第五节 可降阶的微分方程

1、第五节第五节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程)( xfdxydnn 一、一、),( yxfy 二、二、),( yyfy 三、三、下 页上 页 返 回解法：解法：特点：特点：.,)1( nyyy及及不不显显含含未未知知函函数数 )1()(nnyy由于由于.)()()1( dxxfdxyynn则则,)()(次次连连续续积积分分将将nxfyn 可得通解可得通解.型型一一、)()(xfyn 即对即对x逐次积分逐次积分n次可得通解次可得通解.下 页上 页 返 回0sin ).1()4( xxy求下列方程的通解求下列方程的通解xxy sin )4(解解12)4(2cos Cxxdxy )3(y2

2、13)3(! 3sin CxCxxdxy y322142! 4cos CxCxCxxdxy y43223152! 3! 5sin CxCxCxCxxdxy y例例 1 下 页上 页 返 回0 ).2()4()5( yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程, 得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 下 页上 页 返 回型型二、二、),( yxfy 特点：特点：不显含不显含

3、y解法解法:)( xpy 作变换作变换)(xpy 则则代入有代入有)(,()( xpxfxp 此为一阶微分方程此为一阶微分方程若能解此微分方程的通解为若能解此微分方程的通解为),()(1Cxxp 则有则有),(1Cxy 此又为一阶微分方程此又为一阶微分方程21),(:CdxCxy 得原方程的通解得原方程的通解下 页上 页 返 回 121 ).1( yxyx解解),( xPy 设设代入原方程代入原方程 1212 xPPx)(xPy 求解下列方程的通解求解下列方程的通解此为一阶线性非齐次微分方程此为一阶线性非齐次微分方程其通解为：其通解为：11)(2212212Cdxexexpdxxxdxxx 1

4、111222Cdxxxx 211xCx 例例 2下 页上 页 返 回211 xCxy 从而从而dxxCxy 211 即即 212arctan1ln21 CxCxy 下 页上 页 返 回yyy x ln ).2(解解),( xPy 设设代入原方程代入原方程PPPxln )(xPy 此为可分离变量微分方程此为可分离变量微分方程其通解为：其通解为： xdxPPdPln1lnlnlnln CxP 即即xCexP1)( xCey1 即即故原方程的通解为故原方程的通解为:2111CeCyxC 下 页上 页 返 回)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则一阶微分方程方程，一阶微分方程方程，的的代

5、入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)(yP求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为,),(21CxCydy 特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：),(PyfdydPP 型型三、三、),( yyfy ),()(1CyyPdxdy 下 页上 页 返 回.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 3下 页上 页 返 回.122的的通通解解求求方方程

6、程yyy 解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 212PdydPPy ydyPPdP212 即即 12lnln1lnCyP 可可得得yCdxdy121 例例 4下 页上 页 返 回变量分离变量分离得得111 yCdy原方程的通解为原方程的通解为21112CxCyC 2221114CxCyC 即即下 页上 页 返 回一平放的弹簧振子，设弹簧弹力的大小与质点一平放的弹簧振子，设弹簧弹力的大小与质点到平衡点的距离成正比，不计其它阻力，开始到平衡点的距离成正比，不计其它阻力，开始时有时有x=0,速度速度v0 = 0，求质点的运动方程。，求质点的运动方程。x解解由牛顿力学知识得由牛顿力学知识得)0( ,22 kdtxdmkxF型型属属),( yyfy ,dxdPPx 则则),(xPdtdx 设设代入原方程得代入原方程得 mxdxdPP 22,其中其中例例5 下 页上 页 返 回得得xdxdPp2 2212x