第二章圆锥曲线与方程学生理

1、2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程几种常见求轨迹方程的方法1直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆Ox2+y2=R2(aRo)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹2定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些

2、条件直平分线l交半径OQ于点P(见图245)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程3相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代换法)例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程4待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程(三)巩固练习1ABC一边的两个端点是B(0，

3、6)和C(0，-6)，另两边斜率的2 点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是12，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3求抛物线y2=2px(p0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程作业1 两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程2 动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹3 已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AP|，求动点P的轨迹方程2.2 椭 圆2.2.1椭圆及其标准方程把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆其中这两

4、个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为时，椭圆即为点集类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？例3如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程引申：如图，设的两个顶点，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程引申目的有两点：让学生明白题目涉及问题的一般情形；当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴圆的直径椭圆的短轴 212椭圆的简单几何性质 （ii）椭圆的简单几何性质 范围：由椭圆

5、的标准方程可得，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），； 例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标例5如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程补充： 1椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦

6、距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，（准线方程为 ）.2短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 . 椭圆的方程为，M1，M2为椭圆上的点 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 . 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？【推广】你能否将椭圆上任一点到焦点的距离表示成点M横坐标的函数吗？解：代入消去 得【引出课题】椭圆的第二定义当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率对于椭圆，相应于焦点的

7、准线方程是根据对称性，相应于焦点的准线方程是对于椭圆的准线方程是可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为典型例题例1、求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；例2、椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为 .变式：求到右焦点的距离为 .例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；解法一：设为所求轨迹上的任一点，则由化简得，故所的轨迹是椭圆。解法二：因为定点A（2，0）所以，定直线所以解得，又因为故所求的轨迹方程为问题1：求出椭圆方程和的长半轴长、短半轴长

8、、半焦距、离心率；问题2：求出椭圆方程和长轴顶点、焦点、准线方程；解：因为把椭圆向右平移一个单位即可以得到椭圆所以问题1中的所有问题均不变，均为长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为；过点A、B、M分别作出准线的垂线，分别记为由梯形的中位线可知又由椭圆的第二定义可知即又且故直线与圆相离例5、已知点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且求的最小值分析：应如何把表示出

9、来解：左准线：，作于点D，记F1AMD由第二定义可知： 故有所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是变式1：的最小值；变式2：的最小值；1已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_2若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是_3. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点若 ， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程思考：1方程表示什么曲线？ 2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦

10、点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 由正弦定理得： 由等比定理得：而， 。已知椭圆的焦点是F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F2120°，

11、求tanF1PF2 解：(1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c2，b 椭圆的方程为1(2)设F1PF2，则PF2F160°椭圆的离心率 则，整理得：5sin(1cos) 故，tanF1PF2tan 2.3双曲线 221双曲线及其标准方程 把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为时，双曲线即为点集例1 已知双曲线两个焦点分别为，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题具体解：设动圆的半径为 与内

12、切，点在外，因此有，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，即的轨迹方程是； 与、均外切，因此有，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，的轨迹方程是； 与外切，且与内切，因此，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，的轨迹方程是例2 已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、分别是西、东、北观察点，则， 设为巨响发生点，、同时听到巨响，所在直线为，又因点比点晚听到巨响声

13、，由双曲线定义知，点在双曲线方程为联立、求出点坐标为即巨响在正西北方向处探究：如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并与§21例3比较，有什么发现？探究方法：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程222双曲线的简单几何性质 （ii）双曲线的简单几何性质 范围：由双曲线的标准方程得，进一步得：，或这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：圆锥曲线

14、的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为试选择适当的坐标系，求出双

15、曲线的方程（各长度量精确到）解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：注意建立直角坐标系的两个原则；关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由解题剖析：设为“等距离”线上任意一点，则，即（定值），“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为理由略例5 如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程分

16、析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程 3.课题:双曲线第二定义111111111111111111111111111F2F1HHxoy1、引例：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线的距离之比是常数,求点M的轨迹方程.解:设是点M到直线的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P=M|, 即 所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。由例题可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线为,常数为离心率>1.2、 双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线的距离之比是常数时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,

17、0)是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。例如PF是双曲线的焦半径。三、1.求的准线方程、两准线间的距离。2、已知双曲线 3x 2y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。(A) (B) (C) 2(D) 43、如果双曲线上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是 4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e. 5. 双曲线的 ，渐近线与一条准线围成的三角形的面积是 . 四、巩固练习：1已知双曲线= 1(a0，b0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A，OAF面积为

18、（O为原点），则两条渐近线夹角为（ ）A30°B45°C60°D90°2.作业： 1、双曲线的一条准线是y=1,则的值。2、求渐近线方程是4x,准线方程是5y的双曲线方程3、已知双曲线的离心率为2,准线方程为,焦点F(2,0),求双曲线标准方程.2.4抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 （1）抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离可得焦半径公式设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p特别地：当ABx轴，抛物线的通径|AB|=2p2.4.1抛物线及标准方程由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点