中考数学二诊试卷含解析5

1、四川省南充市2016年中考数学二诊试卷、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.之相反数是（A.C.-2D.2.下列计算正确的是（）A.x2+x4=x6B.x3+x2=xC.(X2)3=x5D.(2x2)3=2x63.如图中几何体的主视图是（4 .要使代数式“2一3"有意义，则x的（）2233A.最大值是.B.最小值是.C.最大值是,D.最小值是一5 .如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）n_F*A.y=x+2B.y=x2+2C.y=D.y=(a+1)x+(a-1)的图象不过6 .若一元二次方

2、程x2-2x-a=0没有实数根，则一次函数A.一象限B.二象限C.三象限D.四象限7 .如图，平行四边形ABCD43,EF/BCAE:EB=2:3,EF=4,则AD的长为(8 .一个长为4cm,宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A-Ai一A2,其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（）BC72345A.万冗cnB丁兀C11C守冗c11D.彳冗cn9 .如图，在平面直角坐标系中，O。的半径是1,直线AB与x轴交于点P（x,0）,且与x轴正方向夹角为45°,若AB与。有公共点，则x值的范

3、围是（）A.-1<x<1B.一:一；C.':D.o'"710 .如图，正方形ABCD43,P为AB中点，BE,DP交DP延长线于E,连结AE；AF±AE交DP于F,连结BF,CF.下列结论：EF='=AF;AB=FBCF/BE;EF=CF其中正确的结A.1B.2C.3D.4二、填空题：每小题3分，共6小题，满分18分.11 .计算：|1-V|-V12+2sin60°=.12 .已知线段AB=8cm在直线AB上画线段BC,使BC=3cm则线段AC=13 .有一组数据：1,2,3,4,5,则这组数据的方差是14 .如图，有大小两个同

4、心圆，大圆的弦AB与小圆相切，若AB=8,则圆环（阴影部分）的面积是.（不取近似值）15 .如图，矩形纸片ABC曲边AB=3BC=4,点P是BC边上一动点（不与BC重合），现将4ABP沿AP翻折，得到AFP,再在CD边上选择适当的点E,将PCE沿PE翻折，得到PME且直线PF、PM重合，若点F落在矩形纸片的内部，则CE的最大值是1+x1+2316.对于正数X,规定f(x)=,例如f(2)二,f算f(1)+f(2)+f(3)+,+f(2015)+f(L+f+f(J_)+f12015三、解答题：共9小题，满分72分.1-a.217.化简：（a+1）a2-1.18.解不等式组3乂+242（乂+3）2

5、Vly,并写出不等式组的整数解.>32100分）分成19 .某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩（得分为整数，满分四类，并制作了如下的统计图表:类别甲乙丙丁成绩60<mK7070wm<8080<mK9090wm<100频数510ab根据图表信息，回答下列问题:（1）该班共有学生人，表中a=,b=(2)扇形图中，丁类所对应的圆心角是度；(3)已知A同学在丁类中，现从丁类同学中随机抽两名同学参加学校的决赛，请用列举的方法求A同学能够参加决赛的概率.20 .如图，E、F分别是矩形ABCM边ARAB上的点，EF=EC且EF±EC.(1)求证：AE图DC

6、E(2)若DC亚,求BE的长.21 .如图，已知反比例函数yi=7的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,-2)(1)求这两个函数的解析式;(2)观察图象，写出使得y1y2成立的自变量x的取值范围.X1、x2.30元.买两个篮球22.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围;(2)若xx2满足|x1|+|x2|=2|xM-3,求k的值.23 .学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的价格高和三个足球共需510元.(1)求篮球和足球的单价;一一一一,一，2(2)根据需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中

7、篮球的数量不少于足球数量的0用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元，请问有哪几种购买方案？并指出其中费用最低的方案.24 .如图，AB8,/ACB=90,AB=10,c0sB弓G为BC上一点(不与BS),以BG为直径的圆。交AB于D,彳AD的垂直平分线交AD于F,交AC于E,连结DE(1)求证：DE为。的切线；(2)若BG=3求DE的长；(3)设BG=xDE=y,求y与x的函数关系，写出y的最小值.CAF产二E25 .如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0),与y轴交于点C(0,-4).(1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴，顶点坐标；

8、(2)设E时抛物线对称轴上一点，当/BEC=90时，求点E的坐标；(3)若P(m,n)是抛物线上一个动点(其中mt>0,n<0),是否存在这样的点P,使得2016年四川省南充市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 .得相反数是().1rc八1A.-5B.2C.-2D.5【考点】相反数.【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.看的相反数是-卷.44一.“1_1【解答】解：W的相反数是-5故选：A.【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号

