微分模型解析（课堂PPT）

1、1 2 1.掌握建立（一元、多元）函数最值模型的方法； 2.掌握用求函数驻点的方法求函数的最值.3 4 在实际生产和生活中，常常遇到求在实际生产和生活中，常常遇到求“成成本最低本最低”、“产量最大产量最大”、“收入最高收入最高“、“利润最大利润最大”、“效率最高效率最高”、“用料最用料最省省”、“时间最短时间最短”等问题这类问题在数等问题这类问题在数学上就是求函数的最大值、最小值问题，统学上就是求函数的最大值、最小值问题，统称为最值问题它是数学上一类常见的优化称为最值问题它是数学上一类常见的优化问题，这类问题可以表示为问题，这类问题可以表示为 max(min)( )f x其中其中f( (x)

2、)为目标函数，为目标函数，max(min)max(min)分别表示求最大分别表示求最大（最小）值（最小）值5 求解此类问题可以利用微积分中的导数求解此类问题可以利用微积分中的导数知识或借助知识或借助MatlabMatlab求解求解6 问题问题1 1 【水果的最佳收获时间模型水果的最佳收获时间模型 】 又是一个苹果成熟的季节又是一个苹果成熟的季节, ,老王正为采摘和出售苹果的时间老王正为采摘和出售苹果的时间犯愁如果本周采摘，每棵树可犯愁如果本周采摘，每棵树可采摘约采摘约10kg10kg苹果，此时，批发商苹果，此时，批发商的收购价格为的收购价格为3 3元元/kg/kg如果每推如果每推迟一周，则每棵

3、树的产量会增加迟一周，则每棵树的产量会增加1kg1kg，但批发商收购苹果的价格，但批发商收购苹果的价格会减少会减少0.20.2元元/kg/kg8 8周后，苹果周后，苹果会因为熟透而开始腐烂会因为熟透而开始腐烂. .问老王问老王第几周采摘，收入最高第几周采摘，收入最高7 一、模型准备一、模型准备 此题为求第几周采摘，老王每棵苹果树的此题为求第几周采摘，老王每棵苹果树的收入最高，其中收入收入最高，其中收入= =产量产量单价单价. .8二、模型的假设与符号说明二、模型的假设与符号说明1.1.假设采摘按整周考虑，不考虑分期采摘的情形假设采摘按整周考虑，不考虑分期采摘的情形. .2.2.假设老王采摘苹果

4、后立即卖给批发商假设老王采摘苹果后立即卖给批发商3.3.假设本周每棵树可采摘苹果假设本周每棵树可采摘苹果10kg10kg，且最近，且最近8 8周内每周内每 推迟一周，一棵苹果树会多长出等质的苹果推迟一周，一棵苹果树会多长出等质的苹果1kg.1kg.4.4.假设第假设第x周采摘时每棵树的收入为周采摘时每棵树的收入为R R（x）元，）元，x=0=0对应本周对应本周. .9三、模型建立三、模型建立第第x周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为()10Q xx此时，苹果的销售单价为此时，苹果的销售单价为 xxp2 . 03)(xxp2.03)(10)()()(xpxQxR)2

5、. 03()10(xx22 . 030 xx 所以第所以第x周采摘时周采摘时, ,农户所得收入为农户所得收入为11三、模型求解三、模型求解4000n4000n)4000(3)4000%(106000602%8npnpnnp令令得驻点得驻点 将收入函数求导，得将收入函数求导，得xxR4 . 01)(xxR4 . 01)(0)( xR5 . 2x方法一方法一：12方法二：方法二：syms xsyms xy=30+x-0.2y=30+x-0.2* *x2;x2;ezplot(y,-20,40)ezplot(y,-20,40)图3-1利用利用MatlabMatlab求解求解. .13 由于由于Matl

6、abMatlab的函数命令的函数命令fminsearchfminsearch是求函数的是求函数的最小值，故需要把函数最小值，故需要把函数 转换转换成成 从图从图3-13-1可以观察出，在第可以观察出，在第3 3周左右采摘周左右采摘, , 老王获得的收入最高因此选择老王获得的收入最高因此选择 为初始点，在其周围寻找最小值为初始点，在其周围寻找最小值 22 . 030)(xxxR22 . 030)(xxxR30 x14 fval =fval = 2.5000 2.5000 x =x = -31.2500 -31.2500 y=(x) -30-x+0.2y=(x) -30-x+0.2* *x2;x2

