微分中值定理

1、微分中值定理班级:姓名:学号摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点(根)的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.罗尔定理定理1若函数f满足下列条件:(1)在闭区间a,b连续；(2)在开区间(a,b)可导；f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点使得f()=0几何意义：在每一点都可导的

2、连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。(注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.)例1若f(x)在b,b】上连续，在(a,b)内可导(a>0),证明：在(a,b)内方程2xf(bf(aX=(b2-a2f(x)至少存在一个根.证明：令Fx=fb-faX2-b2-a2fx显然F(x而a,b】上连续，在(a,b)内可导，而且Fa=fba2-b2fa=Fb根据罗尔定理，至少存在一个之，使2fb-fab2-a2fx至少存在一个根例2求极限：limxPex-(12x)2ln(1x2)解：用ln(1+x2)：x2(xt0)有ex-(12x)12In(1x2)x

3、1ex-(12x)-22x1ex-(12x)52x1ex(12x)，22:12拉格朗日中值定理定理2:若函数f满足如下条件：(1)在闭区间a,b连续；(2)在开区间(a,b)可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点J使得f(b)-f(a)=f()b-a显然，特别当f(a)=f(b)时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论.这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点P(£f(，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：f(b)f(a

4、)=f'(D(b-a)a<<b,f(b)f(a)=f'(a+e(b-a)(b-a)0<e<1.f(a+h)f(a)=f'(a+8h)h0<e<1值得注意的是：拉格朗日公式无论对于a<b,还是a>b都成立，而之则是介于a与b之间的某一定数.而后两式的特点，在于把中值点e表示成了a+6(b-a),使得不论a,b为何值，日总可为小于1的某一正数.例3求证ln(1+x)<x,(x>-1).证明：当x=0时，显然ln(x+1)=x=0设x/0对f(t)=lnt在以1与1+x为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，存在介于1与

5、1+x之间的:,使f1x-f1=f'1x-1,即x1m(1十*)=至当乂<0时，0<巴<1,>1,但此时注意ln(x+1师x均为负值，所以仍有ln(1+x)Mx,即对x>-1不等式包成立.当x>0时，>0,0<1,所以有ln(1+x)Mx.例4证明当b>a>e时，ab>ba。证明：要证ab>ba,只要证lnalnb>ab设f(x)="x,xwbb1由f(x)在B,b】上连续，在(a,b)内可导，x且f'(x)<0于是1na-1nb=f(b)-f(a尸f,(Mb-a)<0,ab1n

6、aA1nb故原式成立.ab推论1若函数f在区间I上可导，且f'(x)三0,xwI,则f为I上的一个常量函数。推论2若函数f和g在区间I上可导，且fx)=g，(x),xwI,则在区间I上f(x)和g(x)只相差某一常数，即：f(x)=g(x)+c(c为某一常数)推论3(导函数极限定理)设函数f在点的某邻域U(x。)上连续，在U°(%)内可导，且极限limf'(x)存在，则f在点为可导，且xxof(x。)=limf(x).x>x)柯西中值定理定理3(柯西中值定理)设函数f和g满足(1)在闭区间a,b上都连续；(2)在开区间(a,b)内都可导；(3)f(x)和g

7、9;(x)不同时为0;(4)g(a)#g(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点-,使得f(b)-f(a)_f()g(b)-g(a)g()x2例5证明1n(1+x)>x-,x>022证明：令f(x)=In(1+x),g(x)=x-土则就是求f(x)>g(x),x>02丁f(0)=g(0)对f(x),g(x)在(0,1)上用柯西中值定理有：段1=f(x)-f(0)=步,(0,1)就是证明：«)Ag代)，即g(x)g(x)-g(0)ggK)_1Y_1+21(gw当0<七<x,工1>0,即f«)>11g().所以原式成立。例6函数

8、f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，试证：存在之w(a,b),使得f(b)-f(a)=(ln与f().a证明：令F(x)=lnx,易知f(x),F(x)在a,b上满足柯西中值定理的条件，于是可得存在Uw(a,b),使f(b)-f(a)f()出,F(b)-F(a)F()即f(b)-f(a)f()InbTna1E亦即f(b)-f(a)=(lnb)f().a求不定式极限：1.0型不定式极限0定理4若函数f和g满足：(1)limf(x)=limg(x)=0;xF0xF0(2)在点小的某空心邻域U0(x0)内两者都可导，且g'(x)#0；(3)lim2;凶

