中考数学培优含解析之圆的综合含详细答案

1、中考数学培优（含解析）之圆的综合含详细答案一、圆的综合1.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AB=CD.（1）如图（1）,求证:AD/BC;（2）如图（2），点F是AC的中点，弦DG/AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;在（2）的条件下，若DG平分/ADC,GE=5/3,tan/ADF=4j3，求。O的半径。凰【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）JT29【解析】试题分析：（1）连接AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.（2）延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE,DN=BE.由圆内接四边

2、形的性质得到ZNDC=ZB,即可证明MBEACND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.（3）连接BG,过点A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形，ABGE是等边三角形，通过解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的长，由EC=DE=AB,得到HC的长.在RtAHC中，由勾股定理求出AC的长.作直径AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析：解：（1）连接AC.AB=CD,弧AB视CD,z.ZDAC=ZACB,.AD/BC.(2)延长AD至ijN,使DN=AD,连接NC.AD/BC,DG/

3、AB,一.四边形ABED是平行四边形，AD=BE,.1.DN=BE,ABCD是圆内接四边形，/NDC=/B./AB=CD,1.MBE0小ND,AE=CN./DN=AD,AF=FC,，DF=CN,，AE=2DF.MIN(3)连接BG,过点A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，AB=DE.DF/CN,，/ADF=/ANC,./AEB=/ADF,，tan/AEB=tanZADF=4>/3,DG平分/ADC,./ADG=/CDG.AD/BC,/ADG=/CED,ZNDC=ZDCE./ABO/NDC,./ABC=/DCE.AB/DG,./ABC=/DEC,/DEC

4、=ZECD=ZEDC,工DE是等边三角形，.AB=DE=CE-/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；.ABGE是等边三角形，BE=GE=573.tanZAEB=tan/ADF=4J3,设HE=x，贝UAH=473x.ZABE=ZDEC=60°,，/BAH=30°,.BH=4x,AB=8x,-4x+x=5>/3,解得：x=73.AB=8T3,HB=4T3,AH=12,EC=DE=AB=8V3,.HC=HE+EC=>/3873=973.在RtAAHC中,ac=Jah2hc2"122(9拘2=3而.作直径AP,连接CP,/ACF=90°,

5、/P=ZABC=60°,sin/P=-AC,APA。上廿2.谢sin60,3oo的半径是VT29.2.如图，已知AB是。O的直径，点C,D在。O上，BC=6cm,AC=8cm,ZBAD=45°.点E在。0外，做直线AE,且/EAC=ZD.(1)求证：直线AE是。的切线.(2)求图中阴影部分的面积.B【答案】见解析；(2).4【解析】分析：(1)根据圆周角定理及推论证得ZBAE=90,即可得到AE是。的切线;(2)连接0D,用扇形ODA的面积减去AAOD的面积即可.详解：证明：(1);AB是的直径，ZACB=90,即ZBAC+ZABC=90,ZEAC土ADC,ZADC=ZAB

6、C,ZEAC之ABCZBAC+ZEAC=90,°即ZBAE=90直线AE是。O的切线；(2)连接ODBC=6AC=8ABVe28210.OA=5又;OD=OAZADO=ZBAD=45ZAOD=90°'''与影=S扇形ODASAOD90-1=55-55360225502（cm）4B点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用3.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(xi,yi),点N的坐标为(X2,y2),且xiW2,yiW2,以MN为边构造

7、菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的坐标菱形(1)已知点A(2,0),B(0,2痴)，则以AB为边的坐标菱形”的最小内角(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上，以CD为边的坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；(3)。的半径为J2,点P的坐标为(3,m).若在。上存在一点Q,使得以QP为边的坐标菱形”为正方形，求m的取值范围【答案】(1)60°(2)y=x+1或y=x+3;(3)1WmC或-5<1分析：(1)根据定义建立以AB为边的坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4,可得30度角，从而得最小内角为60°；(2)先确定直线CD与直线y=

8、5的夹角是45°,得D(4,5)或(-2,5),易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标；先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4,同理可得结论.详解：(1)二.点A(2,0),B(0,2，3),，OA=2,OB=2j3.在RtAOB中，由勾股定理得：AB=亚一(2而2=4,ABO=30°.四边形ABCD是菱形，ZABC=2ZABO=60°.,AB/CD,ZDCB=180