7、; fval,x=fminsearch(y,3) fval,x=fminsearch(y,3)运行结果如下：运行结果如下： 用用Matlab求解如下：求解如下： 因因 31.231.2元，元，所以第所以第2 2周或第周或第3 3周采摘获利最周采摘获利最佳，此时每棵苹果树的收入为佳，此时每棵苹果树的收入为31.231.2元元. .) 3()2(RR15 拓展思考拓展思考: :1. 1.如果本周采摘，每棵树可采摘约如果本周采摘，每棵树可采摘约15kg15kg，问题，问题1 1的其的其它条件不变问第几周采摘它条件不变问第几周采摘, , 老王的收入最高？老王的收入最高？2. 2.分析苹果现有产量与采摘

8、周数之间的关系分析苹果现有产量与采摘周数之间的关系. . 3. 3.如果考虑分期采摘，是否会提高收入如果考虑分期采摘，是否会提高收入? ?16 1. 1. 在理清变量关系的基础上，弄清问题的目标，在理清变量关系的基础上，弄清问题的目标，建立所求问题的目标函数建立所求问题的目标函数建立和求解最值模型的一般步骤建立和求解最值模型的一般步骤2. 2. 求解：用求导的方法得驻点求解：用求导的方法得驻点, ,若在问题考虑的若在问题考虑的范围内得到唯一驻点范围内得到唯一驻点, , 分析实际问题的最值又存分析实际问题的最值又存在，则驻点即为最值点在，则驻点即为最值点; ; 或用或用MatlabMatlab求

9、出所求问求出所求问题的最值点题的最值点 17 问题2 【光纤收费标准模型光纤收费标准模型】某地有多家有线电视公司某地有多家有线电视公司. .有线电视公司有线电视公司A A的光纤的光纤收费标准为收费标准为1414元元/ /（月、户），目前它拥有（月、户），目前它拥有5 5万个万个用户某位投资顾问预测，若公司每月降低用户某位投资顾问预测，若公司每月降低1 1元的元的光纤收费，则可以增加光纤收费，则可以增加50005000个新用户个新用户（）请根据这一预测，为公司制定收费标准，（）请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益以获得最大收益（）如果公司每月每户降低（）如果公司每月每户降低1 1元

10、的光纤收费，只元的光纤收费，只增加增加10001000个新用户，问该如何制定收费标准？个新用户，问该如何制定收费标准？18一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1.1.假设该地的用户数远远大于假设该地的用户数远远大于5 5万万2.2.假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况3.3.若公司每月每户降低若公司每月每户降低1 1元的光纤收视费，可增元的光纤收视费，可增a个个新用户公司每月每户降低新用户公司每月每户降低x元的光纤收视费，元的光纤收视费，公司的月收益为公司的月收益为 元元)(xP19二、模型建立二、模型建立 P（x）=每月每户交纳的收视费每月每户交纳

11、的收视费总用户数，即总用户数，即 )50000()14()(axxxP，2)5000014(700000axxa140 x20三、模型求解三、模型求解（）当时当时 时，时， 求导得求导得5000a2500020000700000)(xxxPxxP1000020000)(得驻点得驻点2x，0)( xP令令 根据实际问题的分析知道，当公司定价为根据实际问题的分析知道，当公司定价为14-2=1214-2=12元时，公司拥有元时，公司拥有50000+500050000+50002=600002=60000户用户，此时公户用户，此时公司每月的最大收益为司每月的最大收益为121260000=7200006

12、0000=720000元元=72=72万元万元 21用用atlabatlab作出函数的图形，如图作出函数的图形，如图3-23-2所示，图所示，图(1)(1)从从0-140-14，图，图(2)(2)为放大图形为放大图形. .（1）（2）图3-222（）当当 时，时，1000a2100036000700000)(xxxPxxP200036000)(令令 ，得驻点，得驻点 ，而由实际问题知，而由实际问题知 ，故与实际情况不吻合，应舍去此时只有当公司定价为故与实际情况不吻合，应舍去此时只有当公司定价为元时，方可获得最大月收益元时，方可获得最大月收益5 514=14=0 0万元万元0)( xP18x0

13、x求导得求导得23用用atlabatlab作出函数作出函数 的图形的图形, ,如图如图3-33-3所示所示2100036000700000)(xxxP图3-324拓展思考：拓展思考：1.1.在问题（在问题（1 1）中，如果通过调研发现，该公司最多）中，如果通过调研发现，该公司最多只能拥有只能拥有5.75.7万个用户，问该如何制订收费标准万个用户，问该如何制订收费标准2.2.试分析最佳收费与每降低试分析最佳收费与每降低1 1元新增客户数量之间的元新增客户数量之间的关系关系. .25归纳一类问题的分析处理方法归纳一类问题的分析处理方法 4000n4000n)4000(3)4000%(1060006

