经济学专业数学差分方程配套课件

1、2022年年3月月10日星期四日星期四1第四节 差分方程简介 第八章第八章 ( Differential Equations )一、差分的概念及其性质一、差分的概念及其性质二、差分方程的基本概念二、差分方程的基本概念三、一阶常系数线性差分方程三、一阶常系数线性差分方程2022年年3月月10日星期四日星期四2一、差分的概念及其性质2022年年3月月10日星期四日星期四32022年年3月月10日星期四日星期四4差分算子具有下列性质：差分算子具有下列性质： 2022年年3月月10日星期四日星期四5证：证： ttttttzyzyzy11)(ttttttttzyzyzyzy1111)()(111tttt

2、ttyyzzzyttttyzzy12022年年3月月10日星期四日星期四6证：证： ttttttzyzyzy11)(ttttttttzyzyzyzy1111111()()ttttttzyyy zzttttzyyz12022年年3月月10日星期四日星期四7解：解： 421nyyynnn224242.nnyynn 这表明这表明:二次多项式的一阶差分为一次多项二次多项式的一阶差分为一次多项式式, 二阶差分为常数二阶差分为常数. 一般地，一般地，k次多项式的一阶差分为次多项式的一阶差分为k-1次多次多项式项式, k阶差分为常数阶差分为常数, k阶以上的差分均为零阶以上的差分均为零.2022年年3月月1

3、0日星期四日星期四811332 3.ttttttyyy解：解： 2()(2 3 )2 (3 )ttttyy 122 33 23.ttt即即: 指数函数的差分仍然是指数函数指数函数的差分仍然是指数函数.2022年年3月月10日星期四日星期四9二、差分方程的基本概念二、差分方程的基本概念221121(2) ()tttttttttyyyyyyyyy 2022年年3月月10日星期四日星期四10 由通解确定差分方程的某个特解的条件称由通解确定差分方程的某个特解的条件称为为定解条件定解条件. 2022年年3月月10日星期四日星期四11三、一阶常系数线性差分方程三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方

4、程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为对应的齐次方程为对应的齐次方程为1( )ttyayt10ttyay2022年年3月月10日星期四日星期四121、齐次方程的通解、齐次方程的通解方法一：迭代法方法一：迭代法方程改写为方程改写为 1 , 0, 1, 2, ttyayt由逐次迭代法可知，方程的通解为由逐次迭代法可知，方程的通解为, 0, 1, 2, ttyCat其中其中 0yC 为任意常数为任意常数.2022年年3月月10日星期四日星期四131、齐次方程的通解、齐次方程的通解方法二：特征根法方法二：特征根法0)(1arrarrttt0ar该方程称为差分方程的该方程称为差分方程的特征方程

5、特征方程. 2022年年3月月10日星期四日星期四14解：解： 3 ( 4) .tty 与解线性微分方程的情况类似，非齐次线性差分方程与解线性微分方程的情况类似，非齐次线性差分方程的通解等于相应齐次线性差分方程的通解加上非齐次的通解等于相应齐次线性差分方程的通解加上非齐次线性差分方程的一个特解所以，要求非齐次线性差线性差分方程的一个特解所以，要求非齐次线性差分方程的通解，关键是求得它的一个特解分方程的通解，关键是求得它的一个特解2022年年3月月10日星期四日星期四15( ),*( ),tmttmb Qtbytb Qtb不是特征方程的根,不是特征方程的根,是特征方程的根.是特征方程的根.2022年年3月月10日星期四日星期四16解：解： 2210tBtBBy*t2222121053)2(33ttBtBBBBB275 910 35012B,B,B2359102752ttCyt*t2022年年3月月10日星期四日星期四17解：解： *1()3ttyB35B tttCy315322022年年3月月10日星期四日星期四1