9、-60°=120.以AB为边的坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为：60°(2)如图2.以CD为边的坐标菱形”为正方形，直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CHDE于E,，D(4,5)或(-2,5),，直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3.OO的半径为J2,且OQ'D是等腰直角三角形，OD=J2OQ'=2,P'D=3-2=1.aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1,.P(0,1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5.AABP是等

10、腰直角三角形，PB=5,P(0,5),当1前W5时，以QP为边的坐标菱形”为正方形；先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4.一。0的半径为J2,且OQ'D是等腰直角三角形，1-OD=72OQ'=2,BD=3-2=1.4口口3是等腰直角三角形，,.P'B=BD=1,P'(0,-1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5.AABP是等腰直角三角形，PB=5,P(0,-5),当-5前W-1时，以QP为边的坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1前w5或-5前w-1.卸点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点

11、P,Q的坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目.4.已知：AB是。0直径，C是。0外一点，连接BC交。0于点D,BD=CD连接AD、AC.(1)如图1,求证：/BAD=/CAD(2)如图2,过点C作CHAB于点F交。0于点E延长CF交。0于点G.过点作EHLAG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下，EH交AD于点L,若0K=1,AC=CGJ：线段AL的长.12【答案】(1)见解析(2)见解析(3)105得到/ADB=90°,再证明AB44ACD即/GAB=/BE

12、G.再证KFEBFE,得到【解析】试题分析：(1)由直径所对的圆周角等于90。,可得到结论；(2)连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到BF=KF=BK.由OF=OB-BF,AK=ABBK,即可得到结论.(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/GAB=.先证CM垂直平分AG,得到AM=GM,ZAG(+ZGCM=90°,再证/GAF=/GCM=.通过证明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG,再证明/BGC=/MCG=.设BF=KF=a,可得GF=2a,AF=4a.2由OK=1,得至ijOF=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得至U3a+2=4a,解出a的

13、值，得至UAF,八一,HK1AB,GF,FC的值.由tana=tsdHAK=AK=6,可以求出AH的长.再由AH21一E,tanGAFtanBAD-tanBADtanBCF一,利用公式tanZGAD=,得至U31tanGAFtanBADZGAD=45；则AL=72AH,即可得到结论.试题解析：解：(1).AB为。的直径，ZADB=90°,ZADC=90°.BD=CD,/BDA=ZCD/AD=AD,AABDAACD,/BAD=ZCAD.(2)连接BE.BG=BG,./GAB=/BEG.-.CF±AB,./KFE=90： .EHXAG,ZAHE=ZKFE=90；/AK

14、H=/EKF,ZHAK=ZKEF=ZBEF. .FE=FE,ZKFE=ZBFE=90；.-.KFEABF.BF=KF=yBK. OF=OB-BF,AK=AB-BK,AK=2OF.(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/GAB=.AC=CG,点C在AG的垂直平分线上.1OA=OG,点O在AG的垂直平分线上,.CM垂直平分AG,.-.AM=GM,/AGG/GCM=90：.AFXCG,ZAGC+/GAF=90/GAF=/GCM=.AB为。的直径，ZAGB=90,°/AGB=/CMG=90:.AB=AC=CG,AAGBACMG,1分BG=GM=-AG.2在RtAGB中，tanGABt

15、anGB1AG2/AMC=ZAGB=90BG/CM,/BGC=ZMCG=设BF=KF=a,tanBGFtanBFGF1广GF-,GF=2a,tanGAFtan2AFAF=4a.1 .OK=1,OF=a+1,AK=2OF=2(a+1),AF=AK+KF=a+2(a+1)=3a+2,，3a+2=4a,2 .a=2,AK=6,.,.AF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4,FC=CG-GF=6.(2m)2=6,解得:HK1tan=taniHAK=,设KH=m,贝UAH=2m,，AK=jmAH2m="5,.AH=2m=125,在RBFC中,55BF1一一。_。tanBCF-./

16、BAD+/ABD=90,/FBG/BCF=90,./BCF=/BAD,FC3tanBADtanBCFtanGAFtanBAD1tanGAFtanBAD1111123/GAD=45；HL=AH,心贬AH=12°.55.如图，正三角形ABC内接于。O,P是BC上的一点，且PB<PC,PA交BC于E,点F是PC延长线上的点，CF=PBAB=A,PA=4.(1)求证：ABPACF；(2)求证：AC2=PA?AE;(3)求PB和PC的长.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)PB=1,PC=3.【解析】试题分析：(1)先根据等边三角形的性质得到AB=AC,再利用圆的内接四边形

