知识讲解正态分布(理)

1、欢迎共阅正态分布【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2. 了解正态曲线与正态分布的性质。【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1 .概念：对于连续型随机变量X ,位于x轴上方，X落在任一区间(a, b内的概率等于它与x轴、 直线x=a与直线x=b所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)，这条概率曲线叫做 X的 概率密度曲线，以其作为图象的函数 f (x)叫做X的概率密度函数。2、性质：概率密度函数所取的每个值均是非负的。夹于概率密度的曲线与x轴之间的平面图形”的面积为1 J F IP(a<X <b)的值等于由直线x = a, x = b与概率

2、密度曲线、x轴所围成的 平面图形”的面积。要点二、正态分布1.正态变量的概率密度函数1T)2正态变量的概率密度函数表达式为：R,a(x) = I e纥(xw R),v2二二(CT >0, - ckc-Hc)其中x是随机变量的取值；仙为正态变量的期望；。是正态变量的标准差.2.正态分布(1)定义b如果对于任何实数a,b (a <b)随机变量X满足：P(a < X W b) = J*口仃(x)dx ,a则称随机变量X服从正态分布。记为xL n(n,。2)(2)正态分布的期望与方差若X l_ N(R,。2),则X的期望与方差分别为：EX=N, DX =。2要点诠释：(1)正态分布由

3、参数N和0确定。参数N是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。O是标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。(2)经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差； 某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗 长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维 的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等)；某地每年七月份的平均气温、 平均湿度、降雨量等；一

4、般都服从正态分布.I要点三、正态曲线及其性质：1.正态曲线_(x_J2如果随机变量X的概率密度函数为f(x) =rek(xw R)其中实数N和。为参数 2二二li y(仃>0, -O0 < N <),则称函数f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。-7? I .2 .正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x=N对称；1曲线在x = N时达到峰值-=L-;、“2二二当x<N时，曲线上升；当xN时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.曲线与x轴之间的面积为1；口决定曲线的位置和对称性；当仃一定时

5、，曲线的对称轴位置由口确定；如下图所示，曲线随着口的变化而沿x轴平移。仃确定曲线的形状；当N 一定时，曲线的形状由。确定。越小，曲线越 高瘦”，表示总体的分布越集中；仃越大，曲线越 矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示 要点诠释：性质说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（ X轴）.性质并且说明了 函数具有对称性；性质说明了函数在X=N时取最值；性质说明仃越大，总体分布越分散， 。越小，总体分布越集中.要点四、求正态分布在给定区间上的概率1.随机变量取值的概率与面积的关系若随机变量己服从正态分布N（N,。2）,那么对于任意实数a、b （a<b）,当随机变量E 在区间（a, b

6、上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线 x=a, x=b以及x轴所围成的图形 的面积相等.如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a, b上取值的概率.一般地，当随机变量在区间（ 巴 丹 上取值时，其取值的概率是正态曲线在 x=a左侧 以及x轴围成图形的面积，如图（2）.随机变量在（a, +8）上取值的概率是正态曲线在 x=a右侧以及x轴围成图形的面积，如图（3） . /1.： <- 根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解.2、正态分布在三个特殊区间的概率值：,i 11-I I 1' I./,y. I I 'it I 1P（R。

7、<X WN +订）=0.683 ;»": I If .rif- I %、 r11P（R2。<X < N+2。）=0.954 ;P（R3仃 <X E N+3仃）=0.997。上述结果可用下图表示：要点诠释：若随机变量X服从正态分布N（N,。2）,则X落在（N-3。卅+30）内的概率约为0.997,落在（N 35N +3。）之外的概率约为0.003, 一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中， 小概率事件几乎不可能发生。一般的，服从于正态分布N伍尸2）的随机变量X通常只取 /-出+2）之间的值，简 、二二彳称为3仃原则。3、求正态分布在给定区间上的概率

8、方法（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与 x轴之间面积为1。正态曲线关于直线x=N对称，与x = N对称的区间上的概率相等。例如 P（X < N 仃）=P（X A N +仃）； P（X <a） =1 -P（X 之a）；若b匕则 P（X<b） = 1 - P（ j；X<-叽（2）利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率: P( N 仃 <X <k +ci) =0.6826 ; P(N2仃 <X mN 十2仃)=0.9544 ; P(N_30 <X <k +3ci) =0.9974 。【典型例题】类型一、正态分布的概率密度函数 例1.下列

