高等几何习题解答

1、高等几何习题解答习题一10设，为二定点，为定直线。于上任取，又与交于，与交于，求证：通过上一定点。解：把直线射影为无穷远直线，则点，变为无穷远点，所以，得两个平行四边形。在 中，是对角线，交于，且是的中点。在 中，是对角线，交于点，且是的中点，从而，通过上一定点。1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）（2）（3）答：（1）；（2）；（3）1.2 写出下列个点的方程 答： 1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：， 答： 1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标： 答： 1.5 如果直线的方程分别是：求直线的方程和坐标。 答：方程为。1.6 把笛卡尔三维空间里经过原点的直线作为“点”

2、；把经过原点的平面作为“直线”，求证：这些“点”和“直线”的集合可定义为射影平面。证明：在笛卡尔三维空间里有下列事实： 经过原点的任意二不同的直线属于一个而且只属于一个经过原点的平面； 经过原点的任意不同的二平面相交于一条而且只相交于一条经过原点的直线。因而集合里的“点”和“直线”满足下列条件： 任意而不同的“点”属于一条而且只属于一条“直线”；任意二不同的“直线”属于一个而且只属于一个“点”。而且，当经过原点的直线属于经过原点的平面时，可以看作的“点”属于“直线”。所以集合可以定义为射影平面。2.1 试证点是共线的，试求和，使得又求和的一个表示和使得答：2.2 试求直线共点。并求和的固定表示

3、和，使答：2.3 写出下列命题的对偶命题直线上至少有三点。射影平面上至少存在四条直线，其中任何三条直线不共点。、为无任何三点共线的四个点，交于交于交于连接得一个三点形。答：线束里至少有三条直线。 射影平面上至少存在四个点，其中任何三点不共线。 、为无任三线共点的四条直线，和的交点与和的交点的连结为，和的交点与和的交点的连线为，和的交点与和的交点的连线为，组成一个三线形。2.4 写出下面作图题的对偶命题，并画出对偶图形（不必写做法）。已知三点形的顶点、和不在三点形任何边上的任意一点，并作三点形的每一顶点与点的连线，。图2对偶命题：已知三线形的三边，和不通过三线形任何顶点的任意一条直线，求作三线形

4、的每一边与直线的交点，。对偶图形为右图。2.5 已知三点形和点，而不在三点形的边上，令，试证，共线。提示，对三点形和应用笛沙格定理。3.1 在意直线上取点，作为基础点，作为单位点，建立射影坐标系，试求点的齐次和非齐次射影坐标。答：，3.2 在一线束里取直线，为基础直线，取为单位直线，建立射影坐标系，试求的齐次和非齐次射影坐标。答：，3.3 如果点，取作射影坐标系的参考三点形的顶点，为单位点，试求点在这个坐标系里的齐次射影坐标和方程。答：，3.4 试写出坐标三点形个边上任意点的坐标和方程；又写出通过各顶点的任意直线的的坐标和方程。解：设上不同于的任意点上不同于的任意点，设上不同于，的任意点设通过

5、而不同于，的任意直线为，则，方程是通过而不同于，的任意直线，则，方程是通过而不同于，的任意直线，则，方程是3.5 试证：如果，是四个点，其中没有任何三点共线；而且，其中，取和，则三个点共线（提示：选择，）证明：选择， 则同理，。又同理 所以共线。另证：观察三点形和，对应顶点的连线，属于一点，由笛沙格定理，对应边的交点，属于一条直线。3.6 设两条直线和上各有三个不同点，和，这些点与都不同，那么三个点：，是共线的。（定理）。又叙述其对偶定理，并画出对偶图形。证明：建立坐标系，在上而且不同于和，所以的坐标为点在上且不同于和，所以的坐标可设为。 、共线。 定理的对偶定理：设通过两个点和各有三条不同的

6、直线，和，这些直线与直线都不相同，那么三直线，是共点的。对偶图形：（图4）图4 图53.7 已知三点形和两点、，确定点，使得，和共点，而且，和也共点，并求证，和共点。（如图5）证明：当两个已知点，中至少有一个点在已知的三点形的边上时，本题显然成立、因此，假设和都不在三点形的边上；点的作法如下：首先，作，则点又在上；再作，则点又在上，因此，为了证明，和共点，可以选择坐标系，计算这三条直线的坐标，然后证明行列式即可。由此取，则直线，的坐标依次为，从而 ， 由此求得，所以，共点。本题证明也可以用定理的对偶定理来证明。3.8 已知定直线和不在上的两定点，。若，是上的两个动点，而且，都不与重合。又点，求