17、的性质得/ACF之ABP,于是可根据“SA争J断ABPACF；(2)先根据等边三角形的性质得到/ABC=/ACB=60,再根据圆周角定理得/APC=/ABB=60力口上/CAE=ZPAC于是可判断AC&4APC,然后利用相似比即可得到结论；133(3)先利用AC2=PA?AE计算出AE=,则PE=AP-AE=,再证4APF为等边三角形，得44至IPF=PA=4贝U有PC+PB=4接着证明AABPACEF得至UPB?PC=PE?A=3然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长.试题解析：(1) ./ACP+/ABP=180

18、,又/ACP+ZACF=180,/ABP=ZACF在ABP和ACF中， .AB=AC,/ABP=/ACF,CFPB ABP9ACF.(2)在AEC和ACP中， ZAPC=ZABC,而ABC是等边三角形，故/ACB=/ABC=60q /ACE土APC.又/CAE之PAC, AECsacp丝空，即AC2PAAE.APAC由(1)知ABPACF,，/BAP=/CAF,CFPBZBAP+/PAC=ZCAF+ZPAC /PAF土BAC=60,°又ZAPC=/ABC=60:APF是等边三角形.AP=PF PBPCPCCFPFPA4在PAB与CEP中， /BAP=ZECP,又/APB=ZEPC=6

19、0,PABsCEPPBPA，即PBPCPAPEPEPC由(2)AC2PAAE,_2_2ACPBPCPAAEPAPEPAAEPEPA_2_2ACPBPCPAAEPAPEPAAEPEPA一2.PBPCPA2AC2PA2AB242,133因此PB和PC的长是方程x24x30的解.解这个方程，得x1,x23.-PB<PB,PB=Xi1,PC=X23,PB和PC的长分别是1和3。【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等边三角形的判定与性质；会利用相似三角形证明等积式；会运用根与系数的关系构造一元二次方程。6.如图1,四边形ABCD为。内接四边形，连接ACCO、BO,

20、点C为弧BD的中点.(1)求证：/DAC=ZACO+-ZABO;(2)如图2,点E在OC上，连接EB,延长CO交AB于点F,若/DAB=/OBA+/EBA求证：EF=EB(3)在(2)的条件下，如图3,若OE+EB=ABCE=2AB=13,求AD的长.盅2圄3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)AD=7.【解析】试题分析：(1)如图1中，连接OA,只要证明/CAB=/1+/2=/ACO+/ABO,由点C是?D中点，推出CDCB,推出/BAC=/DAC,即可推出/DAC=/ACO+ZABO;(2)想办法证明/EFB±EBF即可；(3)如图3中，过点。作OH,AB,垂足为H

21、,延长BE交HO的延长线于G,作BNXCF于N,作ChAD于K,连接OA/CT/LAB于T.首先证明4EFB是等边三角形，再证明AC右ACT,RtADK(BTC,延长即可解决问题;试题解析：(1)如图1中，连接OA,-.OA=OC,Z1=ZACO,.OA=OB,.1.Z2=ZABO,uuur»juuin丁点C是bd中点，CD/CAB=Z1+/2=/ACO+ZABO,uuuCB，-1/BAC=ZDAC,/DAC=ZACO+ZABO.即(2)如图2中， /BAD=ZBAC+ZDAC=2/CAB,/COB=2/BAC,./BAD=ZBOC, /DAB=ZOBA+ZEBA,./BOC=ZOB

22、A+ZEBA,/EFB=ZEBF,EF=EB(3)如图3中，过点O作OHUAB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于G,作BNXCF于N,作CKLAD于K,连接OA.CCCT/LAB于T.图3 /EBA+ZG=90；/CFB+ZHOF=90,° /EFB=ZEBF,/G=ZHOF, /HOF=ZEOG,/G=ZEOG,.EG=EQ .OHXAB,AB=2HB, .OE+EB=ABGE+EB=2HB，GB=2HB,HB1cos/GBA=-,ZGBA=60,GB2.EFB是等边三角形，设HF=q /FOH=30,°OF=2FH=2a13 .AB=13,EF=EB=FB=FH+BH

