计量经济学-Ch11ARIMA模型白

1、第11章ARIMA模型的概念和构造模型的概念和构造 1本章要点 平稳性的定义及检验方法 ARIMA模型的概念 AR（P）与MA（q)过程 ARMA过程平稳性的特征 BOXJENKINS方法 案例分析2CPI变化率 以 2 0 0 5 为100，计算各年度值，再消除趋势后，取对数34.54.64.74.84.95.0959697989900010203040506PCN-5.00.05.010.015.020.025.030.0110192837465564738291100109118127136145154163172181190199208217226235244253262271问题 变

2、量的动态路径可以使用什么样的单变量动态模型来刻画？ 自回归模型（AR）？移动平均模型（MA）？还是二者的组合（即ARMA模型）？ 各个变量是否符合平稳（stationary）序列的特征？ 如果各变量原始水平值序列非平稳，是否还能对这些变量之间的关系进行计量分析呢？ 涉及 “协整分析”有关内容，后续讲解4第一节 随机过程和平稳性原理 一、随机过程 一般称依赖于参数时间t的随机变量集合 为随机过程。 例如，假设样本观察值y1，y2,yt是来自无穷随机变量序列y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 的一部分，则这个无穷随机序列称为随机过程。 5ty 随机过程中有一特殊情况叫白噪音，其定义如下：如果随

3、机过程服从的分布不随时间改变，且 6()0tE y（对所有t） 22yvar()()ttyE y 常数（对所有t）cov(,)(*)0tstsy yE yy （ ）ts那么，这一随机过程称为白噪声。 二、平稳性原理 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它为平稳的。7 平稳随机过程的性质： 均值 （对所有t） 方差 （对所有t） 协方差 （对所有t） 其中 即滞后k的协方差或自(身)协方差， 是 和 ，也就是相隔k期的两值之间的协方差。 8()tE y22var()()ttyE y()

4、()ktt kE yyktyt ky白噪声9 三、伪回归现象 将一个随机游走变量（即非平稳数据）对另一个随机游走变量进行回归可能导致荒谬的结果，传统的显著性检验将告知我们变量之间的关系是不存在的。 有时候时间序列的高度相关仅仅是因为二者同时随时间有向上或向下变动的趋势，并没有真正的联系。这种情况就称为“伪回归”（Spurious Regression）。10 平稳性检验的具体方法 一、单位根检验 （一）单位根检验的基本原理 David Dickey和Wayne Fuller的单位根检验（unit root test）即迪基富勒（DF）检验，是在对数据进行平稳性检验中比较经常用到的一种方法。11

5、 DF检验的基本思想：从考虑如下模型开始：121tttYYu（10.1） 其中 即前面提到的白噪音（零均值、恒定方差、非自相关）的随机误差项。tu由式(10.1),我们可以得到：13121tttYYu (10.2) 232tttYYu (10.3)TT-1TtttYYu (10.4) 依次将式(10.4)(10.3)、(10.2)代入相邻的上式，并整理，可得：14T2TtT12T.tttttYYuuuu （10.5）根据 值的不同，可以分三种情况考虑：（1）若 1，则当T时， 0，即对序列的冲击将随着时间的推移其影响逐渐减弱，此时序列是稳定的。T （2）若 1，则当T时， ，即对序列的冲击随着

6、时间的推移其影响反而是逐渐增大的，很显然，此时序列是不稳定的。 （3 ）若 =1，则当T时， =1，即对序列的冲击随着时间的推移其影响是不变的，很显然，序列也是不稳定的。 15TT 对于式（10.1），DF检验相当于对其系数的显著性检验，所建立的零假设是：H0 ： 如果拒绝零假设，则称Yt没有单位根，此时Yt是平稳的；如果不能拒绝零假设，我们就说Yt具有单位根，此时Yt被称为随机游走序列（random walk series）是不稳定的。 161 方程（方程（10.1）也可以表达成：）也可以表达成： 1711(1)tttttYYuYu（10.6） 其中 = - ， 是一阶差分运算因子。此时的零