9、.一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.2 .下列计算正确的是()A.x2+x4=x6B.x3+x2=xC.(x2)3=x5D.22x2)3=2x6【考点】同底数哥的除法；合并同类项；哥的乘方与积的乘方.【分析】根据合并同类项法则，同底数塞相除，底数不变指数相减；塞的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘对各选项分析判断即可得解.【解答】解：A、x2与x4不是同类项，不能相加，故本选项错误；B>x3-x2=x32=x,故本选项正确；C(x2)3=x2x3=x6,故本选项错误；D(2x2)3=23?x2x3=8x6,故本选项

10、错误.故选B.【点评】本题考查合并同类项、同底数哥的除法、哥的乘方、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.3.如图中几何体的主视图是（)【考点】简单组合体的三视图.【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.【解答】解：如图中几何体的主视图是I.故选：D.【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.4.要使代数式一3"有意义，则x的（）2233A.最大值是.B.最小值是.C.最大值是,D.最小值是,【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.【解答】解：二.代数式

11、V2一%票有意义，_“2-2-3x>0,解得x<飞.故选：A.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键.5.如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）$-1a_7A.y=x+2B.y=x2+2C.y=D.y=【考点】函数自变量的取值范围；在数轴上表示不等式的解集【分析】分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答.【解答】解：A、y=x+2,x为任意实数，故错误;日y=x2+2,x为任意实数，故错误；G'x+2>0,即x>-2,故正确;y=-2,x+2w0,即xw2,故错误;故选：C.【点评】本

12、题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.6.若一元二次方程x2-2x-a=0没有实数根，则一次函数y=(a+1)x+(a-1)的图象不过第()A.一象限B.二象限C.三象限D.四象限【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系.【分析】根据已知方程没有实数根得出<0,求出a的取值范围，再根据一次函数图象与系数的关系得出即可.【解答】解：:一元二次方程x2-2x-a=0没有实数根，2.=(-2)-4X1X

13、(-a)v0,解得：a<-1,a+1v0,a-1<0,，一次函数y=(a+1)x+(a-1)的图象不过第一象限，故选A.【点评】本题考查了根的判别式，一次函数图象与系数的关系的应用，能熟练地掌握知识点的内容是解此题的关键.7.如图，平行四边形ABCD43,EF/BCAE:EB=2:3,EF=4,则AD的长为（）D【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明AEMAB（C再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在？ABCD4AD=BC问题得解.【解答】解：=EF/BC.AEDABC .

14、EF:BC=AEAB, .AE:EB=23,.AE:AB=25, EF=4,4:BC=25,.BC=10,四边形ABCD平行四边形，.AD=BC=10故选C.【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，注意对应边的比不要弄错是解题的关键.8 .一个长为4cm,宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为AfAi一A2,其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（）A.77冗cnb.c.看ncnD.Xns【考点】弧长的计算；旋转的性质.【分析】将点A翻滚到A2位置分

15、成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90。，第二部分是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60。，根据弧长的公式计算即可.【解答】解：二.长方形长为4cm,宽为3cm,AB=5cm第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°,此次点A走过的路径是1802兀（cm）,第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°,此次走过的路径是60冗><44180点A两次共走过的路径是-=耳兀（cm）,彳兀+彳7rhy兀（cm）故选：B.【点评】本题主要考查了弧长公式，注思两段弧长的半径不同，圆心角不同.9 .如图，在平面直角坐标系中，O。的半径是1,

16、直线AB与x轴交于点P（x,0）,且与轴正方向夹角为45°,若AB与。有公共点，则x值的范围是（OBA.-1<x<1B.一,一二C.-D.0二二二【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质.式即可.【分析】作OHLAB于H,如图，则OP=|x|,ZOPH=45,利用等腰直角三角形的性质得|x|,根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以七-|x|<1,然后解绝对值不等【解答】解：作OHLAB于H,如图,.OP=|x|,/OPH=45,cV2.OH冈，.AB与。O有公共点,.OHK1,即堂x|W1,&wxw点.故选B.沁【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设

17、。O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,若直线l和。O相交？dvr;直线l和。O相切？d=r;直线l和。O相离？d>r.解决本题的关键是用P点的横坐标表示点O到直线AB的距离.10.如图，正方形ABCM,P为AB中点，BE,DP交DP延长线于E,连结AE；AF±AE交DP于F,连结BF,CF.下列结论：EF=:AF;AB=FBCF/BE;EF=CF其中正确的结论有（）个.A.1B.2C.3D.4【考点】四边形综合题.【分析】根据已知和正方形的性质推出/EAB=ZDAF，/EBA=/ADPAB=AD证ABEiADF即可；取EF的中点M,连接AM推出AM=MF=EM=D3/AMB

