级数复习题资料

1、第四章、级数-习题课:1、是一个设已给复数序列zn.如果limzn=,其中,n二有限复数,那么2、3、limn-二ZiZ2.Zn证实：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列.证实在两相乘级数中,一个收敛,一个绝对收敛时,第1段中关于柯西乘积的结果仍成立.4、证实定理2.1及2.2.5、试求以下哥级数的收敛半径:+0n2n工qz,其中|q|<1；nu0+=0n!Z；+0(3)znpzn,其中p是一正数;n=0+0(4/3+(-1)nnzn；n=0+0n!nTz；n.aba(a1)b(b1)2(6)1ZZ.c2!c(c1)+a(a+1).(a+n-1)b(b+1).(b+n-1)znn!c

2、(c1).(cn-1)其中a、b、c是复数,但c不是零或负整数.6、设在|z,R内解析的函数f(z)有泰勒展式z1Z试证：(1)令M(r)=max0U-2-dz21zn1.n|f(re1")|,我们有(柯西不等式),R;,22nn|r.M(r)a<L1n|nr在这里n二0,1,2,.；0r(2)由(1)证实刘维尔定理；(3)当0£r<R时2二i120|f(rei)|2d)7、证实：如果在上|z,r及|z.内,我们分别有+00+30f(z)=£anzn及g(z)=zbnZn,n=0n=0其中0<r及p<十°°,而且f(z)

3、在|z|£r内连续,那么在|zkrp内,vUn1z、d工anbnz;厂f卜)g一n=02I1卜8、设是z任一复数,证实|ez一1Fe|z|-1-1z|e|z|9、求以下解析函数或多值函数的解析分支在z=0的泰勒展式:(1)2sinzz；ecosz(3)1(Ln211-z)2；35(4)(2-z)4；(5)tanz(计算到z的系数)10、设f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数r及m,使得当|z|R时|f(z)FM|z|n,证实f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.11、求以下解析函数或多值函数的解析分支在指定区域内的洛朗展式：ze(1) 在0<|z卜1内

4、；z(z1)1(2) 在1<|z卜3内；(z51)(z-3)(3)sinZ在0<|z-1卜1内；z-1zez'2在2父|z'内;1(5)-在0M|z+11<1内,其中0<a<1,za(1z)za(1a=1);Inz(6)-在0<|z-1卜1及0<|z+1|<1内,z2-1)Inz(ln1=0)；12、问以下函数有哪些孤立奇点各属于哪一种类型?(1)z1z(z24)cotz；1"上口(3) ,其中"是一个常数;sinz-sin1卧.1；(5)sin.e-11-z13、证实：在扩充复平面只有一个极点的解析f(Z)函

5、数必有下面的形式：f二14、设函数f(2)在2=Z0解析,并且它不恒于一个常数,试证Z=Z0是f(Z)的m阶零点的必要与充分条件是：Z=4是1的m阶极点.f(Z)15、设函数f(z)和g(Z)满足以下条件之一：(1)f(Z)和g(Z)在4分别有m阶及n阶零点；f(Z)和g(Z)在Zo分别有m阶及n阶极点；(3)f(Z)在解析或有极点,g(Z)在Z0有孤立奇点.试问及f(Z)+g(Z)、f(Z)g(Z)及f(Z)/g(Z)在Z0具有什么性质16、设函数f(z)在区域D内解析.证实：如果对某一点Zq£D有f(n)(zo)=0,n=1,2,那么f(z)在区域D内为常数.f(z)?(1)f(

6、U.11)"f(2nL12n11f(')=nn1(3)11f()=f()2n-12n12n在这里n:1,2,3,.118、函数sin的零点11-z集有聚点1,但这函数不恒等于零.(n=土1,±2,)所成的n问这与解析函数的唯一性是否矛17、问是否存在满足以下条件,并且在原点解析的函数盾19、设区域D含有一段实轴,由设函数u(x,y)+iv(x,y)及u(z,0)iv(z,0)都在D内解析,求证在D内u(x,y)iv(x,y)=u(z,0)iv(z,0)20、根据以下步骤,证实整函数f(Z)可以写成以下形式：2,f(z)=01Z2z(z-1)3Z(z-1)kkk1k2

7、kz(z-1)2kiz(z-1).其中I0,:1,:2,是复常数.(1)用r(p)表示圆|z卜p,其中p>1.a)、证实：对于k=1,2,.,积分dwr(?)wk(wT)k的值与p无关；取极限求出它的值.同时计算dwdw(及r()wk1(w-1)kr()wk(w-1)k1b)、设整函数f(z)上面的展开式在C中任何紧集上一致收敛,证实对于k三N,展开式的系数可由以下积分给出,f(w)dw2k、k1k21r()w(w1),f(w)dw2k1k1k1'21r()w(w-1)(2)、a)、如果口2k及"2k+1由上面的公式给出,那么对于|z|<If(z)-10-：逐：2kZk(z-1)k：2kiZk1(z-1)k二#1kif(w)dwZ(Zl)k1k12ir()(w-z)w(w-1)把上式右边记作Rk(z).b)、设Dr表示圆心在0、半径为r的圆盘,证实：对任意正数r,当丘时,Rk(z)在Dr上一致趋近于零.(3)、最后证得：整函数f(z)有上面得展开式.这一展开式是唯一的,并且在C中任何紧集上一致收敛.21、设an(neN)是一复数序列.+00+oO(1)、设1.1=1,并且、n|n|-1.证实级数':nznn=2n=