9、函数是正态密度函数的是(1 安A. p(x)=-e 2c2 N,仃(仃 >0)都是实数.,.2二：外 X1_(xJ)21 x2B. p(x)=2Le>C. p(x)=_e'D. P(x)=_eT2二2 2二2 二【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断. 一【解析】 正态密度函数为：P(x)=r一：一e' ,、；2 二二.I1其中指数部分的仃应与系数的分母处的仃保持一致，系数为正数且指数为负数.选项A有两处错误，分别是 反 D错为际7 ,指数错为正数.选项C,从系数可得仃=2,而从指数处可得仃=也，显然不符.选项D中指数为正，错误.所以正确答案为 B.1_(

10、x 22【总结升华】注意函数P(x)= e 2c2的形式特点是解题的关键.2二二举一反三:21_(x40)2【变式1】设一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)=e8一的图象，则这个正态2、2 二总体的均值与方差分别是()A. 10 与 8 B. 10 与 4C. 8 与 10 D. 2 与 10【答案】在该正态分布中，N=10,仃=2,则E(X)=10, D(X)=a2=4,故选B【变式2】.给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值小和标准差(T，一、1(1 ) f (x) e2x22 ,x (-二，二)-1(2 ) f (x) ： e22二(x4)28 ,x (-二，二)2_2(x

11、 1)2,、(3 ) f (x) = e , x (-二，二) ,2二【答案】(1) 0,1(2) 1 , 2(3) -1 , 0.5【变式3】正态总体为N =0,仃=1概率密度函数f(x)是A.奇函数 B.偶函数 C非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数1 七【答案】Bo因为f(x)=e-2所以选Bo2 二【变式4】一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别 如下(单位：mm) : 10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产 零件的尺寸X服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式.【答案】求

12、正态分布的概率密度函数式，只要求出参数 N和仃即可，而N即样本均值，仃即样本标准差.1依题意得 N =M(10.2+10.1+10 + 9.8+9.9+10.3+9.7+10 + 9.9+10.1) = 10 , 10夫 10.B21阴(3.27货 0)2(101 042(9.9M0)3(10.1 1 0 ) 0 . 01050(x。)2即N=10, a2 =0.03 ,所以X的概率密度函数为中(x)=J°e一-,6 二类型二、正态曲线例2.如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析 式，求出总体随机变量的期望和方差.【思路点拨】由正态曲线的图像可知，该

13、曲线的对称轴为x=20 ,最大值为一餐,因止匕,2.二1111 =20 由一方= 可求得。的值.2 v 二 .2 二：【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线对称，最大值是，所以11 =20由 t=尸,解得2 = J2 . 2二： 2；二1于是概率密度函数的解析式是P(x)= 一尸e2 :2(x-20)24 , xC期望是 尸20方差是仃2 =(扬2 =2x=20 备5 101S2025303540J+00) .总体随机变量的【总结升华】 利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴x=% 一是最值一L.这两点确定以后，相应参数纵 R、。便确定了，代入P （x）

14、中 .2二二便可求出相应的解析式.举一反三：【变式11 关于正态密度曲线性质的叙述：曲线关于直线x=N对称，整条曲线在x轴上方；曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;曲线在x=N时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的对称位置由N确定，曲线的形状由。确定，仃越大曲线越 矮胖”，反之，曲线越高瘦”.其中叙述正确的有（）.I I I I I I IA.B. C D.【答案】B7 3/ I根据曲线关于直线x=N对称，只有当N=0时函数才是偶函数，故错.利用排除法选B.【变式2】如图，两个正态分布曲线图：1为平用（x） , 2为中（4。，则 3 %,。1 仃2 （填大于，小于）【

15、答案】<,>o解析：由正/密应M线图象的特征知。【变式3】如图是三个正态分布 XN （0, 0.25） , YN （0, 1） , ZN （0, 4）的密度曲线，则三个随机变量X, Y, Z对应曲线分别是图中的 、 【答案】。【变式4】已知正态总体落在区间（0.2,收）的概率是0. 5,那么相应的正态曲线在x=时达到最高点。【答案】0.2。由于正态曲线关于直线x = N对称，由题意知N = 0.2类型三、正态分布的计算例3.已知随机变量己服从正态分布N（2,岸），P（注今0.84,则P（口 0）=（）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84【思路点拨】可画出正态曲线

