广东省2007年至2011年高考理科数学函数、导数及不等式综合题精解

1、广东省2007年2011年高考理科数学函数导数不等式综合题1(2007年第20题)已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围2(2009年第20题)已知二次函数的导函数的图象与直线平行，且在处取得极小值，设，(1)若曲线上的点P到点的距离的最小值为，求的值；(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点3(2008年第19题)设,函数，试讨论函数的单调性4. （2010年第19题） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这

2、两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？广东省20072011年高考理科数学函数导数不等式综合题精解1(2007年第20题) (解法一)若,则,令，不符题意, 故 要使在-1,1上有零点，则有或或或解得 或 或 或 即 或 综上所述，实数的取值范围为 (解法二)若,则有唯一零点为，不符题意, 故由 得 ( 且 )求函数的导数， 得 令，得 ，且 ， 当，时， 所以在区间，上分别递增 当，时， 所以在区间，上分别

3、递减又时，；时，； 时， 综上所述，实数的取值范围为. (解法三) 在解法二中，可令，则有 ()，即将问题转化为求勾函数的问题（解题过程略）2(2009年第19题)解：设二次函数的解析式为 则它的导函数为函数的图像与直线平行， 2a=2，解得a=1又在处取得极小值 ，即 ，解得 ，=（）(1)设曲线上的点P的坐标为则点P到点的距离为 由基本不等式定理可得 (当且仅当时，等号“=”成立)，此时=点P到点的距离的最小值为 ，整理，得 当时，解得当时，解得或(2)令 因为函数存在零点令，即 整理，得 由 知：方程有非零实数根当k=1时，方程变为，解得，方程有唯一实数根此时， 函数存在唯一的零点当k1

4、时，方程根的判别式为 当，即 ，即 方程有两个相等的实数根此时， 函数存在唯一的零点；当，即 ，得当m0时，解得， 当m0且，或m0且时，函数存在两个零点，。3(2008年第20题)解：由 ，得.(1)当时， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增； 当时，令，解得， 当时，；当时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)当时， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当时，；当时， 在区间上单调递减,在区间上单调递增；综上所述，可知：当时，在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减。4（2010年第19题）解：设该儿童分别预定、个单位的午餐和晚餐，共花费元，则 ，即目标函数为 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域2.5x+4y=06M3x+2y=163x+5y=27x+y=7yO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x考虑，将它变形为，这是斜率为、随变化的一族平行直线，是直线在轴上的截距，当取最小值时，的值最小，当然直