23、=aJ,17a,22，OE=EF-OF=FB-OF=13-a,OB=OC=OE+EC=3-a+2=1a+g=13 .NE=1EF=1a+13,224 .ON=OE=EN=(13-a)2 .BO2-on2=eb2-en2,17、2(a)22133-a)213、(a+)2解得a=3或-10（舍弃）2.OE=5,EB=8,OB=7,AC=AG.AC偿ACT,CK=CTAK=AT, /K=ZATC=90,°/KAC=ZTACuuruuu_.CDCB，DC=BCRtADKGRtABTC；.DK=BT,.,FT=1FC=5,DK=TB=FB-FT=3,AK=AT=AB-TB=10,AD=AK-D

24、K=10-3=7.27.如图，DABCD勺边AD是ABC外接圆。的切线，切点为A,连接AO并延长交BC于点E,交。O于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点P,且/BCP=/ACD.（1）求证：PC是。的切线；（2）若/B=67.5°,BC=2,求线段PC,PF与弧CF所围成的阴影部分的面积S.【答案】（1）见解析；（2）14【解析】【分析】（1）过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得ZM+ZBCM=90°,再根据AB/DC可得/ACD=/BAC,由圆周角定理可得/BAC=/M,/BCP=/ACD,从而可推导得出/PCM=90°,根据切线的判定即可得；

25、（2）连接OB,由AD是。的切线，可得/PAD=90°,再由BC/AD,可得APIBC,从而得BE=CE=1BC=1,继而可得到/ABC=/ACB=67.5;从而得到ZBAC=45°,由圆周2角定理可得ZBOC=90,从而可得/BOE=/CO曰/OC45°,根据已知条件可推导得出OE=CE=1,PC=OC=JOE2CE2亚，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,.CM为直径，/MBC=90;即/M+/BCM=90°, 四边形ABCD是平行四边形， AB/DCAD/BQ/ACD=/BAC, /BAC=Z

26、M,/BCP=/ACD,ZM=ZBCP, /BCP匕BCM=90；即/PCM=90°,CMXPC,.PC与。O相切；(2)连接OB,.AD是。的切线，切点为A,OAXAD,即/PAD=90；,/11.BC/AD,/AEB=/PAD=90,/.APIBC.BE=CE=-BC=1,2AB=AC,/ABC=/ACB=67.5,°/BAC=180ABC-/ACB=45°,/BOC=2/BAC=90°,-.OB=OC,APXBC,ZBOE=ZCOE=ZOCE=45,°/PCM=90；/CPO=/COE=/OCE=45,oe=ce=1,pc=oc=Joe2

27、ce242,【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键Tt8.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0）,如图2,把这个量角器与一块30。（/CAB=30。）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2。的速度旋转到与CB,在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是,此时4BCE的形状是;(2)设旋转x秒后，点E处的读数为y,求y与x的函数关系式；(3)当CP旋转

28、多少秒时，4BCE是等腰三角形？【答案】(1)60°,直角三角形；(2)y=4x(0<x<45;(3)7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题；(2)如图2-2中，由题意/ACE=2x,ZAOE=y,根据圆周角定理可知/AOE=2/ACE可得y=2x(0»W45;(3)分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1)如图2-1中，/*二*“，审闺 ./ACB=90；OA=OB, .OA=OB=OC,/OCA=/OAC=30°,/AOE=60; 点E处的读数是60: /E=/BAC=30:OE=OB,/OBE=ZE=30；/EBC=

29、/OBE+ZABC=90°, .EBC是直角三角形；故答案为60。，直角三角形；(2)如图2-2中， ./ACE=2x,ZAOE=y, /AOE=2/ACE, .y=4x(0虫w45.(3)如图2-3中，当EB=EC时，EO垂直平分线段BC, .AC±BC, .EO/AC,/AOE=ZBAC=30;1。/ECA=ZAOE=15:2 .x=7.5.若24中，当BE=BC时,易知/BEC=/BAC=/BCE=30°,/OBE=/OBC=60；.OE=OB,.OBE是等边三角形，/BOE=60;/AOB=120；-1/ACE=-ZACB=60,x=30,综上所述，当CP

30、旋转7.5秒或30秒时，4BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.9.如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知/CAD=/B.(1)求证：AD是。的切线；(2)若CD=2,AC=4,BD=6,【解析】3.52(1)解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出求。的半径.ODXAD，从而证明AD为圆。的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详

