概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

1、概率论与数理统计作业4(§2.1§2.3)一、填空题1.常数b=1时,Pk=bk(k1)(其中k=1,2,.)可以作为离散型随机变量的概率分布2 .同时掷3枚质地均匀的硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为.23 .X-P(2)则P(X父2)=0.594=1-3e-2二、选择题设随机变量X是离散型的，则【d】可以成为X的分布律门0'xXiX2(A)(p是任意实数)(B)003e，3n(C)PX=n(n-1,2,.)(D)PX=nn!三、计算题X3X4Xs'0.30.2J0.213n(n=0,1,2,.)1.一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取

2、1个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布。解：设X表示取得合格品以前已取出的废品数，则X=0,1,2,3;P(X=k)-P3kpI七1概率分布表如下X0123P(Xi)912944922012202对一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为p,求射击次数的概率分布。解：设X表示射击次数，1_k则x=i23;P(X=k)=p(1p).概率分布表如下P(X=k)C：C4-k16概率分布表如下X01234p(Xi)0.20660.45080.28170.05780.0031C60X123-nP(Xi)ppq2pq*n-1pq0.,3.20个产品中有4个

3、次品，(1)不放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布;(2)放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布。解：(1)不放回抽样，设X表示样品中次品数，则X=0,1,2,3,4;XH(6,4,20)(1)放回抽样，设X表示样品中次品数，则X=0,1,2,3,4;XB(6,0.2)P(X-k)-Ck0.2k0.86*.概率分布表如下X0123456p(xi)0.26210.39320.24580.08190.01540.00150.00014.一批产品分一，二,三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个检验质量，设X表示抽出产品的级数，写出它的概

4、率函数.解：X=1,2,3;概率分布表如下X123p(xi)472717概率论与数理统计作业5(§2.4§2.7)一、填空题1.设随机变量X的密度函数f(x)=2x1WxM2,则P(X<1.5)=0.875其它；PX=1.5=2.设随机变量X的密度函数为f(x)=<1k1-Ix1<x<2其它则k=2函数一可否是连续随机变量1x2X的分布函数，如果X的可能值充满区间:解：不可以.因f(+°°)=lim2=0=1.F-limx1x15=0;F0；=lim2x>01x2=1.且F(x座(一8,0证单调非减,M0-=可以是连续随机变

5、量X的分布函数0三、计算题1.已知随机变量X只能取-1,0,13571,2四个值，相应概率依次为2c'4c'8c'16c1)确定常数解：12c16cc；35+4c8c37=1,c=16PX-1PX=1PX=1PX=22)计算P(X<1|X#0);*pp(x<1nx*0)解P(X<1X#0)=二P(X=0)=2c25157+2c8c16c3)求X的分布函数并做出其图像x：-1解F(x)=T3720-1<x：037303711Mx2x：-12.设离散型随机变量X的分布函数为F(x)0.40.71X-113p(xi)0.40.30.3当x<1解:

6、3.随机变量X的概率密度为当x_1求：(1)系数A;0=1=1A解由Cdx=1=2Aarcsinx-1VT7(2)随机变量X落在区间-11;内的概率;<2,2J解：P-17bxdx2x(3)随机变量X的分布函数。解：当x三-1时，Fx=0;当一1x1时，xfx)=Dtdt1一0dt'二、1-12dt4+arcsinx;冗当x二1时,xFx=ftdt1_0dt"二11-12dtx10dt=1.0,二F(x)=«jiarcsin1x14.（拉普拉斯分布）随机变量X的概率密度为f（x）=Ae-x，一m<x<+r,求：(1)系数A;二二_x0.A=fxdx

7、=Aedx=aexdxe"dx；J2A=1,-01_l_x|(2)施alixX而间(0,1。帝昭x<十”.1e，dx2e(3)随机变量X的分布函数。解当x«0时,F(x)=/f(tdt=广1etdt=1ex;工22x01,x1,1当x_0时，Fx=ftdtetdtedt=1e);二二_20221 x-e,x<0;二F(x)f21工0x<05.设连续型随机变量1X2热布函数为V(x)=«Ax20<x<11x111) 求系数A;解1=F1=F1-0=A,A=1.2) P(0.3<X<0.7);解P0.3X:0.7=F0.7-F

