椭圆

20、于是代入椭圆方程，得）把（思考：为什么思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？的参数方程？2.tt(2)设y=， 为参数分别对应了椭圆在分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。轴的右，左两部分。2021/3/931（1 1）判断点）判断点P P1 1（1 1，2 2），），P P2 2（0 0，1 1）与曲线）与曲线C C的位置关系的位置关系（2 2）点）点Q(2,a)Q(2,a)在曲线在曲线l l上，求上，求a a的值的值. .（3 3）化为普通方程，并作图）化为普通方程，并作图（4 4）若）若t0t0， 化为普通方程，并作图化为普通方程，并作图

21、. .补例补例1 1已知曲线已知曲线C C的参数方程为的参数方程为1322tytx（t t为参数）为参数）3321132212tttt分析与解答分析与解答: :（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x, y，即可以求出相应t值.所以，令t无解， 点P1不在曲线C上.0131202ttt同理，令 点P2在曲线C上.2021/3/932（2）Q在曲线C上，2221431ttaat2xt （3）将代入y=3t2+11432xy, ,如图如图. .（4）t0, x=2t0, y=3t2+11, 消去t，得：1432xy t0时，曲线C的普通方程为1432xy(x0, y1).2021/3/9331

22、432xy点评点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x0, 但不能写成y1，这是因为是以 x为自变量，y为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来.2021/3/934（1）互化时，必须使坐标x, y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的. 如曲线y=x2的一种参数方程是（ ）2224sin.; .; .;sinxtxtxtxtABCDytytytyt分析分析:在y=x2中，xR, y0，在A、

23、B、C中，x,y的范围都发生了变化，因而与y=x2不等价，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。注意:2021/3/935解：y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2应选C.补补例例2 方程sincos2xy所表示的曲线一个点的坐标是( )(为参数)1211.(2,7);.(,);.(,);.(1,0).3322ABCD补补例3.参数方程cos1sin

24、cos1cosyx（为参数） 化成普通方程为 .2021/3/936补补例例4： 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( )2cos.1cos 21cos 2cos1cos 21cos 2xtgtxtgtxtxtABCDttyyytyttt解：普通方程x2-y中的xR，y0，A.中x=t0，B.中x=cost-1,1，故排除A.和B.C.中222cos2sintyt=ctg2t=2211xttg即x2y=1，故排除C.应选D.补补例5.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin2cos2为参数yx的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直

25、线不过圆心2021/3/937A线段B双曲线一支 C圆弧D射线答案：答案：A。分析分析 由ytty2211解得，将其代入xtxy323122得，整理得：xy350050252771242ttxy，得，故该曲线是直线xy350上的一条线段，故选A。补补例例6：曲线的参数方程为2232051xttyt ，则曲线是：2021/3/938补补例例7：参数方程xycossinsin2212102表示：B抛物线一部分，这部分过点112，C双曲线一支，这支过点112，D抛物线一部分，这部分过点112，分析分析 因为x cossinsin222242225020 |sin| 102424424111 sins

26、incossin2222241022xyyxx又，即又因此，参数方程表示抛物线yx122的一部分，这部分过点112，故选，故选B。112，A双曲线一支，这支过点2021/3/939补补例例8 8已知直线已知直线l l1 1: x-ky+k=0, : x-ky+k=0, l l2 2:kx-y-1=0. :kx-y-1=0. 其中其中k k为参数，求为参数，求l l1 1, , l l2 2交点的轨迹方程交点的轨迹方程. .解法解法1:1:求出两直线的交点坐标，即解方程组:010ykxkkyx 当k21时，得到这就是所求轨迹的参数方程，但如果要求轨迹的普通方程，需消去参数k.1112222kky

27、kkx（k为参数）2021/3/940解法解法2 2： 由kx-y-1=0，当x0时，可得xyk1代入方程x-ky+k=0 得:012xyxyyx点评点评:解法2中，方程两边同除以x，会丢x=0的解；方程两边同乘以x，会增x=0的根，所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形同解变形.两种方法得到轨迹的不同形式的方程，只要把参数方程中的参数消去，便可得到同样的普通方程.（不妨试试，可利用加减消元法消去k，但应关注y1的限制条件。）去分母，化简得:x2-y2+1=0(x0) 当x=0时，存在k=0，使得y=-1. 所以，所求轨迹的普通方程为:x2-y2+1=0(y1).2021/3/941补补例

28、例9: 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：sin51cos52yx（为参数）则圆上点P坐标为(2+5cos ，1+5sin )，它到所给直线之距离22|20cos15sin30|4cos3sin6| |5cos()6|43d故当故当cos(-)=1，即，即=时时 ，d最长，这时，点最长，这时，点A坐标坐标为为(6，4)；当；当cos(-)=-1,即即-时，时，d最短，这时，最短，这时，点点B坐标为坐标为(-2，2).2021/3/942例例10：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方

29、向排列， A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）分析分析 设点C的坐标为(x,y) ，不易直接建立x,y之间的关系，所以可考虑建立x,y之间的间接关系式. CAX完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是CAX的函数，所以可选CAX为参数解：解：如图所示，设CAX，则xOAADaaayDCasincossincossinC点的参数方程为：xayasincossin为参数消去参数，得普通方程为：xxyya2222小结：小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。2021/3/943补补例11：已知线段BB=4，直线l垂直平分BB=

30、于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P，使OP. .OP9 。求直线BP与直线BP，的交点M的轨迹方程。分析分析 以O为原点，l为x轴，BB为y轴建立一直角坐标系xoy，如右图所示，则B(0,2),B(0,-2).如图可知，当P点的位置一定时，P点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。2021/3/944解：解：设P aa，00，则由OPOP 9，得Pa90，直线BP的方程为：xay21直线 B P的方程为：xay921两直线方程化简为：22029180 xayaaxy解和组成的方程组。可得直线BP与 B P的交点坐标为：2221891829axa

31、aya消去参数a，得：4936022xyx2021/3/945本题也可将直线BP和 B P的方程变形为：xayaxy12912、两式相乘，得xy22914小结：小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和B2021/3/946参数方程与普通方程互化2021/3/947sincosbyax例例1 、 将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程解：由式变形得：解：由式变形得： cos222axsin222by将两式相加得：将两式相加得：122

32、22byax由式变形得由式变形得：2021/3/94821sin,cos200gttvytvx例例2 、将下列参数方程化为普通方程、将下列参数方程化为普通方程解：由得：解：由得：cos0vxt 代入，消去参数代入，消去参数 t ，得普通方程，得普通方程xxvgycossincos222202021/3/949例例3 、 将直线的点斜式方程将直线的点斜式方程 y-y0=tg(x-x0) 化为参数方程化为参数方程解解:将直线的点斜式方程变形为将直线的点斜式方程变形为txxyycossin00是参数）ttyytxx(.sin,cos00即即2021/3/950例例4 、将下面参数方程化为普通方、将下面参数方程化为普通方程程为参数）(.tg,secbyax解：将参数方程变形为：解：将参数方程变形为：.tg,secbyax再将两方程的两边平方后相减，得再将两方程的两边平方后相减，得12222byax2021/3/951例