7、假设变为：H0： =0。注意到如果不能拒绝H0，则 = 是一个平稳序列，即 一阶差分后是一个平稳序列，此时我们称一阶单整过程（integrated of order 1）序列，记为I (1)。 H1: q时 0 当kq时，时，ACF(j)=0，此现象为截尾，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征 如下图：44222j1j+12j+2qq-j12q1 j=0ACF(j)(.) (1.)0 jq 图9-1 MA(2)过程45tt-1t 2ty =0.5u0.3uu AR(p)过程的偏自相关函数 时，偏自相关函数的取值不为0 时，偏自相关函数的取值为0 AR(p)过程的过程的偏偏自相关函数自相关函

8、数p阶截尾阶截尾 如下图：46jpjq 图9-2 AR(1)过程47tt-1ty =0.5yu 图9-3 AR(1)过程48tt-1ty =yuAR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏自相关函数 平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(）过程，则AR(p)过程的自相关函数是拖尾的 一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(）过程，因此其偏自相关函数是拖尾的。49 图9-4 ARMA(1,1)过程ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相关函数 ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的50tt-1t-1ty =0.5y0.5uu利用自相关函数、偏自相关函数对ARIMA模型进行识别

9、 对ARIMA(p,d,q)过程进行识别，我们首先要确定的是该过程是否是平稳的，如果不是，通过几次差分可以得到平稳序列，即首先我们需要确定d的值。对此，我们可以用前面一章提到的ADF检验，也可以通过自相关函数来判断。如果d次差分后的序列其自相关函数很快下降为0，则说明差分后的序列是平稳的，反之则不平稳。 在确定d的值后，接下来我们利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的图形来确定p, q的值。5152具体方法如下：q对于每一个q,计算 1q2qMq.（M 取为 ），考察其中满足 nqiikn12211或者qiikn12212的个数是否占M个的68.3%或者95.5%。如果 01qk k， 都明显

10、地异于零，而 10q20qMq 0.均近似于零，并且满足上述不等式之一的 k的个数达到其相应的比例，则可以近似地判定 k是 步截尾，平稳时间序列 0q ty为 0()MA q。,53q 类似，我们可通过计算序列kk其中满足 ，考察nkk1或者nkk2是否占M个的68.3%或者95.5%。即可以近似的个数地判定kk是 步截尾，平稳时间序列 0p ty为 0()AR p。54q 如果对于序列 kkk和截尾，即不存在上述的 来说，均不0p0q和判定平稳时间序列 ，则可以 ty为ARMA模型。 55（2）基于F 检验确定阶数（3）利用信息准则法定阶（AIC准则和BIC准则）此外常用的方法还有：ARMA

11、模型的估计56q AR(p)模型参数的Yule-Walker估计特例：一阶自回归模型AR(1)： 11二阶自回归模型AR(2)： 21211112121221MA(q)模型参数估计57特例：一阶移动平均模型MA(1)：12112411二阶移动平均模型MA(2)： 2221211112221221ARIMA模型精确估计 矩估计 这种方法就是利用样本自协方差函数和 样本自相关函数，对模型的参数作估计。 极大似然估计 它又包括无条件极大似然估计、条件极大似然估计、精确似然估计等方法。 非线性估计 它主要是利用了迭代搜索的思想。 最小二乘估计 对于不包含MA部分的ARIMA模型（即AR模型），我们可以

12、利用普通最小二乘法对参数进行估计。 比较复杂，有几种方法。一般通过软件包进行58ARIMA模型的诊断 在对模型参数进行估计后，下一步我们要对所估计的模型是否很好的拟合了数据进行诊断。如果模型很好的拟合了数据，那么残差应该是一个白噪音过程，即不同时期的残差是不相关的。 为检验残差是否各期不相关，我们可以求得残差各阶的自相关系数 、 , 然后对联合假设： 进行检验。如果不能拒绝原假设，说明残差是各期不相关的；如果拒绝原假设，则说明残差存在自相关，原模型没有很好的拟合数据。5912、m0H :1 =2 =m.=0 在上述检验中，经常用到的一个检验统计量是Box和Pierce提出的Q统计量，它的定义如