18、=FMBBM=BMAM=MF推出ABMFBMW可；求出/FDC4EBF推出BEFDFC即可.【解答】解：在正方形ABCD43,AB=ADZBAD=90,/DAF吆BAF=90, .AFXAEE, /BAE吆BAF=90, .ZBAE土DAF, .BEXDP, /ABE吆BPE=90,又/ADF4ZAPD=90,/BPE4APD/ABE土ADF,在ABE和ADF中，fZABB=ZADF、AB=AD,ZBAE=ZDAF.AB段ADF(ASA,.AE=AF .AEF是等腰直角三角形，.EF=:AF;故正确； .AE=AFBE=DF，/AEF=/AFE=45,取EF的中点M连接AM .AMLEF,AM

19、=EM=FM .BE/AM .AP=BP.AM=BE=D尸 /EMBhEBM=45,，/AMB=90+45°=135°=/FMB在ABMDFBM中，fAM=FI,NAMB=NFMB,BM二BM .AB阵FBh/l(SAS, .AB=BF故正确； /BAMhBFM ./BEF=90,AM!EF, /BAM廿APM=90,/EBF吆EFB=90,/APF=ZEBF,1.AB/CD /APD4FDC/EBF=ZFDC在BEFADFC中，'施二DF,/EBF=/FDC,BFRC .BEHDFC(SAS, .CF=EF/DFC4FEB=90,故正确；.-.CF±DE

20、P .BEXDP, .CF/BE;故正确.故选D.【点评】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识.注意准确作出辅助线是解此题的关键.二、填空题：每小题3分，共6小题，满分18分.11 .计算：|1-3|-Vl+2sin60°=-1.【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值.【分析】原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.炉FVs【解答】解：原式="T-2,+2Xk=T.【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.12 .已知线段AB=8cmg在

21、直线AB上画线段BC,使BC=3crp则线段AC=11cm或5cm.【考点】两点间的距离.【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解.【解答】解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：当C点在B点右侧时，如图所示： ARCAC=AB+BC=8+3=11cm当C点在B点左侧时，如图所示： ACRAC=AB-BC=8-3=5cm；所以线段AC等于11cm或5cm,故答案为：11cm或5cm.【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键.13 .有一组数据：1,2,3,4,5,则这组数据的方差是2.【考点】方差.【分析】先根据平

22、均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案.【解答】解：由平均数的公式得：(1+2+3+4+5)+5=3,，方差=(13)2+(23)2+(33)2+(43)2+(53)2+5=2.故答案为：2.【点评】本题考查了平均数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的个数.方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.14 .如图，有大小两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切，若AB=8,则圆环(阴影部分)的面积是16兀.(不取近似值)【考点】扇形面积的计算；切线的性质.【分析】设AB于小圆切于点C,连接OCOB利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=兀？。百-兀

23、？oC=tt（oB-oC）,以及勾股定理即可求解.【解答】解：设AB于小圆切于点C,连接OCOB.AB于小圆切于点C,OCLAB,一一11,.BC=AC=AB=qX8=4.;圆环（阴影）的面积=tt?oBTt?oC=Tt（oB-oC）又.直角OBC中，oB=oC+BC2，圆环（阴影）的面积=兀？oB兀?oC=k（oBoC）=兀？BC2=16兀.【点评】本题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线,注意到圆环（阴影）的面积=兀?oB-兀？oC=tt（OB-oC）,利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系.15 .如图，矩形纸片ABC曲边AB=3BC=

24、4,点P是BC边上一动点（不与BC重合），现将4ABP沿AP翻折，得到AFP,再在CD边上选择适当的点E,将PCE沿PE翻折，得到4PME且直线PF、PM重合，若点F落在矩形纸片的内部，则CE的最大值是万【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.【分析】设CE=y,PB=x,由ABWPCE得罂器，由此构建二次函数，利用二次函数JrVHw的性质解决问题.【解答】解：设CE=y,PB=x, /APB土APF,/EPF=ZEPC,2/APF+2ZEPF=180, /APF+/EPF=90°,，/APE=90, /APB吆CPE=90,/CPE吆PEC=90, /APB土PEC/B=ZC=9