8、0.3=0.72-0.32=0.4.3）概率密度函数f（x）.解f(x)=F'(x)=+2x,0其他26 .设XU(0,6),求方程x2+2Xx+5X4=0有实根的概率解X-U0,6f0x6其他1概率密度为f（x）=6，0方不§x2+2Xx+5X4=0有实根u=4X245X4=4X25X4=4X4X-10=X-4或*-1.,、41即求PX一赋X_1=1-P1X4=1-16x-100,某一个电子设备内配有其它1003个这7 .某型号电子管，其寿命（以小时计）为一随机变量，概率密度f（x）=x2I0样的电子管，求电子管使用150小时都不需要更换的概率.1501001解：每个电子管

9、使用150小时需要更换的概率为P（X<150）=一idx=,100x233个电子管使用150小时都不需要更换的概率为P30=C012小概率论与数理统计作业8(§3.1§3.3)一、填空题X1.X,Y独立同分布一P1/32/35_4则PXYw1；=5,EXY；=4.2.设X的密度函数为f(x)2(X)00:二x：二1其它，则992E(X)=1/3,E(X)=1/63.随机变量X的分布率为XP-200.40.30.3E(X)-0.2一，一，2、E(3X5)=13.44.已知随机变量X的分布列为p(X=m)m=2,4,18,20”则10E(X)=U5.对两台仪器进行独立测试

10、，已知第一台仪器发生故障的概率为发生故障的仪器数，则EX=p1-p2二、计算题p1,第二台仪器发生故障的概率为p2.令X表示测试中1.连续型随机变量值。X的概率密度为kxaf(x)=00：二x：二1(k,a0)又知E(X)=0.75,求k和a的其它1k解由f(xdx=kxdx=1,得=1,f0a11.ak又E(X)=0.75则有xf(xdx=fxkxdx=0.75，得=0.75,一：0a2故由上两式解得k=3,a=2.2 .对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品,都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为

11、p,求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则：P(X=m)=pqm,(m=1,2,3,4);P(X=5)=pq4q5=q4(pq=1)x的概率分布表如下:X12345P(X=m)ppq2pq3pq4q234234EX=p2pq3pq4pq5q=5-10p10p-5pp3 .设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为2122xyx三y三1fx,y=40其它1)求E(X)E.评E(XY)2)求X与Y的边缘密度函数；1121212137解1)EX=jxf(x,ydxdy=dx2xx2ydy=f一(x3_x7)dx=0；工x481121217287EY二iiyfx,ydx

12、dy=dxyxydy=x-xdx;-x449112121739EXY)=iixyfx,ydxdy=dxxyxydy=x-xdx=0;_ix4141 212,21262 xydyx-xx482)当xM1时，fx(x)=/f(x,ydy=当x芝1时,fX(x)=0.21fxx=3x当0wyw1时，fY2-x6,)x<1;°y)=。xx1ydxy212.7xydx=一-y425y;当y1或y0时，fYy=0.概率论与数理统计作业9(§3.4§3.7)一、填空题1、，一山1.设随机变量X1,X2X3相互独立，其中X1在0,6上服从均匀分布，X2服从e(一),X3服从

13、参数为九=3的2泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3,则D(Y)=46,、1、，、2.随机变量X,Y相互独立，又XP2)YB8,I则EX-2Y=-2,DX-2Y=_814/'一1-3.随机变量XB(10,0.6),YP(0.6)，相关系数R(X,Y)=-,Cov(X,Y)=0.3一44、若XB(n,p)，且E(X)=12，D(X)=8，则n=36二、选择题1 .设随机变量x和丫的方差存在且不等于0,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是x和丫的bA)不相关的充分条件，但不是必要条件；B)独立的必要条件，但不是充分条件；C)不相关的必要条件，但不是充分条件；D)独立的充分必要条件2 .设*

14、P(K)，且E-(X-1)(X-2力=1，则儿=AA)1,B)2,C)3,D)0_13 ."Mx相互独立同九=3的泊松分布,令丫=炉+23则E(Y2);cA)1.B)9.C)10.D)6.4.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于A)-1B)0C)1/2D)15 .设随机变量D(X)=2,D(Y)=2,而且X与Y不相关，令U=aX+Y,V=X+bY,且U与V也不相关，则有(C)A)a=b=0；B)a=b#0；C)a+b=0；D)ab=06 .若PX,Y表示二维随机变量（X,Y）的相关系数，则“PX,Y=1”是“存在常数ab（b#0）使得