16、，利用正态曲线的对称性解决。【解析】V P（仅4尸0.84,尸2,.P（口0AP（笋4）= 1 0.84 = 0.16,故选 A.【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用 举一反三：【变式1】(1) X1N(0,1), N和仃的值各是多少？ (2) X|_|N(_1,9), N和。的值各是多少？【答案】(1)比照 X|_N(巴。2)(仃 >0) , X|_|N(0,1)时，=0,仃=1。(2)比照 X L N(N,。2)(仃 >0) , X N(9 时，=-12 = 9 ,所以 N = 1 , a =3 I S*" I【变式2】在某次测量中，

17、测量结果服从正态分布N(1<r2)(a>0),若七在(0, 1)内取值的概率为0.4,则之在(0, 2)内取值的概率为【答案】0.8 J-AI I I ,| I | ' I ；U服从正态分布N(1,。2),.'J：.在(0, 1)与(1, 2)内取值的概率相同，均为0.4。匕在(0, 2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8。【变式3】设随机变量XN (0, 1), , " .- - -.J(1) P(-a<X<0)=P(0<X<a)(a>0);(2) P(X<0)=0.5;(3)已知 P(|X < 1)=0.68

18、26 ,则 P(X< 1)=0.1587 ;(4)已知 P(|X| <2)=0.9544 ,贝U P(X<2)=0.9772 ;(5)已知 P(|X <3)=0.9974 ,则 P(X> 3)=0.9987。其中正确的有()A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】D;均正确，充分利用正态曲线的对称性及其意义。例4.设己N (1 , 22),试求：(1) P (-K S3;(2) P (3< 七 05;(3) P (5.【思路点拨】要求随机变量己在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进行转化求值.【解析】N (1

19、, 22) , ； N=1,。=2,(1) P ( 1< 己 03=P (12< 己 < 1+ 2=P ( N仃 < 己超+仃)=0.683.(2) v P (3< S5=P ( 3< 1),.P (3< E 言1=5 X (0.9540.683) % 0.136.(3) ; P (己分5=P ( E <3),1 1 P( _)= 1-P(3： M5 = 1-P(1-4 ：二 <1 4)2 21 .1=_1 _P(R _2仃+2。) =(10.954) =0.023 .2 2【总结升华】 在求随机变量己在某一范围内的概率时，可以首先把随机变

20、量 己的取值转化到 区间(N仃*+仃)、(口2。，口+2仃)以及(口3仃尸+3仃)，然后利用在(N仃十仃)上的概率约为0.683,在(N-2q,N+2。)上的概率约为0.954,在(N-2仃,N+2仃)上的概率约为0.997. 举一反三：【变式 1】X 口 N (2,25),求 P(13 <X <17)。【答案】X|_|N(2,25)时，N=2,仃=5,3仃=13,卜+3仃=17,>11 i1:.|I、" P( -13 :二 X £17) =0.9974r jJ产, / Jt fX. I【变式2】若“N (5, 1),求P (5<刀<7).【答

21、案】:"N (5, 1),正态分布密度函数的两个参数为=5, = =1,二,该正态密度曲线关于x=5对称.1 1P(5 ：二二 7) = 2 p(3 ：: 7) - : 0.954 = 0.477【变式3】设XU N(0,1)。(1)求 P(1< X 01) (2)求 P(0< X <2>【答案】 %、 r- i(1) XN(0,1)时，N仃=1, N+<r=1,P(-1 <X <1) 0.6826 o(2) R-2。= -2, +2。=2 ,正态曲线中0/(x)关于直线x=0对称， 11. P(0 <X <2) =：P(-2&l

22、t;X <2)寸 0.9544= 0.4772。类型四、正态分布的应用例5.某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N (70, 102),如果规定低于60分为不及格，那么(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在8090分内的学生占多少？【思路点拨】本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律.因为正态密度曲线关于直线 x=p对称，故本题可利用对称性及特殊值求解.【解析】(1)设学生的得分情况为随机变量X,则 XN (70, 102),其中 N=70,仃=10.成绩在6080分之间的学生人数的概率为P (70-10<X<70+10) =0.683,1.不

23、及格的人数占x (1 0.683) =0.1585.2(2) P (70 20<X< 70+20) =0.954,丁成绩在8090分内的学生占1-P (50<X<90) - P (60<X<80) =0.1355 .【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用及正态变 量在三个特殊区间的概率取值规律.举一反三：、 一'"" II " ' x”I I1【变式11工厂制造的某机械零件尺寸 X服从正态分布N(4,1),问在一次正常的试验中，取91 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？11【答案】XN(4, ), 呼4, (y=.不属于区间(3,5)的概率为P(X< 3>P(X> 陟 1 P(3<X<5)=1 P(4 1<X<4 +