14、02%8npnpnnp 商品的销售量在一定程度上受着商品价格的影商品的销售量在一定程度上受着商品价格的影响一般来说，降低商品价格会增加销售量，所以响一般来说，降低商品价格会增加销售量，所以并不是商品价格越高，企业获利越高并不是商品价格越高，企业获利越高. .科学合理地科学合理地确定商品的价格会使企业获得最佳收益确定商品的价格会使企业获得最佳收益26问题3【最佳车速模型】 小王准备租用一辆载重为小王准备租用一辆载重为5T5T的的货车将一批货物从成都运往都江堰货车将一批货物从成都运往都江堰. .为节省高速公路收费，他安排司机为节省高速公路收费，他安排司机走老成灌公路若货车以走老成灌公路若货车以xk

15、m/h(40 x65)km/h(40 x65)的速度行驶，每升的速度行驶，每升0#0#柴油可供货车行驶柴油可供货车行驶kmkm，而此时柴，而此时柴油的价格是油的价格是5.365.36元元/L/L，司机的劳务，司机的劳务费为费为3030元元/h./h.假设从成都到都江堰假设从成都到都江堰的路程为的路程为45km45km，请帮小王确定运输，请帮小王确定运输费用最低的货车行驶速度费用最低的货车行驶速度27一、问题准备一、问题准备小王支付的运输费用包括以下两个部分：小王支付的运输费用包括以下两个部分：(1)劳务费劳务费(2)燃油费燃油费这里不考虑货车的折旧费和租车费，又因货车走这里不考虑货车的折旧费和

16、租车费，又因货车走老公路，所以可以不考虑过路费老公路，所以可以不考虑过路费28二、模型假设与符号说明二、模型假设与符号说明1 1假设货车按设定的速度匀速行驶假设货车按设定的速度匀速行驶2 2假设货车在途中未发生任何意外假设货车在途中未发生任何意外. .3 3假设小王支付的运输费只包括司机的劳务费和汽假设小王支付的运输费只包括司机的劳务费和汽车的燃油费，不考虑租车费用和货车折旧费车的燃油费，不考虑租车费用和货车折旧费4 4假设车辆走老公路不产生过路费且车程为假设车辆走老公路不产生过路费且车程为45km45km5 5假设货车的车程只考虑从成都到都江堰的车程，假设货车的车程只考虑从成都到都江堰的车程

17、，不考虑从具体出发地点到公路口的路程不考虑从具体出发地点到公路口的路程6.6.设货车行驶的速度为设货车行驶的速度为xkm/hkm/h，行驶完全程的时间为，行驶完全程的时间为th h小王支付的劳务费为小王支付的劳务费为y1 1元元，柴油费为柴油费为y2 2元元，运输运输费为费为y元元29三、模型的分析与建立三、模型的分析与建立 运输费包括司机的劳务费和汽车的燃油费，其中运输费包括司机的劳务费和汽车的燃油费，其中1 1劳务费劳务费= =行车时间行车时间劳务费单价劳务费单价 劳务费单价为劳务费单价为3030元元/h/h，货车行驶的时间为，货车行驶的时间为t= t= ，所以支付的劳务费为，所以支付的劳

18、务费为y1 1= = x45.13503045xx36. 5809x302. 2. 燃油费燃油费= =使用燃料的总量使用燃料的总量燃料价格燃料价格全程消耗的柴油为全程消耗的柴油为 （L L），所以柴油），所以柴油费为费为y2 2 综上分析，运输费为综上分析，运输费为80940045xx36.5809xx603. 0 xxy603. 0135031四、模型的求解四、模型的求解对总运费求导，得对总运费求导，得603. 013502xy316.47x令令 ，得驻点，得驻点 因在因在4040与与6565之之间，所以根据实际问题知，当货车以间，所以根据实际问题知，当货车以47.316km/h47.316

19、km/h行行驶时，小王支付的运输费最低驶时，小王支付的运输费最低0 y316.47x32作出运输费用函数图形，如图作出运输费用函数图形，如图3-43-4所示所示. .图3-4所以当货车以所以当货车以47.316km/h47.316km/h行驶时，小王支付的运行驶时，小王支付的运输费最低，最低运输费用为输费最低，最低运输费用为57.06357.063元元33 一般地，汽车由于发动机转速的不同，其最佳效率一般地，汽车由于发动机转速的不同，其最佳效率也不一样若这辆汽车发动机的效率为也不一样若这辆汽车发动机的效率为 请为小王确定汽车的最佳速度请为小王确定汽车的最佳速度 200012. 0768. 0v