15、P9=a+bX=1的（c）A）必要条件，但非充分条件；B）充分条件，但非必要条件；C）充分必要条件；D）既非充分条件，也非必要条件.三、计算题1、一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个，如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的方差.解：设X表示取得合格品以前已取出的废品数，则X=0123;P(X=k)=P3kP91"PT概率分布表如下X012399911p(xi)12442202202922351EX=0.3,EX=,DX=EX-EX=0.319.11002、设随机变量X的概率密度为f（x）=nJ101I-x2|x|<1，求D(X)

16、|x|-11)EXEX21二1-1_二1-x2x2dx2dxx二0,1dx,1x2令x=sint,dx=costdtjiDX=EX2=2102(Sint)2dtyI2力1-cos2t3.二维随机变量（X,Y）在区域r：0MxM1,0MyMx上服从均匀分布，求：（1）数学期望EX及EY；（2）方差DX及DY；（3）协方差cov（X,Y）及相关系数R（X,Y）解：由题设得f(x,y)=«2,0ExE1,0MyMx什,则0其它EXEY二EX2-J-J-xfx,ydxdy=2dxxdy=;一.一.003一yfx,ydxdy-2dxydy二二;00:2.xfx,ydxdy=20dx0xdy=&

17、amp;EY221-EY18二二1x_.yfx,ydxdy-20dx0ydy2212DX=EX-EX;DY=EY18covX,Y=EXY-EXEY36，RX,Y=covX,Y.DXDY4.设(X,Y)的联合概率分布如下表所示，计算X与Y的相关系数，并判断X与Y是否彳i立？解:X-101P(Xi)313848Y-101p(yj31384819p(1,1px(-1m(-1)=-，二X,y不独上864EX=0,EY=0,23332333EX2二一一二，EY2二一一二一,8848843 3DX=,DY=一.4 41111EXY0.8888RX,Yi=C0VX,Y，0.、DXDY.111155.(X，Y

18、)只取下列数组中的值：(0,0),(-1,1),(-1,-),(2,0)且相应的概率依次为一，一，一，一，3631212求X与丫的相关系数，并判断X与丫是否独立？解：由题设得EX5,EY12EXDX25/1200X-102P(Xi)51216512Y0113p(yj712131121336空,EY2.包12108275275一,DY36RX,Y=covX,YDXDY13513=361236二卫804.,35275275x123635:p(1,0)=0=Px(1)Py(0户卫JX,Y不独立。1446.两个随机变量(X，Y)，已知D(X)=25，D(Y)=36，R(X,Y

19、)=0.4，计算D(X+Y)与D(X-Y).DXY1=DXDY2covX,Y=DXDY2RX,Y一DXDY解：二253620.456=85;DX-Y=DXDY-2covX,Y=DXDY-2RX,YDXDY=253620.456=37.,5.fY(y)=2y:0-y-1;0,y1或y0.概率统计作业10(§3.8§4.2)1 .随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式估计P(|x-E(X、=2)2 221解P(X-EX>2)<=.422 .利用切比雪夫不等式估计随机变量与数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率.、DX1解P(X-EX33g)<2=上0.1

20、111.9193 .为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验，利用切比雪夫不等式估计：用事件作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率.解：设事件A在每次试验中发生的概率为p,在这10000次试验中发生了X次，则EX=np=10000P=10000p,DX=10000P(1-p),因此，所求事件的概率为_fXP110000_p<0.01户PQX10000P<100)=P(XEX<100)之1=3一p；叫Q5p+p24、填空题=3+|p_1I1)设XN(3,42)则E(x<2)=125A在10000次实验中发生的频率DX100212)随机变量x-N(20

21、,22)若P(XMa)=则a=20_23)X,Y服从相同分布n(E仃2)则E1X+bYj(aXbY9=(a2b2/2+口2)5)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=1=e/2*x',则X的数学期望为，X的方差为0.5.5.设随机变量X服从正态分布N(1,22),查表求：(1)p(X<2.2);(2)p(-1.6<X<5.8);(3)p«X<3.5i(4)pX,4.56.，22-11解(1)p(X<2.2)=222i=G(0.6)=0.7257;<2)2p-1.6<X5.8=。5.8- 1)小(-1.6-1)c不，.c丁巴丁尸仆

