曲线方程的表示方法

1、第一章曲线论§1.1曲线方程的表示方法曲线的概念：曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。现实中的各种轨迹曲线图形。在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标表示为（x,y,z）,x轴、y轴、z轴上的单位向量分别记为i,j,k。向量r=OP=xi+yj十zk,可简记为r=(x,y,z)。yx2y2z2。一一J，.一对任意向量a,b,成立三角形不等式4H44l|a+b|F|a|b|,la,-l|b|-|a-b|o补充知识：（1） 向量的内积TT设a=(a1，a2，a3),b=(bi，b2，b3),定义ab=|a|b|cos。,称为向量a与b的内积；记为ab或(a,b),其中a是向量a与b的

2、夹角。fT可以证明：ab=aibia2b2a3b3。'2,'22211a|=(a,a)二叫a?a?；|ab|2=(ab,ab)二|3|2+2(获)+|b|2o（2） 向量的外积（或叉积）定义向量1的大小为?-kl|a|1|b|sin。,（0。），且C与a,b垂直，方向为使a，b,C恰成右手坐标系，此向量c称为a与b的外积，记为ab；在直角坐标系中，可以证明:=(ai,a2,a3),=(bi,b2,b3),Trnaa?b2ka3b3a2b2a3b3ai)jalbia2b21a2lb2a3b3aibib3aibia2b2外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算Ilab|

3、=|a|2|b|2sin2。二|a11211b|2(1-cos2)=|/2|向|2-51)2。设a二(ai,a2,a3),b=(23),Tc=(G。)混合积彳a1a(b父c)=b1a?b2C2(bc)a3b3C3二(a,b,c),日囱a-444444显然有a(bc)=(ab)c=(ca)b几何意义二重外积展开式a(bc)=(ac)b-(ab)c(ab)cc(b)(ac)b-(bc)aoLagrange恒等式aaaaac(axb)。d)=44bc(ab)(cd)=(a,b,d)c-(a,b,c)d二(c,d,a)b-(c,d,b)a。定理设T=（弁H）为三阶正交矩阵,a=(202),b1bl也，

4、-3433则有(aT)'(bT)=sgn(detT)(axb)T。证明aT=a(：,，2,办=(a工,a2,abT=解二,力花：屋2,33),由外积的计算公式，并利用Lagrange恒等式,可得724aM)T-111/V2244MsTa.bTa-11-1M3arb-33d1J-c.afbobJ-1d-1T(aa*b-,)/d3!I&bT*;2wb)DTab4fa=(ab)sgn(detT)(：1,：2，：3)=sgn(detT)(aMb)T)这是由于用,，2,，3构成右手系，或构成左手系。求z=Jx2+y2-2x-4y+9+Jx2+y2-6x+2y+11的最小值.解Jx2+y2

5、_2x_4y+9=J(x-1)2+(y_2-(022是点P(x,y,0)与点A(1,2,2)的距离，又Jx2+y2_6x+2y+11=J(x-3)十(y+1)2十(01)2是点P(x,y,0卢点B(3,1,1)的距离也是点P(x,y,0卢点C(3,-1,1)的距离，由于|AB|引PA|十|PB|,故z的最小值为|AB|=J22.注意点A(1,2,2)与点C(3,1,1)同在xOy平面的一侧，在xOy平面上寻找一点P(x,y,0)叫PA+|PC|最小，点B(3,1,1)是点C(3,1,1)关于xOy平面的对称点，|PC|=|PB|,|AC|=J14,此题的几何意义是经典熟知的.、平面曲线的几种表

6、示方法1°显表达：y=f(x),函数y=f(x)的图象G(f)说成是一段曲线。y=f(x)是该曲线的表达式，如果某曲线是函数y=f(x)的图象，则y=f(x)称为该曲线的显表达式。2。隐表达式：如果曲线上的点是由方程F(x,y)=0的解(x,y)所构成，则方程F(x,y>0表示该曲线例如：F(x,y);x2y2-a2=0表示一个圆的曲线，F(x,y);axbyc=0,22(a2b20)表示一个直线。30曲线的参数表示:如果曲线上的点可由:xxx(t)ty=y(t),J的点(x,y)来描绘,则称它为曲线的参数方程.、.，22例如：单位圆x+y=1有参数表达x=sin9,6y=co

7、s71,或1-t21t22t1t2(-2tan2在x=sin1tan22,211-tan一2ry二cos=f中2，1tan2e2t则有x=门令17ana，（即是万有代换）,1-t2y21t2单位圆的参数方程的几何意义：过（-1,0）作斜率为k的直线与单位圆的交点坐标。设斜率为k,则过点（-1,0）的直线方程为y=k（x+1）,求它与圆x2+y2=1的交点，联立得k2（x+。2+x2=1,22220,1-k2x万,1k2利用求根公式解得,从而V2kk2'1-k2xx1k2,2kV2,1k为单位圆的参数方程。例如：椭圆2x+2ab2二1有参数表达工4x=asint,y=bcost,0,2o

8、例1、x=a(t-sint)y=a(1-cost),参数方程0工-2所确定的曲(k2+1)x22k2xk2-1线称为旋轮线（也称为摆线）来源背景，它的几何意义是:当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆上一个固定点P所描绘出的路径（曲线）叫做旋轮线（也称为摆线）。方程建立的过程。手工操作运动法。课外搜索阅读：摆线、最速降线的文献资料。4°曲线的极坐标表示:<e<极坐标表示与直坐标表示可以互化，x=r（fl）cos9,y=r，）sin0。几种表示的优缺点:、空间曲线的表示方法10参数表示法：x=x(t)y=y(t)z=z(t)所形成的点(x(t),y(t),z(t),描绘出空

9、间中的一条曲线，称为曲线的参数表示。例如：x=acostIy=asintz=bt(-,),(a0,b0)由于x2它的几何意义:线。_2a,它的图形是圆柱螺圆柱螺线的产生方式：将平面上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。螺线的运动产生方式。列举常见的螺线2。曲线的向量表示法向量：既有大小又有方向的量称为向量。在选定坐标系下一，二+：+：向量的表示：r=xejyeTzq,或r=(x,y,z)ox=x(t)把参数曲线y=y，twa,P、z=z(t)改写成向量形式r=r(t)=(x(t),y(t),z(t),t：,两者表示的是同样一条曲线，r=r(t)=(x(t),y(t),z(t),t,称为该曲线的向量方程。定义1.1如果x=x(t),y=y(t),z=z(t)都是区间/上的连续函数，那么曲线x=x(t)<y=y(t)twpz=z(t)''称为连续曲线。空间曲线的一般定义：设是一个区间，定义在I上的向量值