20、p，200012. 0768. 0vp拓展思考：拓展思考：34归纳一类问题的分析处理方法归纳一类问题的分析处理方法 4000n4000n)4000(3)4000%(106000602%8npnpnnp 在我国，汽车正逐步走进千家万户，汽车行业也正在我国，汽车正逐步走进千家万户，汽车行业也正成为我国的一个朝阳产业但中国汽车市场的竞争依然成为我国的一个朝阳产业但中国汽车市场的竞争依然十分激烈随着燃油费的不断上涨，汽车的油耗成为了十分激烈随着燃油费的不断上涨，汽车的油耗成为了购车族关注的焦点改进发动机的性能，降低油耗，抑购车族关注的焦点改进发动机的性能，降低油耗，抑或研发新能源汽车等已成为当前各汽车

21、制造商研发的重或研发新能源汽车等已成为当前各汽车制造商研发的重点课题在这些课题研究中，不可避免地要对汽车的各点课题在这些课题研究中，不可避免地要对汽车的各项指标进行定量检测与分析，而这些均离不开数学这一项指标进行定量检测与分析，而这些均离不开数学这一强大的工具强大的工具 35200012. 0768. 0vp问题问题4 4【生产调度模型生产调度模型】 佳韵体育专用器材厂收到生产佳韵体育专用器材厂收到生产80008000个跳水板的订单公司目前拥有个跳水板的订单公司目前拥有几台生产跳水板的自动化设备，每台几台生产跳水板的自动化设备，每台机器每小时可以生产机器每小时可以生产3030个跳水板，每个跳水

22、板，每台机器运转的折旧费是台机器运转的折旧费是160160元，每个元，每个跳水板的材料费为跳水板的材料费为2020元生产过程中，元生产过程中，需要一个操作人员全程管理这些设备，需要一个操作人员全程管理这些设备，操作人员的劳务费为操作人员的劳务费为3030元元/h/h（1 1）请表示生产）请表示生产80008000个跳水板的总个跳水板的总费用？费用？（2 2）问公司购置几台这样的设备，）问公司购置几台这样的设备，可使成本最低。可使成本最低。 36一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1. 1. 假设公司有足够的钱购买设备假设公司有足够的钱购买设备2. 2. 假设购置的机器能够同时正常运转假

23、设购置的机器能够同时正常运转3. 3. 假设一个操作员能同时管理所有设备假设一个操作员能同时管理所有设备. . 4.4.设公司完成这批订单的成本为设公司完成这批订单的成本为y元，公司购置元，公司购置了了x台设备，生产台设备，生产80008000个跳水板共用了个跳水板共用了 h hh37二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立800020公司生产公司生产80008000个跳水板的总费用个跳水板的总费用 （单位：元）（单位：元）= =材料费材料费+ +机器运转的折旧费机器运转的折旧费+ +操作人员的费用操作人员的费用yx160h3020800030160hxy16000030160hx（3.1）材

24、料费材料费= =每个跳水板的材料费跳水板的个数每个跳水板的材料费跳水板的个数= = （元）（元）机器运转的折旧费机器运转的折旧费= =每台机器的折旧费每台机器的折旧费机器台数机器台数 = = （元）（元）, ,操作人员的费用操作人员的费用= =劳务单价劳务单价操作时间操作时间= = （元）（元）. .因此，可建立总费用模型为因此，可建立总费用模型为38其中其中800030hx即即xh308000代入式（代入式（3.13.1），得），得1600008000160 xxy39三、模型的求解三、模型的求解问题问题2 2即求函数即求函数 的最小值对的最小值对 求导，得求导，得yy28000160 xy

25、令令 ，得驻点，得驻点 由于机器台数只能由于机器台数只能是整数，所以下面计算是整数，所以下面计算 和和 时相应的总费用时相应的总费用0 y071. 750 x7x8x当当 时，时， 元；当元；当 时，时， 元元7x162290y8x162300y40作出总费用函数图形作出总费用函数图形, ,如图如图3-53-5所示所示. .因此购置因此购置7 7台这样的设备，可使成本最低最低费用台这样的设备，可使成本最低最低费用为为162290162290元元.图图3-53-541拓展思考：拓展思考：1.1.若已知每台机器每小时运转的折旧费是若已知每台机器每小时运转的折旧费是6060元，元，则如何求解此题则如