22、叫.3=：，2.4-1f1.3=0.8950;(3)p(X<3.5)=中'3.5-1-中'-3.5-11=(1.25)-4-2.25)I2J22)=：，1.25-1一12.25)=0.8822(4)p(X之4.56)=1-p(|XM4.56)=1-"456111-9-4.56-1111<2J<2JJ=1-T1.78-：，-2.781=2-：，1.78-力2.78=0.0402.6.设测量两地的距离时带有随机误差X，其概率密度为f(x)00<x<°°求1)测量误差的绝对值不超过30的概率；2)连续独立测量3次，至少有一次

23、误差的绝对值不超过30的概率.解：1)由题设XN(20,402)3t不30-201不-30-20I不/p(X<30)=中卜9尸(0.25)-6(-1.25)<40J<40J-：'0.25-1一向1.25=0.4931;2)设丫表示连续独立测量3次，“误差的绝对值不超过30”所发生的次数,4)设随机变量XN(2,tr2)3P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)=0.2则丫B(3,0.4931),所求为pY_1=1-pY=0=1-1-0.49313=1-0.50693=0.8698.概率论与数理统计作业13（§6.1§6.2）一、填

24、空题.若X是离散型随机变量，分布律是nPX=x=P（x;8），（0是待估计参数），则似然函数口P（xi;6）,Xi1是连续型随机变量，概率密度是nf（X；6）,则似然函数是口f（Xi；0）oi1.若未知参数0的估计量是e,若e6=e,称e是a的无偏估计量。设4401,02是未知参数0的两个无偏估计量,若dd=d仇，则称e1较a2有效。22.对任意分布的总彳样本均值X是总体均值k的无偏估计量。样本方差S2是总体方差仃2的无偏估计量。.设总体XP（九），其中九0是未知参数，X1，Xn是X的一个样本，则九的矩估计量为X极大似1，x=1,2,3.如果取得样本观测值为X1，x2；一，xn，求参然估11为

25、X。二、计算题一1.设总体服从几何分布：P（X=x）=p（1_pX数p的矩法估计量和极大似然估计。解先求矩法估计量：1EX=,令EX=X,P1一即一二X,解得P'p的矩估计量为?=X再求极大似然估计构造似然函数：L（p）=np（1pjxii=1lnLp=nlnpXi-nIn1-pdp解彳Pp的极大似然估计值为p=nn、Xii12.设总体x的概率密度为f（x*）=Q1)x；0:二x：二1一.一，其中8a1是未知参数，X-，Xn是来自X其它1,n的容量为n的简单随机样本，（1）求日的矩估计量；（2）求日的极大似然估计。解EX=xf(x;i)dx=x11x?d0一口r1.1令EX=X，即仁2

26、=x,?2X-1解得日的矩估计量为?=-1一X对于总体X的样本值x1,x2，xn,似然函数为nL(u)eIf(xi；R=i11+1)'(x"xn卢,<0,0Xi1(i=1,2,n),其他.当0<xi<1(i=1,2,，n)时，L(日)>0,取对数得nInL(f)=nIn二1八Inxi,对6求导数，得InxidInL(Rd人dInL(。)d1Inxi=0,解得n“Inxiy于是日的最大似然估计值为6=-1nn二Inxii=1X3.X的概率分布为一P-22，其中211-二？1-2.一.10(0<6<)是未知参数，利用总体x的如下31303123

27、二2,样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求日的矩估计值和最大似然估计值。解：EX=21(1-r)2铲3(12i)=3-4f,x=令EX=X,即3-4=X=2,解得日的矩估计值为?二工4对于给定的样本值，似然函数为nL-=：pxi；u=4161-11-2-4iTInL二-In46ln2ln1一)；4ln12、dInL6286-28242dI二1-11-2111-11-29'dInL-0,duA解得F2=12127131又“122故e的最大似然估计值为7-13J=125.设某种元件的使用寿命X的概率密度为2ef(x,u)=°，其中0>0是未知参数，X1，Xn是来自总体X

28、的简单随机样本，(1)求总体X的分布函数F(x)；(2)求日的最大似然估计量日；(3)用日做H的估计量，讨论它是否具有无偏性。解：当xM6时，F(x)=0;当x±9时，F(x)=rf(tdt=r00dt+fx2ef-0ht=1-e,(x叫xF(x)=Lf(t)dt=«(2)对于给定白样本值，似然函数为nn.nn2%,xi-2>'xi-n'Li-fxi;-2e'xi"-2nei-=2neii1i=1lnL'n-nln2-21xi-n1-2n1-2xinln2iViWdlnL12n0,du,故lnL(日)是8的增函数，当日取得最大