9、9;=A(A可为实数，也可为坟或叼，xfg(x)则limglim再必Xrg(x)x既g(x)例7求limx0xxx(e1)-2(e-1)解：这是0型不定式,0limx_0xxx(e1)-2(e-1)=limxP3xxxx(e1)xe-2e=limxp3x1xex-e=limxp3x2xxxexe-e6x例8求lim乌ftanx解容易检验f(x)=1+cosx与g(x)=tan2x在点x0=n的条件下满足洛必达法则的条件,又因所以f/xsinxlim/=lims一一gxJ2tanxsecx_3cosx1x二22fxf/x1lim=lim-二-XfgxXfgx22、二型不定式极限oO定理5若函数f

10、和g满足(1)limf(x)=limg(x)=二xf0xx0(2)在点小的某右邻域u%)内两者都可导，且g'(x)#0；(3)lim£0=A(A可为实数，也可为加或空),x-及g(x)lim5lim4Axfg(x)x-;x0g(x)例9求limln(Sin3x)xPln(sinx)解：这是二型不定式，故Q0limln(sin3x)x0ln(sinx)3cos3xsinx=limx0sin3xcosx3cosxcos3x-9sin3xsinx=limx03cosxcos3x-sin3xsinx=1微分中中值定理在级数方面的应用例10设g(x)在点x=0的某领域内有二阶连续导数，

11、并且有下面的极限:幽=0,证明Zg(1)绝对收敛。nmn证明：丁1mgx=0,且g(x)在x=0处可导数有g(0)=0,g'(0)=0.1.o1.g(x)=g(0)g(0)x,g()x=2g()x2.0：x.,g(x)=二当x=ma2n21一一由于'?一收敛，由此可知'g(一)收敛n：12nnTnoO例11证正项级数£枭(d>0)收敛.nS；.一1,C.证明：作辅助函数f(x)=，则f(x)=-F.当n之2时，在&口&上用中值定理，有f(Sn)-f(SnJ)=f'(n),(S2S)Sn-'Sn于是anan1/11、,二F.

12、=一(77一飞)Sn，n-Sn二Sn,:-111一一I,1由£1(*-4)收敛，即得所证.n"SnSn"讨论方程根的问题：例12a为多项式f(x)的二重根的充要条件是a同为“*)与£(x)的根.证明：必要性设a为f(x)的二重根，则f(x)=(x-a)2g(x),(g(x)是多项式),于是2f(x)=(x-a)g(x)2(x-a)g(x),故f'(a)=0.充分性右a是f(x)、f(x)的根，则有多项式g(x),使f(x)=(x-a)g(x),两边求导有''f(x)-(x-a)g(x)g(x),故f(a)=g(a)=0,即a是g(

13、x)的根，则g(x)=(x-a)h(x)，从而f(x)=(x-a)2h(x),即a是f(x)的二重根.一些不等式的证明：例13设&鼻,4都是正数，有不等式厢2=或&亘曳nn其中等号成立=a1=a2="=an证明：取函数f（x）=lnx,它的定义域是区间（0,+=c）故1.1f(x)=,f(x)=xx不妨设a10a20<anaa2.an.a0=或a1+a2+.+anna0=0将函数“*）=m*在8展开泰勒公式（到二阶导数）1,、1,1、，、Vx>0有Inx=lna。+(xa。)+(vy)(xa。)a2!2.1其中2于a。与x之间，显然-（2!1于是，Vx>0有lnx=lna十一(xa)a0当乂=&e2）飞三（0,收）时，分别有1lna1三lna0(a1-a0)a0，1，、lna2-lna0(a2-a0)a0，.1，、lnan'lna0(ana0)a0将上述n个不等式两端分别相加，有:,，1lna1lna2lnan&nlna0a1a2an-na0a0=nlna0即：；ln'a1a2anylnJO-亦即:狗a2an<aia2.an所以，不等式中等号成立=ai=a2=4亦即:a1a2一一annaia2.一an,-2n因为12!1J。所以，不等式中等号成立W4二