13、下： ，近似服从（大样本中） 分布 其中n为样本容量，m为滞后长度。 需要注意的是，Box和Pierce提出的Q统计量具有不佳的小样本性质，于是Ljung和Box(1978)提出了一个具有更好小样本性质的统计量,称之为LB统计量。 定义如下： 服从分布 ，其中n为样本容量，m为滞后长度。60m2kk=1Q=n2(m)m2kk=1LB=n(n+2)(n-k)2(m) 对ARIMA模型的诊断还有另一方面，即尽管现在的模型能够很好的拟合数据，但我们想知道是否还存在一个更好的模型，能够更好的拟合数据和进行预测。 一般的做法是在模型中增加滞后项（因为我们是从低阶试起的），然后根据信息准则(informa

14、tion criteria)来判断。61常用的信息准则有以下几个： Akaike 信息准则 Schwarz 信息准则 Hannan-Quinn 信息准则 其中 为残差平方， 是所有估计参数的个数，T为样本容量。6222kAIC=log()T2kSC=log()logTT22kHQIC=log()log(logT)T2k=p+q+1ARIMA模型的预测以平稳的AR(2)过程为例：其中 为零均值白噪音过程由模型的平稳性，我们有： 63t1t-12t-2tY=c+Y +Y +utut+11t2t-1t+1Y=c+Y+Y +ut+21t+12tt+2Y=c+Y+Y+u 在t时刻，预测 的值： = 在t

15、时刻，预测 的值： 同理： 可以看到，在应用AR(2)模型进行预测时，除向前一步预测是无条件预测外，其它的预测都要用到前期的预测值。 另外，我们不加证明的给出下面的结论：随着预测时间的增大，AR过程的预测值将趋向于序列的均值。64t,1t+1tf =E(YI)1t-12t-2c+Y +Yt+1Yt+2Yt,2t+2t1t+1t2t1 t,12tf =E(YI) =c+E(YI)+Y=c+f +Yt,31 t,22 t,1f =c+f +ft,41 t,32 t,2f =c+f +f下面我们再来看利用MA过程进行的预测。以一个MA(2)过程为例：我们可以求得： 可以看到，对于MA(2)过程，2期

16、以后的预测值都是常数项，即MA(2)过程仅有2期的记忆力。而如果常数项为0的话，那么2期之后的预测都将为0。65t,2f =+2t t,3f =t,4f =利用ARMA过程进行预测 利用ARMA过程进行预测的过程，实际上相当于对AR过程和MA过程进行预测的结合，方法与分别利用AR过程和MA过程进行预测是相同的，我们不再介绍。 由于ARMA(p,q)过程中MA(q)过程仅有q期的记忆力，因此利用ARMA(p, q)向前进行q期以外的预测，结果与利用AR(p)过程预测的结果是一样的。随着预测期数的增加，预测值将趋向于均值。 因此，ARMA模型一般用于短期预测（即预测期数不大于p+q太多）。而对于A

17、RIMA模型，只需将平稳序列ARMA过程的预测结果进行反向d次（差分次数）求和，就可以得到原序列的预测值。6667 三、ARMA(p,q)序列预报 设平稳时间序列 ty是一个ARMA(p,q)过程，则其最小二乘预测为： 11,.,yyyElyTTtq AR(p)模型预测 plylylyTpTt.11,.2 , 1lTTT68q ARMA(p,q)模型预测 1,.,yyEiTiTT其中： jljlylyTjqjTpjjt11T69q 预测误差预测误差为： 11110.llltlttlttlyyle 步线性最小方差预测的方差和预测步长 有关, 而与预测的时间原点t无关。预测步长越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作为长期预测模型。ll70q 预测的置信区间 预测的95%置信区间： 21212120.96. 1ltly实例：ARIMA模型在金融数据中的应用 数据数据： 1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广义货币M2）的月