26、何求解此题2.2.若每台设备各需要一人管理，结果又如何若每台设备各需要一人管理，结果又如何3.3.若租用一台设备的费用为若租用一台设备的费用为a元元/ /天，问公司该如天，问公司该如何安排？何安排？ 42 企业在扩大再生产时，必须进行充分的市场调研企业在扩大再生产时，必须进行充分的市场调研和投入产出分析等若盲目地扩大再生产，必将使企和投入产出分析等若盲目地扩大再生产，必将使企业陷入困境，有时甚至难以维系，最终导致破产扩业陷入困境，有时甚至难以维系，最终导致破产扩大生产规模时究竟需要增加多少设备呢？本题通过建大生产规模时究竟需要增加多少设备呢？本题通过建立数学模型和对模型求解给予很好的回答另外，

27、企立数学模型和对模型求解给予很好的回答另外，企业也可以根据临时的订单需要，在可能的情况下，考业也可以根据临时的订单需要，在可能的情况下，考虑租用一些设备，以解燃眉之急，达到减少成本、降虑租用一些设备，以解燃眉之急，达到减少成本、降低风险的目的这时，分析和处理方法与本问题相低风险的目的这时，分析和处理方法与本问题相似似归纳一类问题的分析处理方法归纳一类问题的分析处理方法 43问题问题5 5【油管铺设模型】 某石化公司要铺设一根石油某石化公司要铺设一根石油管道，将石油从炼油厂输送到河管道，将石油从炼油厂输送到河对岸的石油罐装点，如图对岸的石油罐装点，如图3-63-6所所示炼油厂附近有条宽示炼油厂附

28、近有条宽 2.5km2.5km的的河，罐装点在炼油厂对岸沿河下河，罐装点在炼油厂对岸沿河下游游10km10km处如果在水中铺设管道处如果在水中铺设管道的费用为的费用为6 6万元万元/km/km，在河边铺设，在河边铺设管道的费用为管道的费用为4 4万元万元/km/km试在河试在河边找一点边找一点P P，使管道铺设费最，使管道铺设费最低低图3-644一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1 1假设河床宽度均为假设河床宽度均为2.5km,2.5km,河岸是铅直的河岸是铅直的. . 2 2假设炼油厂就在河边，它与河边的距离为假设炼油厂就在河边，它与河边的距离为0 0，石油罐装点在河对岸的河边上，

29、到河边的距离也石油罐装点在河对岸的河边上，到河边的距离也为为0 03. 3. 设设p p点距炼油厂的距离为点距炼油厂的距离为 kmkm，管道铺设费为，管道铺设费为 万元万元xy45二、模型的分析与求解二、模型的分析与求解 由图由图3-63-6知，从炼油厂到石油罐装点的管道铺设知，从炼油厂到石油罐装点的管道铺设费由两部分构成：一部分是从炼油厂到河同岸的费由两部分构成：一部分是从炼油厂到河同岸的P P点点的管道铺设费的管道铺设费 万元；一部分是从万元；一部分是从P P点到河对岸的点到河对岸的石油罐装点的管道铺设费石油罐装点的管道铺设费 万元总万元总铺设费为铺设费为x4225 . 2)10(6 x2

30、25 . 2)10(64xxy)0(x46三、模型的求解三、模型的求解对对x求导求导, ,得得222(10)2.5 (4 )62 (10)6.25xxx y26(10)4(10)6.25xx令令 ，得驻点，得驻点 ，舍去大于，舍去大于1010的驻点的驻点 0 y105x 47作出铺设费用函数图形，如图作出铺设费用函数图形，如图3-73-7所示所示. .由于管道最由于管道最低铺设费一定存在，且在低铺设费一定存在，且在 内取得，所以最内取得，所以最小值点为小值点为 kmkm，最低的管道铺设费为，最低的管道铺设费为 万元万元(0,10)764. 7x764. 7x18.51y图3-7 48拓展思考拓

31、展思考1. 如果要在河对岸设置两个石油罐装点，问又如果要在河对岸设置两个石油罐装点，问又该如何设计该如何设计. . 49 在设计公路、铁路时，设计者们常常遇到是在设计公路、铁路时，设计者们常常遇到是“逢山开洞，逢水架桥逢山开洞，逢水架桥”还是绕行？虽然修桥和还是绕行？虽然修桥和开凿隧道方便了交通，但桥梁和隧道的修建费用开凿隧道方便了交通，但桥梁和隧道的修建费用却远远高于普通公路和铁路的修建费用在资金却远远高于普通公路和铁路的修建费用在资金有限的情况下，合理选址和确定路线，不仅能满有限的情况下，合理选址和确定路线，不仅能满足设计要求，而且可以大大地节省修建成本此足设计要求，而且可以大大地节省修建

