导学教程高三数学二轮复习教案专题二三角恒等变换与解三角形

1、第2讲三角恒等变换与解三角形自主学习导引真题感悟1(2012·大纲全国)已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2ABC.D.解析利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解sincos ，(sin cos)2，2sin cos ，即sin 2.又为第二象限角且sin cos 0，2k2k(kZ)，4k24k(kZ)，2为第三象限角，cos 2.答案A2(2012·浙江)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a，求ABC的面积解析(1)因为0A，cos A，得sin A.又cos Csin

2、 Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin Bcos C，由a及正弦定理，得c.设ABC的面积为S，则Sacsin B.考题分析新课标高考对本部分的考查，一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用，而解答题常常有以下三种：三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题网络构建高频考点突破考点一：三角变换及求值【例1】设，sin，求的值审题导引解答本题的关键是求出sin 与cos ，观察所给的条件式会发现求sin 与cos 的方法有两

3、个，一是利用角的变换，二是解关于sin 与cos 的方程组规范解答解法一由，得，又sin，cos.cos coscoscos sinsin .sin .故原式cos .解法二由sin，得sin cos ，平方得12sin cos ，即2sin cos 0.由于，故.(sin cos )212sin cos ，故sin cos ，联立，解得sin ，cos .原式cos (12sin )×.【规律总结】sin 、cos 的求值技巧当已知sin，cos时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos 或sin cos ，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos ，根据

4、同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin ，cos 的值或者把sin cos 、sin cos 与sin2cos21联立，通过解方程组的方法也可以求出sin 、cos 的值易错提示三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据sin2求sin 的值时，sin ± 中的符号是根据角的范围确定的，即当的范围使得sin 0时，取正号，反之取负号注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题【变式训练】1(2012·烟台一模)若，且cos2sin，则tan A1B.C.D.解析cos2sincos2cos 22cos2sin2，即tan21. 又，tan 0，tan

5、1.2(2012·南京模拟)已知sinsin ，0，则cos _.解析sinsin sin cos sin sin cos sin，sin.又0，cos，cos coscossin.答案考点二：正、余弦定理的应用【例2】(2012·湖南师大附中模拟)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且(2ac)cos Bbcos C.(1)求角B的大小；(2)若cos A，a2，求ABC的面积审题导引(1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B；(2)利用(1)的结果求b及c，利用公式求面积规范解答(1)因为(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理

6、，得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)sin A.0A，sin A0，cos B.又0B，B.(2)由正弦定理，得b，由cos A可得A，由B，可得sin C，Sabsin C×2××【规律总结】解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用

7、正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解题时可能有多种情况(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.【变式训练】3(2012·北京东城11校联考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin Asin C，B30°，b2，则边c_.解析由正弦定理得ac，由余弦定理可知b2a2c22accos B，即43c2c22c2×，解得c2.答案2考点三：解三角形与实际应用问题【例3】(2012·宿州模拟)已知甲船正在大海上航行当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海

8、里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即也决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达(供参考使用：取tan 41°)(1)试问乙船航行速度的大小；(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东度)审题导引据题意作出示意图，把实际问题转化为解三角形，利用正、余弦定理求解规范解答设乙船运动到B处的距离为t海里则t2AC2AB22AB·ACcos 120°1022022×10×20×700，t10，又设ACB，则，则sin 0.65，41°，乙船应朝北偏东71

9、76;的方向沿直线前往B处求援速度为5海里/小时【规律总结】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案 【变式训练】4如图所示，小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内，她家河对岸新建了一座大厦BC，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°，

10、爬到楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，已知小丽所住的电梯公寓高82米，请你帮助小丽算出大厦高度BC及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC.解析设ACx米，则BCx米，过点D作DEBC，易得BEx，xx82.x41米BC×41123米名师押题高考【押题1】已知，则sin cos _.解析·，则sin cos .答案押题依据诱导公式、倍角公式等都是高考的热点，应用这些公式进行三角恒等变换是高考的必考内容本题考点设置恰当、难度适中，体现了对基础知识和基础能力的双重考查，故押此题【押题2】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列 (1)若b，a3，求c的值；(2)设tsin Asin C，求t的最大值解析(1)因为A，B，C成等差数列，所以2BAC，因为ABC，所以B.因为b，a3，b2a2