29、值时，lnL(日)最大。A(3)先求6而8Wmin(x1,x2，xn>故日的最大似然估计量日=minX1,X2，XnI的分布函数。F?x=P?Mx=PminX1,X2,Xn<x=1-PminX1,X2,Xnx'=1-PX1x,X2x,Xnx'=1-1-fxn；1-en(x)x>9,=3、0,x<9.，概率密度为f?x=dF?xdx；2ne/n(xJ),x>日,0,x<6.因为E?=xf?xdx=2nxenx")dxu田1=日+丰0，2n所以9作为日的估计量不具有无偏性概率论与数理统计作业14(§6.3§7.1)填

30、空题1、设总体XN(N,。21X1,，Xn是X的样本，则当仃2已知时，求N的置信区间所使用的统计量为X2,X-1Z；Z服从N(0,1)分布；当a未知时，求N的置信区间所使用的统计量Z=-,Z服从nnt(n-1於布2、设总体X-N(巴o2)X1,Xn是来自X的一个样本，则当N已知时，求仃2的置信区间所使用的统计量为巧(XT)；Z服从/2(n)分布.则当N未知时，求仃2的置信区间所使用的统计量为£(Xi-X)iHZ服从z2(n-1)分布.3、设由来自总体XN(N,。2林量为9的简单随机样本，得样本均值X=5,则未知参数N的置信度为0.95的置信区s,、一间是X-ta(n1)X+；Jn万-

31、S-ta(n-1)，即(50.77s,X+0.77S)“n一1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个,14.6,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信概率(1)已知标准差为0.15毫米；(2)未知标准差X-解：(1)因。已知，取uN(0,1)1-1=0.95厂=0.05,测得直径(毫米)如下：15.2,14.8.0.95的置信区间.如果:二N的置信水平为0.95的置信区间为Xa一nU：XCTnU又X=14.911产=0.15,n=9,Uo(=U0.025=t0.025(aO)=1.96,2故N的置信水平为0.95的置

32、信区间为(14.813,15.009Ji,X-1.,(2)因CT未知，取t=一tn-1,S-n1-二二0.95，二=0.05,.,s.-.-s.-二N的置信水平为0.95的置信区间为X-=ta(n-1)X+-=ta(n-1).14n2Vn至1又X=14.911,s=0.203,n=9,ta(n-1)=t0.025(8)=2.31,2故N的置信水平为0.95的置信区间为(14.75,15.07)2.进彳f30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值求零件加工时间的均值及标准差对应于置信概率x=5.5秒，样本标准差s=1.7秒.设零件加工时间是服从正态分布的,0.95的置信区间.解：因仃未知，取t=

33、1-：=0.95,：二N的置信水平为0.95Xtn-1,Sn=0.05,的置信区间为X-=ta(n-1)X+n25.5,s=1.7,n=30,t£n1)=匕.025(29)=2.04,故R的置信水平为0.95的置信区间为n.1S224.867,6.133.0.95,-0.05,二C的置信水平为0.95的置信区间为n-1S222n-1,n-1S222n-1X=5.5,s=1.7,n-30,'二冲T-2002529=45.7,20.97529=16,2故仃的置信水平为0.95的置信区间为（1.354,2.289）2.从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命（以小时计）为105

34、0112012501280,设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为X-1解：因仃未知，取t=t（4）Sn11000.95的单侧置信下限.000000000000 -0.95厂=0.05,Ptt-n-1屯=1-Ptt-n-1->1->-0.95,又tjn-1）=t0.05（4）=2.13，由tcta（n-1）解得sN的置信水平为0.95的单侧置信下限为X一一尸%（门-1）=1064.98.n(JXF-4、设总体XN（N,。2）,已知仃=仃0,要使总体均值N对应于置信度为1a的置信区间长度不大于L，问应抽取多大容量的样本？解：因仃=仃0已知，二N的置信水平为1-久的置信区间为X一一.2二0.由题意置信区间长度不大于L,即/=0ua<L,n2n.4L2概率论与数理统计作业15（§7.2§7.5）1.已知在正常生产情况下某种汽车零件的重量服从正态分布N（54,0.752）在某日生产的零件中抽取10件，测得重量（克）如下：54.0,55.1,53.8,54.2,52.1,54.2,55.0,55.8,55.1,55.3.如果标准差不变,该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取a=0.05）?解：按题意要检