25、0,.ABWPCEABPB=PC耽3x4-x,y(x-2)2+?-2_.尸一3(x4x)=-,4.x=2时，y有最大值，最大值为彳.4故答案为三.【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型.k22t1而市节印,116 .对于正数x,规定f（x）=,例如f（2）=,f=q,根据规定，计算f(1)+f(2)+f+f(2015)+f卷+f号邛电+f嘘12014一【考点】规律型：数字的变化类.【分析】根据题意确定出fi4=1,原式结合后，相加即可得到结果.贝U原式=fd)+f(2)+f()+f(3)+f

26、+f(2015)+f23】1人、_!->=17+1+1(2014个1)2015'21=2014,故答案为：2014,【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键.三、解答题：共9小题，满分72分.一g_17 .化简：(a+1)a2-1.【考点】分式的混合运算.【分析】先计算括号内分式的加法，再通过约分计算除法.-a+a+12【解答】解：原式_+言心豆2(a+1)G-1)=?a+12=a-1.【点评】本题主要考查分式的混合运算.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.f3x+2<2(

27、x+3)18 .解不等式组42立一1,并写出不等式组的整数解.3*2【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解.【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再根据x的取值范围找出整数解.【解答】解:3x+2<2(x+3)®生己，解得：x>2,不等式组的解集为：2vxW4.则不等式组的整数解为：3,4.【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.19 .某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩(得分为整数，满分100分)分成四类

28、，并制作了如下的统计图表:类别甲乙丙丁成绩60<mK7070wm<8080<mK9090wm<100频数510ab根据图表信息，回答下列问题:(1)该班共有学生40人，表中a=20,b=5;(2)扇形图中，丁类所对应的圆心角是45度;(3)已知A同学在丁类中，现从丁类同学中随机抽两名同学参加学校的决赛，请用列举的方法求A同学能够参加决赛的概率.【考点】列表法与树状图法；频数(率)分布表；扇形统计图.【分析】(1)用乙类的人数除一它所占的百分比即可得到调查的学生总数，再利用学生总数乘以丙类所占白百分比得到a的值，然后用学生总数分别减去甲乙丙类的人数得到b的值;(2)丁类所

29、对应的圆心角等于丁类的所占的百分比乘以360。；(3)设丁类的5个同学分别用A、RC、口E表示，画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出A同学能够参加决赛的结果数，然后根据概率公式求解.【解答】解：(1)调查的学生总数=10+25%=40(人)，所以a=40X50%=2Qb=40-5-10-20=5;5(2)丁类所对应的圆心角=360°X荀=45°故答案为40,20,5;45°(3)设丁类的5个同学分别用A、RC、D、E表示,画树状图为：ABBCDEACDE共有20种等可能的结果数，其中A同学能够参加决赛的结果数为8,Q2所以A同学能够参加决赛的概率F彳.20

30、5【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m然后根据概率公式求出事件A或B的概率.20.如图，E、F分别是矩形ABCD勺边ARAB上的点，EF=EC且EF±EC.(1)求证：AE图DCE(2)若DC=*耳，求BE的长.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质.【分析】(1)根据矩形的性质和已知条件可证明AE国ADCE(2)由(1)可知AE=DC在RHABE中由勾股定理可求得BE的长.【解答】(1)证明：在矩形ABCD43,/A=ZD=90, ./AFE+/AEF=90, .EFXEC,/FEC=90, /

31、AEF+ZCED=90,/AEF=ZCED在AEFADCE中fZA=ZD,ZAFE=ZCED,EF二EC.AEHDCE(AAS,(2)解：由(1)得AE=DC.AE=DC=Z在矩形ABC邛,AB=CD=&在RAABE中，AB+AEBU,即(加)2+(班)2=bEBE=2.1)中证得三角形全等【点评】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在(是解题的关键，在(2)中注意勾股定理的应用.k21.如图，已知反比例函数y产的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点(m,-2).(1)求这两个函数的解析式;(2)观察图象，写出使得y1y2成立的自变量x的取值范围.【考点

32、】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】(1)把A点代入反比例函数解析式可求得k,再把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m把A、B两点坐标代入一次函数解析式，可求得两函数解析式；(2)结合图象可知当反比例函数图象在一次函数图象的下方时，可求得x取值范围.【解答】解：k(1)A(1,4)在反比例函数y1=的图象上，4反比例函数解析式为y产一，K一，一.-4，;点B(RI-2)在反比例函数yi=的图象上,-2m=4,解得m=-2,，B点坐标为(-2,-2),，一次函数y2=ax+b的图象过点A(1,4)和点B(-2,-2),a+bE2a+b=-2一二b=2，一次函数解析式为y2=2x+2;x的取