31、解】(1)证明：连接OD,.OB=OD,Z3=ZB,ZB=Z1,Z1=Z3,在RtACD中，/1+/2=90°,/4=180-(Z2+Z3)=90°,ODXAD,则AD为圆O的切线；(2)过点O作OF,BC,垂足为F,1.DF=BF=-BD=32 .AC=4,CA2,/ACA90° AD=Jac2CD2=2近 /CAD=/B,/OFB=/AC490.,.BFOAACDbf=obAC-AD3OB即一=42*5.八3,5 OB=2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键AC=4,过点C作。的切线1,

32、过点B10.如图，。的直径AB=8,C为圆周上一点，作l的垂线BD,垂足为D,BD与。交于点E.(1)求/AEC的度数；(2)求证：四边形OBEC是菱形.【答案】(1)30。；(2)详见解析【解析】【分析】(1)易得4AOC是等边三角形，则ZAOC=60°,根据圆周角定理得到/AEC=30°(2)根据切线的性质得到OC，1,则有OC/BD,再根据直径所对的圆周角为直角得到/AEB=90°,则/EAB=30°,可证得AB/CE,得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC,即可判断四边形OBEC是菱形.【详解】(1)解：在4AOC中，AC=4,1 .AO

33、=OC=4,.AOC是等边三角形，/AOC=60；/AEC=30;(2)证明：OCX1,BD±1.2 .OC/BD./ABD=/AOC=60:.AB为。的直径，/AEB=90；AEB为直角三角形，/EAB=30:/EAB=/AEC.CE/OB,又CO/EB四边形OBEC为平行四边形.又.OB=OC=4.四边形OBEC是菱形.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法.，一.3如图，4ABC中，AC=BC=10,cosC=，点P是AC边上一动点(不与点A、C重合)，5以PA长为半径的OP与边AB的另一个交点为D,过点D作DE，

34、CB于点E.(1)当。P与边BC相切时，求OP的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下，当以PE长为直径的OQ与。P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长40【答案】(1)R；(2)y9【解析】【分析】5xVx8x80;(3)503x20105.(1)设。P与边BC相切的切点为3一H,圆的半径为R,连接HP,则HP±BC,cosC=-,则54 一HPR4rsinC=,sinC=,即可求解;5 CP10R5EBBF4首先证明PD/BE,则EB匕，即：PDPF一(3)证明四边形PDBE

35、为平行四边形，则AG=E25xJx28x80y,即可求解;xyP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,贝UHP±BC,cosC=w4则sinC=,535HPsinC=CP10R5R40R=9(2)在ABC中，AC=BC=10,c3cosC=一5设AP=PD=x,/A=/ABC=3,过点B作BHI±AC,则BH=ACsinO8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=45贝U:tanZCAB=2,BP=j82+(x4)2=Jx28x80，DA=x,则BD=45x,55如下图所示，PA=PD,/

36、PAD=/CAB=/CBA=3,tan3=2,则cos3=%,sin3=j5,EB=BDcos3=(475-2.5、x)5.PD/BE,EBPD2x5x整理得:5xy=Jx28x80;(3)以3x20EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦， 点Q是弧GD的中点， DGXEP,.AG是圆P的直径，/GDA=90°, .EP/BD,由（2）知，PD/BC,四边形PDBE为平行四边形,.AG=EP=BD, .AB=DB+AD=AG+AD=4遥,设圆的半径为r,在4ADG中，AD=2rcos寻,DG=-j=

37、,AG=2r,2r20飞+叱4而，解得：2r=,4r则：DG=需=50-10收，相交所得的公共弦的长为50-1055.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.12.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AC为直径，？DAD，DE±BC,垂足为E.(1)判断直线ED与。O的位置关系，并说明理由;(2)若CE=1,AC=4,求阴影部分的面积.2-【答案】(1)ED与eO相切理由见解析；(2)S阴影二一73.3(1)连结OD,如图，根据圆周角定理，由？DAD得到/BAD=/ACD,

38、再根据圆内接四边形的性质得/DCE=ZBAD,所以/ACD=/DCE；利用内错角相等证明OD/BC,而DE±BC,则OD,DE,于是根据切线的判定定理可得DE为。的切线；(2)作OH±BC于H,易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2,则CH=HE-CE=1,于有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形ocd-Saocd进行计算即可.【详解】(1)直线ED与。0相切.理由如下：连结0D,如图，?DAd，1/BAD=/ACD. /DC-BAD,/ACD=ZDCE. .OC=OD,./OCD=/ODC,而/O

