解不等式的方法归纳

1、解不等式的方法归纳一、知识导学1.一元一次不等式ax>b(1)当a>0时，解为x(2)当a<0时，解为axb;(3)当a=0,b>0时无解；当a=0,b<0时，解为R2.一元二次不等式：(如a一、°一一F表)其中a>0,xi,X2是一元二次方程ax?+bx+c=0的两实根，且xi<X2(若a<0,则先把它化正，之后跟|>0的解法一样)3 .简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：将f(x)的最高次项的系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积；将每一个一次解巢ax2+bx+c>0ax2+bx+c&

2、gt;0ax2+bx+c<0ax2+bx+c<0A>0x|x<x或x>x2x|x<xi或x>x2x|xyx<x2x|xi<x<x2)A=0xIxw-,2axRRx|x=-上2aA<0RR因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集4 .分式不等式：先整理成起>0或上区>0的形式，转化为整式不等式求解，即：g(x)g(x)f(x)0-''或f(x)g(x)>0要>0f(x)g(x)>0f®>0g(x)0然后

3、用“根轴法”g(x)g(x)或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式

4、的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解一注意分类.三、经典例题导讲例1如果kx2+2kx(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是.A.-1<k< 0 B. - 1 < k<0C. - 1<k < 0D. 1<k<0错解：由题意：k 09解得：1<k<0错因(2k)2 4k (k 2) 0将 kx2+2kx-(

5、k+2)<0看成了一定是一元次不等式，忽略了 k = 0的情况.正解：当k = 0时，原不等式等价于2<0,显然包成立,k = 0符合题意.当k 0时，由题意:k 0(2k)2 4k (k 2)解得：1<k<0 01k0,故选C.例2命题A:x1<3,命题B:(x2)(xa)<0,若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是A. (4,)B. 4,C.(,4)D.,4错解：由|x1|<3得：一2<x<4,又由(x+2)(x+a)=0得x=2或乂=a,A是B的充分不必要条件，x|2<x<4x|2<x<-aa>4故选

6、D.错因：忽略了a=4时，x|-2<x<4=x|-2<x<-a,止匕时A是B的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由|x-1|<3得：2<x<4,又由(x+2)(x+a)=0得x=2或x=a,A是B的充分不必要条件，x|2<x<x4x|-2<x<-aa>4故选C.例3已知f(x)=ax+b，若3ab3 f(1) 0, 3 f(2) 6,求f(3)的范围.错解：由条件得b3 2a26 a 15X 2得0X 26+得103ab 竺，即10 f(3)竺 错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满33333足条件白函数f(x)

7、ax其值是同时受a和b制约的.当a取最大(小)值时，b不一定b取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的f (1) a b.正解：由题意有b ,解得:f(2) 2a 21,a 32f(2)f(1), b2,22f(1)f(2),f (2)的范围代入得-32 0原不等式可化为：37-f (3) 37 .例 43(x+3)(x -2) 0f(3) 3ab f(2) 5 f (1). 把 f(1)和 399解不等式(x+2)2(x+3)(x -2) 0错解：(x+2)原不等式的解集为 x| x 3或x 2错因：忽视了“”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：(x+2)

8、2(x+3)(x-2)0或(x+2)2(x+3)(x-2)0，解得：x=3或x=2或x=2解得：x<3或x>2原不等式的解集为x|x3或x2或x2例5解关于x的不等式a(xab)b(xab)解：将原不等式展开，整理得：(ab)xab(ab)讨论：当ab时，xab(a一生当ab时，若ab0时x;若2b<0时xR当abab时，xab(ab)点评:在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.例6关于xab1的不等式axbxc0的解集为x|x2或x3求关于x的不等式axbxc0的解集.解：由题设知a0,且x2,x。是方程axx0,或 x 13 2.2 x 3 2. 2或 x0bxc0的

9、两根b-,-12a2a从而ax2bxc0可以变形为x2x0即：x2勺x10x2点评：aa22二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.例7不等式log2(x-6)3的解集为解：log2(x-6)3,0xxx(32版32柩1反思：在数的比较大小过程中，要遵循这样的规律，异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分，再去比较它们剩余部分，就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；，(3)计算所有数的值；选用数形结合的方法，画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.四、典型习题导练2