33、值范围为-2Vx(2)由图象可知当反比例函数图象在一次函数图象下方时，对应的V0或x>1,，使得yiy2成立的自变量x的取值范围-2<*<0或*>1.【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式是解题的关键.22.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根xi、x2.(1)求k的取值范围；(2)若x1、x2满足|x“+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值.【考点】根与系数的关系；根的判别式.【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可得4=-(2k-3)2-4(k2+1)=4k2-12k+9-

34、4k2-4=-12k+5>0,求出k的取值范围；(2)首先判断出两根均小于0,然后去掉绝对值，进而得到-2k+3=2k2+2-3,结合k的取值范围解方程即可.【解答】解：(1)二.原方程有两个不相等的实数根，.=-(2k-3)2-4(k2+1)=4k2T2k+9-4k2-4=-12k+5>0,5解得：k<*;5(2)=2"3<0,又x1?x2=k2+1>0,.Xi<0,X2<0,|xi|+|x2|=-Xi-X2=-(X1+X2)=-2k+3,-.1|xi|+|x2|=2|x1X2I3,-2k+3=2k2+23,即k2+k-2=0,1. ki=

35、1,k2=2,.k=-2.【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）4=0时，方程有两个相等的实数根；（3）bc<0时，万程没有头数根；（4）Xi+X2=-一；（5）Xi?X2L.aa23.学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的价格高30元.买两个篮球和三个足球共需510元.（1）求篮球和足球的单价；（2）根据需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球的数量不少于足球数量的4,用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元，请问有哪几种购买方案？并指出其中费用最低的方案.【考

36、点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用.【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“一个篮球比一个足球的价格高30元.买两个篮球和三个足球共需510元.”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；2（2）设购买篮球m个，则购买足球（100-m1个，根据“篮球的数量不少于足球数量的耳,用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元.”即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出结论.【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，"v=30根据题意得：尸510,解得：,x=120y=90答：篮球的

37、单价为120元，足球的单价为90元.(2)设购买篮球m个，则购买足球(100-m)个,根据题意得:(100-in)120ip+9Q(100-m)<1030(_130解得：40<m<-,m为整数,m=40,41,42,43.有四种购买方案：方案一：购买篮球40个、足球60个；方案二：购买篮球41个、足球59个；方案三：购买篮球42个、足球58个；方案四：购买篮球43个，足球57个.篮球120元一个，足球90元一个，方案最省钱，即购买篮球40个、足球60个.【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系找出关于x、y的二元一次方

38、程组；(2)根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出方程组(或不等式组)是关键.24.如图，在ABC中，/ACB=90,AB=10,cosB=三，G为BC上一点(不与B重合)，以3BG为直径的圆。交AB于D,彳AD的垂直平分线交AD于F,交AC于E,连结DE(1)求证：DE为。的切线;(2)若BG=3求DE的长；(3)设BG=xDE=y,求y与x的函数关系，写出y的最小值.【考点】圆的综合题.BDG直角，然后只要证明/CDE=90,【分析】(1)连接ODDG由BG为圆的直径可知/即可证明结论成立，根据题目中的条件可以得到/CDE=9

39、0,本题得以解决；(2)根据题目中的条件和勾股定理，可以转化为直角三角形CD讶口直角三角形CCDW直角边的平方等于CE的平方，从而可以得到DE的长；(3)根据(2)中的求解方法，可以得到y与x的函数关系式，根据一次函数的性质，可以得到y的最小值.【解答】(1)证明：连接ODDG如右图所示， BG为。O的直径，OD=OB/ACB=90,，/BDG=90,/ODBWB,ZB+ZA=90°,/A=ZODG/GDE+EDA=90,又EF是AD的垂直平分线，/A=ZEDA /EDAMODG /GDE廿ODG=90,即ODLDE.OD是。O的半径,.DE为。O的切线;(2)连接OE如右上图所示,/ACB=90,AB=10,r1cosB一)BC=AB?cosB=6AC=BG=3.OD=1.5,OC=BOOB=6-1.5=4.5,EF是AD的垂直平分线，EA=ED设EA=x,贝UED=xEC=8x,/ECO=90,/EDO=90,.d4+oce&oC,即x2+1.52=(8-x)2+4.52,41解得，x=-g-,41即DE的长是丁；(3)连接OE如右上图所示，3/ACB=90,AB=10,cosB=石,.BC=AB?cosB=6AC=AB?-BC?=E,BG=x