39、CD=/DCE/DCE=ZODC,.OD/BC. .DEXBC,ODXDE,.DE为。的切线；(2)作OHBC于H,则四边形ODEH为矩形，OD=EH.,.CE=1,AC=4,OC=OD=2,.C+HECE=2-1=1,在R匕OHC中，,.00=2,CH=1,/OHC=90；6022360/HOC=30；/COD=60；，阴影部分的面积=S扇形ocd-Saocd,3”2?224PE【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.也考查了扇形面积的计算.13.已知：如图，四边形AB

40、CD为菱形，4ABD的外接圆。与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断。与BC的位置关系，并说明理由;(2)若CE=2求。的半径r.D【答案】(1)相切，理由见解析；(2)2.【解析】试题分析：(1)根据切线的性质，可得/ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC的关系，根据SSS可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得/OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；(2)根据等腰三角形的性质，可得/ACD=/CAD,根据三角形外角的性质，/COD=/OAD+/AOD,根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案.(1)。与BC相切，理由如下连接OD、OB,如图所示：。0

41、与CD相切于点D, ODXCD,/ODC=90： 四边形ABCD为菱形， .AC垂直平分BD,AD=CD=CB .ABD的外接圆。的圆心O在AC上， .OD=OB,OC=OCCB=CD,.,.OBCAODC./OBC=ZODC=90；又二OB为半径，OO与BC相切；(2) AD=CD,/ACD=ZCAD. .AO=OD,/OAD=ZODA. /COD=ZOAD+ZAOD,/COD=2/CAD./COD=2ZACD又/COD+/ACD=90,/ACD=30.° .OD=OC,2即r=(r+2).2r=2.【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性

42、质.14.我们知道，如图1,AB是。O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF±AB于点E,易得点E是AB的中点，即AE=EB.OO上一点C(AC>BC),则折线ACB称为。O的一条折弦”.(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF±AC于点E,求证：点E是折弦ACB'的中点，即AE=EC+CB(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、ECCB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明.(3)如图4,已知RtAABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,RtABC的外

43、接圆。的半径为2,过。O上一点P作PH,AC于点H,交AB于点M,当/PAB=45°时，求AH的长.图1图2C图3及4【答案】(1)见解析；(2)结论AE=EC+C环成立，新结论为：C曰BC+AE见解析；(3) AH的长为出T或邪+1.【解析】【分析】(1)在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,证明FA84FBC,根据全等三角形的性质得到FG=FC,根据等腰三角形的性质得到EG=EC,即可证明.(2)在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,证明FC84FCB,根据全等三角形的性质得到FG=FB,得到FA=FG,根据等腰三角形的性质得到AE=GE,即可证明.(3)分

44、点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.【详解】解：(1)如图2,在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,丁点F是AFB的中点，FA=FB,在4FAG和4FBC中，FAFBFAGFBCAGBC,.FA®FBC(SA§,FG=FC,/FEIAC,EG=EC,，AE=AG+EG=BC+CE(2)结论AE=EC+C必成立，新结论为：CE=BC+A耳理由：如图3,在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,丁点f是即8的中点，1FA=FB,PaRb，ZFCG=ZFCBCGCB在AFCG和AFCB中，FCGFCBFCFC,.-.FC(AFCB(SA5,FG=

45、FB,FA=FG,FE±AC,.AE=GE,.CE=CG+G2BC+AE(3)在RtABC中，AB=2OA=4,ZBAC=30,BC-AB2,AC273,2当点P在弦AB上方时，如图4,在CA上截取CG=CB,连接PAPB,PG, /ACB=90； .AB为。的直径，/APB=90； /PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,/PCG=/PCB,CGCB在APCG和APCB中，PCGPCBPCPC,.,.PCGAPCB(SAS,PG=PB,PA=PG, .PHXAC,.AH=GH,AC=AH+GH+CG=2AH+BC,232AH2,AH61,当点P在弦AB下方时，如图5,在AC上截取AG=BC,连接PA,PB,PC,PG/ACB=90；.AB为。的直径，/APB=90；/PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,在PAG和PBC中，AGBCPAGPBCPAPB,.PAGAPBC(SAS,PG=PC, .PHXAC, .CH=GH,AC=AG+GH+CH=BC+2CH2杂22CH, CH.31,