32、成本此问题的方法也适用于各种管网等的设计问题的方法也适用于各种管网等的设计归纳一类问题的分析处理方法归纳一类问题的分析处理方法 503.2 3.2 分段函数的最值模型分段函数的最值模型51问题问题6【旅行社交通费用模型旅行社交通费用模型】 某旅行社将租用客车公司大、中、小型客车举办某旅行社将租用客车公司大、中、小型客车举办风景区旅行团一日游客车公司大、中、小型客车的风景区旅行团一日游客车公司大、中、小型客车的载客数及租车费用（含司机费用、燃油费用等）详见载客数及租车费用（含司机费用、燃油费用等）详见表表3-13-1客车类型客车类型可载人数可载人数费用（元费用（元/ /天、辆）天、辆）大型客车大

33、型客车5050900900中型客车中型客车4040750750小型客车小型客车3030650650表3-152 旅行社向旅行团收取交通费的标准为：若每旅行社向旅行团收取交通费的标准为：若每团人数不超过团人数不超过3030人，每人的交通费为人，每人的交通费为3030元；若每元；若每团人数多于团人数多于3030人，则给予优惠，每多人，则给予优惠，每多2 2人，交通人，交通费每人减少费每人减少1 1元，直至降到元，直至降到2020元为止试问每团元为止试问每团人数为多少时，旅行社获得的交通费利润最大？人数为多少时，旅行社获得的交通费利润最大？最大利润是多少？最大利润是多少？53一、模型假设与符号说明一

34、、模型假设与符号说明1.1.租车费用包括司机的劳务费和汽车的燃油费等所有租车费用包括司机的劳务费和汽车的燃油费等所有与交通相关的费用与交通相关的费用2.2.设旅行社租用大、中、小三种客车的租金为设旅行社租用大、中、小三种客车的租金为 分别对应大、中、小型客车当每团人数为分别对应大、中、小型客车当每团人数为x人时，旅行团交纳的交通费为人时，旅行团交纳的交通费为M（x）元，旅行社获）元，旅行社获得的交通费利润为得的交通费利润为L（x）元）元)3 , 2 , 1( iri3,2, 1i54二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 旅行社获得的交通费利润旅行社获得的交通费利润= =旅行团交纳的交通费旅

35、行团交纳的交通费- -租租用相应客车的费用，为用相应客车的费用，为 ()()iLxMxr， )3 , 2 , 1( i65030)(xxL具体地，当旅行团人数具体地，当旅行团人数 时，旅行社将租用小型时，旅行社将租用小型客车，租车费用为客车，租车费用为 650650元，交通费利润为元，交通费利润为30 x3r55当旅行团人数当旅行团人数 时，旅行社将租用中型客车，时，旅行社将租用中型客车，租车费用为租车费用为750750元，收取每个游客的交通费为元，收取每个游客的交通费为 （其中（其中为取整函数），交通费利润为为取整函数），交通费利润为4030 x23030 x750)23030()(xxxL

36、750)23030()(xxxL当旅行团人数当旅行团人数 时，旅行社将租用大型客车，时，旅行社将租用大型客车，租车费用为租车费用为900900元，收取每个游客的交通费为元，收取每个游客的交通费为 （其中（其中为取整函数），交通费利润为为取整函数），交通费利润为5040 x,2303020,23030maxxx56900)23030()(xxxL综上分析，旅行社获得的交通费利润为综上分析，旅行社获得的交通费利润为5040900)23030(4030,750)23030(300,65030)(xxxxxxxxxL，57三、模型求解三、模型求解 由于交通费利润函数中有取整函数，而取整函数由于交通费利

37、润函数中有取整函数，而取整函数是一个离散的分段函数，不便于讨论，为此，我们用是一个离散的分段函数，不便于讨论，为此，我们用如下函数近似简化分析如下函数近似简化分析5040900)23030(4030,750)23030(300,65030)(xxxxxxxxxP，585040454030,45300,30)(xxxxxxP，当当 时，时， ，故当，故当x=30=30时，旅行社获得的交通时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为费利润最大，最大利润为250250元；元；30 x0)( xP当时当时 ， , ,故当故当 时，旅行社获时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为得的交通费利润最大，最大

