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1、第三节 差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解 方程 ( 8) 其中为常数,称方程(8)为常系数线性方程。 又称方程 (9) 为方程(8)对应的齐次方程。 如果(9)有形如的解,带入方程中可得: (10) 称方程(10)为方程(8)、(9)的特征方程。 显然,如果能求出(10)的根,则可以得到(9)的解。 基本结果如下:(1) 若(10)有k个不同的实根,则(9)有通解: ,(2) 若(10)有m重根,则通解中有构成项: (3)若(10)有一对单复根 ,令:,则(9)的通解中有构成项: (4) 若有m 重复根:,则(9)的通项中有成项: 综上所述,由于方程(10)恰有k 个根,从
2、而构成方程 (9)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为: 如果能得到方程(8)的一个特解:,则(8)必有通解: + (11)(1) 的特解可通过待定系数法来确定。 例如:如果为n 的多项式,则当b不是特征根时,可设成形如形式的特解,其中为m次多项式;如果b是r重根时,可设特解:,将其代入(8)中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于取Z变换,利用的Z 变换F(z)来表示出的Z变换,然后通过解代数方程求出F(z),并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数,其系数就是所要求的例1 设差分方程,求 解:解法1:特征方程为,有根: 故:为方程的解。 由条件得:解法2
3、:设F(z)=Z(),方程两边取变换可得: 由条件得 由F(z) 在中解析,有 所以,3、二阶线性差分方程组设,形成向量方程组 (12)则 (13) (13)即为(12)的解。 为了具体求出解(13),需要求出,这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有: (1)如果A为正规矩阵,则A必可相似于对角矩阵,对角线上的元素就是A的特征值,相似变换矩阵由A的特征向量构成:。 (2)将A 分解成为列向量,则有 从而,(3) 或者将A相似于约旦标准形的形式,通过讨论A的特征值的性态,找出的内在构造规律,进而分析解的变化规律,获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果(1)k 阶常系数线性差分方程(8)的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程(10)所有的 特征根满足 (2)一阶非线性差分方程 (14) (14)的平衡点由方程决定, 将在
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