课时考点13轨迹问题

1、课时考点13轨迹问题考纲透析考试大纲：在理解曲线与方程意义的基础上，能较好地掌握求轨迹的几种基本方法.高考热点：1.直接法、定义法、转移法求曲线的轨迹方程.2.数形结合的思想，等价转化的思想能起到事半功倍的作用新题型分类例析热点题型1：直接法求轨迹方程(05江苏？19)如图，圆O1与圆02的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆OI.圆02的切线PM、PN(M.N分别为切点)使得pm=J2pn.试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程.解：以Oi。2的中点。为原点，OiO2所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，则01(-2,0),02(2,0),由已知PM=J2PN,得PM2=2PN2.因

2、为两圆的半径均为1,所以PO12-1u2(PO22-1).设P(x,y),贝U(x+2)2+y21=a(x2)2+y2-1,即(x6)2+y2=33,所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33.(或x2+y2-12x+3=0).变式新题型1：22设双曲线y2-=1的焦点分别为F1、F2,离心率为2.a3(1)求此双曲线的渐近线吊、12的方程；(2)若AB分别为、I2上的动点，且21AB=5|F1F2I,求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.22热点题型2:定义法和转移法求轨迹方程(05辽宁例21)已知椭圆2y+4=1(abA0)a2b2的左、右焦点分别是F1(c,0)、F2(c,0

3、),Q是椭圆外的动点，满足|FQ|=2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PTTF2=0,|TF2|#0. c（I）设x为点P的横坐标，证明|FiP|=a+ x; a（n）求点T的轨迹C的方程；（出）试问：在点 T的轨迹C上，是否存在点M,使F1MF2的面积S=b2.若存在，求/F1MF2x轨迹的求法和应QIT的正切值；若不存在，请说明理由。解：本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质,用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（I）证法一：设点 P的坐标为（x, y）.yi由P（x,y）在椭圆上，得'"222|FF|

4、f(xc)2y2(、22b22、.(x+c)+b-2xFi=J(a+cx)2.a,八c由x之a,知a+x之一c+aa0,所以|F1P|=aa-x.a证法二：设点P的坐标为（x,y）.记|F1p|=r1,|F2P|=r2,贝Ur1=.(xc)2y2,r2=.(xc)2y2.c由r1+r2=2a,r12-r22=4cx,得|F1P|=r1=a+x.a.一一c一证法三：设点P的坐标为（x,y）.椭圆的左准线方程为a+-x=0.a由椭圆第二定义得|FiP|2|xa|c2=c,IP|FiP|=-|x'|a-x|.aca八c_c由x之a,知a+x之c+a>0,所以|F1P|=a+x.aa（n

5、）解法一：设点T的坐标为（x,y）.当|PT|=0时，点（a,0）和点（一a,0）在轨迹上.当|PT|#0且|TF2/0时，由|PT|TF2|=0,得PTJ-TF2.又|PQ|=|PF2|,所以T为线段F2Q的中点.1在QF1F2中，|OT|=|F1Q|=a,所以有x2+y2=a2.2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.7分解法二：设点t的坐标为（x,y）.当|pT|=o时，点（a,0）和点（a,0）在轨迹上当|PT|。0且|TF2|#0时，由PTTF2=0,得PT_LTF2.又|PQRPF2|,所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为x=x；y'),则-y=x-c2Fy.

6、2'x1r=2x-c,y=2y.由IFiQ|=2a得（x'+c）2+y'2=4a2.将代入，可得x2y2=a2.综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.2.（出）解法一：C上存在点M（x°,yo）使S=b的充要条件是2122xoyo-a,12-2c|yo尸b2.222由得|yo|Ma，由得lyolMb-.所以，当a之b-时，存在点M,使S=b2；,2当a<b_时，不存在满足条件的点M.11分c当a之一时,MF-=(-c-xo，-yo),MF2=(cx。，y0),c由MF1MF2=x(2-c2+y2=a2-c2=b2,MF-MF2=|MFi|IMF

7、2|cosFiMF2,1S=一|MFi|MF2|sinjF1MF2=b2,得tan/FMF2=2.2解法二：C上存在点M(x°,y°)使S=b2的充要条件是,-12L'2c|y0|=b.2b422由得|y0区一.上式代入得x2=a2b2=(ab)(a+b)20.cccc于是，当a之b2时，存在点M,使S=b2；-c当a±.b2时，不存在满足条件的点M.11分a：.c,2.,当a之时，记ki=卜训=上，k2=kF2M=上，cx0cx0-c由 IF1F2 |<2a,知 ZF1MF2 <900,所以变式新题型2已知抛物线C: y 2=2px(p>

8、;0)的焦点为两点。(1)若以弦PQ为直径的圆恒过原点 O,求(2)在(1)的条件下，若FP+FQ = FR ,启思热点题型3：与轨迹有关的综合问题(05江西tan/F1MF2 T k1 k2 |=2. 14 分1 - k1k2F,直线l过定点A(4,0)且与抛物线交于 P,Qp的值。求动点R的轨迹方程.理22)如图，设抛物线 C : y = x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求APB的重心G的轨迹方程.(2)证明/PFA=/PFB.解：(1)设切点A、B坐标分别为(x,x2)和(x1,x12)(x

9、1#x0),切线AP的方程为：2x0x-y-x：=0;2切线BP的万程为：2x1xyx1=0;解得P点的坐标为：xP=x02x1,yP=x0x1所以APB的重心G的坐标为xG=x0+x1+xP=xP,32222y°MVpXoXiXoXi(XoXi)%Xi4xp-yp几=3=3=3=一，所以yp=-3Vg+4xG,由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为:x _(_3y +4x2) -2 =0,Wy = 1 (4x2 -x + 2).321 Xo x11 - ,21、(2)万法 1：因为 FA=(x(o,x0 ),FP=(,x()xi ), FB = (xi,xi -).424

10、4由于P点在抛物线外，则| FP |#0.cos. AFPFP FA|FP|FA|x。*12 11x。 (x。 )(x。-) x。、244 二 4| fpx。2 (xo2 - 4)21 fp|FP FB 同理有cos ZBFP =|FP|FB|x。 x1/1、/ 2 1、1x1(x。、-)(x1 -)x。' 244 =4221 2| FP |FP|.；x1(x1 -)|4 ./ AFP= Z PFB.方法2 :当xx。=。时，由于x # x。,不妨设x。=。，则y。=。,所以p点坐标为(x1,0),则P点到直线AF的距离为：d1=也；而直线BF的方程2x,x111一即(x12)x-x1

11、yx1=。.44所以P点到直线BF的距离为：d221 x1 x1|(x1 -7)7- r |4 24J(x； 一1)2 +(x1)2 .4(x；| x1 |x1所以d尸d2,即得/AFP=ZPFB.211x。一二c11当xx。#。时，直线AF的方程：y=4(x。)，即(x2)xx0y+x。：。,4x。一。44直线BF的方程:T，=-。)"1、1-)xxyX=。,44所以P点到直线AF的距离为:di21 x0 x121|(x。一4)(2 )-x0x1 4x0|,21 22J(x。4) +x0xo - Xi21| c)(X0)2421xo4| x0 - x1 |-,同理可得到d1=d2,可得到/ AFP=/PFB.点到直线BF的距离d2=|x1一