38、利润为 =250=250元元；4030 x0)( xP40 x750402559当时当时 ，令，令 ，解得驻点，解得驻点 . .故当故当 时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为 =135=135元另外，可补充考虑元另外，可补充考虑 和和 时函数时函数P（x）的值因为）的值因为L L（4444）= = L L（4646）=112135=112 L（4545），所），所以当旅行团人数为以当旅行团人数为3030或或4040时，旅行社获得的交通费利时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为润最大，最大利润为250250元元60拓展思考拓展思考1 1请查阅相

39、关资料，明确请查阅相关资料，明确组团旅游会使旅行社考虑组团旅游会使旅行社考虑哪些费用哪些费用2 2若有一个若有一个3030人的团准备人的团准备从成都去九寨沟旅游，请从成都去九寨沟旅游，请通过查阅相关资料帮旅行通过查阅相关资料帮旅行社计算旅客的最低交通费社计算旅客的最低交通费用和最低旅行费用用和最低旅行费用61归纳一类问题的处理方法归纳一类问题的处理方法：你参加过组团旅行吗？在组团旅游时，旅行社你参加过组团旅行吗？在组团旅游时，旅行社会根据组团人数确定相应的旅游费用一般来会根据组团人数确定相应的旅游费用一般来说，人数越多，费用越低为什么？说，人数越多，费用越低为什么？62分段函数的最值分段函数的

40、最值 求分段函数的最值要分段讨论、比较各段上的最值，最大者即为所求分段函数的最值633.3 3.3 多元函数的最值模型多元函数的最值模型64问题问题7 【易拉罐的设计模型易拉罐的设计模型】 我们只要稍加留意就会发现我们只要稍加留意就会发现, ,销销量很大的饮料量很大的饮料 ( (例如饮料量为例如饮料量为355355毫毫L L的可口可乐、青岛啤酒等的可口可乐、青岛啤酒等) ) 的的饮料罐饮料罐( (即易拉罐即易拉罐) )的形状和尺寸几的形状和尺寸几乎都是一样的看来，这并非偶然，乎都是一样的看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计这应该是某种意义下的最优设计 设易拉罐是一个正圆柱体，设易拉罐

41、是一个正圆柱体，且壁四周的厚度均匀，什么是它的且壁四周的厚度均匀，什么是它的最优设计？即半径和高之比是多少最优设计？即半径和高之比是多少? ?65一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1.1.假设易拉罐为标准的正圆柱体假设易拉罐为标准的正圆柱体2. 2. 不考虑制作易拉罐的拉环以及接缝处的材料不考虑制作易拉罐的拉环以及接缝处的材料3.3.设易拉罐高为设易拉罐高为hcmcm，半径为，半径为rcmcm，上、下底的厚，上、下底的厚度为度为d1cmcm，侧壁的厚度为，侧壁的厚度为d2 2cmcm，制作一个易拉罐所，制作一个易拉罐所需材料的体积为需材料的体积为V1 1cmcm3 3，易拉罐的容积为

42、，易拉罐的容积为Vcmcm3 366二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 本题是求在材质相同，容积、壁厚一定的情况本题是求在材质相同，容积、壁厚一定的情况下，所耗材料最省，即求所耗材料的体积最小下，所耗材料最省，即求所耗材料的体积最小 制作一个易拉罐所需材料制作一个易拉罐所需材料( (体积体积) )可分为两部可分为两部分：一是易拉罐上、下底的体积分：一是易拉罐上、下底的体积 ，一是易拉，一是易拉罐侧壁的体积罐侧壁的体积 . .总体积为总体积为122dr22 rhd212122rhddrV易拉罐的容积为易拉罐的容积为hrV267由由 得得 ，将之代入，将之代入 ，得，得三、模型的求解三、模型

43、的求解 1V1V法一法一：hrV22rVh1V2212122drVrdrV21222drVdr其中其中 是常数是常数. .这里这里 是是 的函数的函数. . 对对 求导，得求导，得Vdd,211Vr1Vr221124drVrdV68令令 ，解之得驻点，解之得驻点 ，代，代入入 ，得，得 0242211drVrdV3122 dVdr2rVhh3222122dVd21:2dr hd 这里这里V=335mL=0.335L,=335mL=0.335L,经测量得经测量得d1 1=0.22mm, =0.22mm, d2 2=0.11mm=0.11mm，计算得，计算得h=1.218dm=121.8mm=1.

44、218dm=121.8mm，r=0.305dm=30.5mm=0.305dm=30.5mm，此时半径与高之比为，此时半径与高之比为4. 4. 经测量可口可乐易拉罐的相关数据得经测量可口可乐易拉罐的相关数据得h=123.1mm,=123.1mm,r=30mm=30mm，比较吻合，比较吻合. .69 法二法二：hrV2下，求目标函数下，求目标函数212122rhddrV的最小值的最小值. .其中其中 是常数，是常数， 是自变量是自变量. .21,ddhr,hrV2下下11. 0228. 0221rhrV的最小值其中是的最小值其中是 常数，常数， 是自变量是自变量 dhr,将此问题视为有约束的二元函

45、数极值将此问题视为有约束的二元函数极值. .即在约束即在约束代入实际数据，即求在约束代入实际数据，即求在约束70构造构造LagurangeLagurange 辅助函数：辅助函数：22( , , )20.2220.11()f h rrrhVr h对对 分别求偏导，得分别求偏导，得,rh220.220.880.222frrhfrhrhrfVr h71用用MatlabMatlab求解如下：求解如下：r,h,t=solve(0.88*r*pi+0.22*h*pi-2*r*h*t*pi=0,0.22*r*pi-t*r2*pi=0,0.355-r2*h*pi=0,r,h,t) % t 表示方表示方程中的程

46、中的t=(0.7223536160 -0.3611768080 - 0.6255765820i -0.3611768080 + 0.6255765820i) r =(0.3045599761 -0.1522799880 + 0.2637566762i -0.1522799880 - 0.2637566762 i )h = (1.218239904 -0.6091199521+1.055026705i -0.6091199521 - 1.055026705i)运行结果如下：运行结果如下： 72 取实根，所得结果与前面一致，再通过简单取实根，所得结果与前面一致，再通过简单计算计算h: :r知知，当

47、易拉罐的半径与高之比约为，当易拉罐的半径与高之比约为1: 41: 4时，材料最省时，材料最省73 事实上，商家在设计易拉罐时，除考虑使用材料事实上，商家在设计易拉罐时，除考虑使用材料最省之外，还要考虑焊接、加工制作费、以及包装、最省之外，还要考虑焊接、加工制作费、以及包装、运输等各种因素请你通过查阅相关资料，了解还需运输等各种因素请你通过查阅相关资料，了解还需要考虑哪些因素？它们对易拉罐的设计有何影响？要考虑哪些因素？它们对易拉罐的设计有何影响？ 拓展思考拓展思考74 在市场竞争日益激烈的今天，企业除增加新产品在市场竞争日益激烈的今天，企业除增加新产品的研发力度，提升产品的科技含量，增加企业核

48、心竞的研发力度，提升产品的科技含量，增加企业核心竞争力外，还应学会争力外，还应学会“精打细算精打细算”，努力降低产品成本，努力降低产品成本，增加利润，增强企业的经济实力，提升综合竞争力，增加利润，增强企业的经济实力，提升综合竞争力，从而在激烈的市场竞争中立于不败之地一个小小的从而在激烈的市场竞争中立于不败之地一个小小的易拉罐的设计纵然如此，设计一台大型机械设备、一易拉罐的设计纵然如此，设计一台大型机械设备、一台耗材昂贵的设备就更不容多说因此，同学们应牢台耗材昂贵的设备就更不容多说因此，同学们应牢固树立最优化的思想固树立最优化的思想归纳一类问题的处理方法归纳一类问题的处理方法75问题问题8 【学

49、校选址模型学校选址模型】某乡政府准备在相邻的某乡政府准备在相邻的个村庄间建一所小学，各村个村庄间建一所小学，各村庄适龄小学生人数和距乡政府的位置为庄适龄小学生人数和距乡政府的位置为 小学生人数（人）小学生人数（人） 距乡政府的距离（距乡政府的距离（kmkm） 方向角方向角( (度度) ) 村庄村庄 33 5 4033 5 40度度村庄村庄2 41 4.5 422 41 4.5 42度度村庄村庄3 27 4.7 303 27 4.7 30度度村庄村庄4 19 3.5 374 19 3.5 37度度村庄村庄5 38 4.5 345 38 4.5 34度度其中方向角为村庄与乡政府的连线与水平方向的夹其中方向角为村庄与乡政府的连线与水平方向的夹角问应如何选址使全部小学生所走的总路程最短角问应如何选址使全部小学生所走的总路程最短76一、模型准备、模型准备 为清楚地表示出学校距各村庄的