7、证是一个定点。证明：取各点坐标，在直线上取点和，则的坐标，设，的坐标依次为，(，否则或者，与重合)。于是有 ， ，从而 所以 的坐标不含参数，为定点。3.9 在一条直线上取，和作参考点(其中作为单位点)，建立射影坐标系，试求点的其次射影坐标。如果和与是第二个射影坐标系的参考点(其中作为单位点)，试求这两个坐标系的关系方程。解：在中，在点的坐标为。在中，从到的坐标变换公式为： 3.10 设直线上从一个射影坐标系到第二个射影坐标系的坐标变换把点，分别映射为点，和，试求这个坐标变换公式。 答： 3.11 试求诱导出来的点变换公式，并求这个变换的逆变换。答： 3.12 设平面坐标变换把点，和依次变为点

8、，和，试求这个坐标变换公式答： 4.1 设射影变换把直线上射影坐标为，和的三个点依次变为直线上射影坐标为，三个点，求的变换公式。答： 4.2 确定直线到闪果断射影变换公式，它分别把（1）0，1，2变换为0，4，3（2）0，1，2变换为2，1，3（3）0，1，变换为1，0，并写出各变换的逆变换答：（1），（2） （3）逆变换分别为（1），（2） （3）4.3 叙述直线到上射影变换定义的对偶定义和§4中定理10、15、16的对偶定理。（略）4.4 试求把点，和分别映射为，和的直射变换，并且诱导出线变换和逆变换。答： 诱导变换：逆变换： 4.5试求射影变换，它依次把（1） ，和变为，（2）

9、 ，变为，而保持不变。答：（1） （2） 5.1 求交比，已知，依次是：（1） ，；（2） ， 答：（1）；（2）。5.2 证明：点，在一条直线上，并求上的一个点，使得 证明：设，则，所以，共线。若，则，所以 5.3 试证：一直线上的四个不同点的交比经过中心射影保持不变。证明：设，是直线上的四个不相同的点，而是与不同的直线，是不在上也不在上的任一点，以为中心，用中心射影法，把，和映射为上的点，和，四条射线一次是，根据定理19，有 5.4 设，是直线上四个不同点，已知，求这四点交比的其他可能值。答：，。5.5 设，是直线上射影直线上的参考点，（是单位点），若的值为（1）；（2），求点的齐次射影坐

10、标。答：（1） （2）5.6 设直线上四个点的齐次射影坐标为，求答：25.7 设直线上三个点的齐次射影坐标为，求点的坐标。答：，为任意非零常数。5.8 已知直线上四点的非齐次射影坐标为，试求交比的所有可能值。答：，。5.9 已知线束里直线的非齐次射影坐标为，求答：5.10 一直直线上五个不同的点，求证：··（利用定理23）5.11 试证笛卡儿平面上共点的四条直线，的交比为这里表示以为顶点，为始边，为终边的有向角，它的方向从到，等记号的意义与此相同。证明：由作的垂线段，记它的长为，应用三角形的面积公式。 ：得 而5.12 试证关于y、z的调和共轭点是y-z.证明：设所求的第四

11、调点是，则R（y,z ; y+z,）=-1 (、) , .5.13 试证： ,共点，求关于和的调和共轭直线。答：5.14 已知线束a里的三条直线，试画出第四调和直线。解：作任意直线（不过a），交，于点y,z,u,在上作y,z,u的第四调和点v,连结就是所求的直线。5.5 判别下列个点对哪些是不分隔的？哪些是分隔的？（1） (1,0),(0,1)和（1,1），（1,2）（2） （1,0），（0,1）和（3,2），（2，-5）（3） （3,2），（2,4）和（-1,1），（1,3）（4） （3,1），（1,2）和（2,1），（0,1） 答：（1）不分隔；（2）分隔；（3）不分隔；（4）分隔。5.6

12、 设是直线上的四个不同点，如果、，试证：、，、证明：， ，、。6.1 利用迪沙格定理证明下列初等几何中问题。、（1） 设平行四边形EFGH的顶点在另一个平行四边形ABCD各边上，试证这两个平行四边形的四条对角线相交于一点。（2） 四边形的边AB,BC,CD和DA上各有一点，顺次是E,F,G和H。如果BD，EH和FG相交于一点M，则AC，EF和HG也相交于一点。 证明：（1）观察和，,就是说，三对对应边的交点在一条直线上，即无穷远直线上，由笛沙格定理的逆定理，AC、EG、HF共点。 再看和,BD、EH、FG交于一点M，,三点共线。 所以，AC通过EF，HG的交点N。6.2 设A,B,C,D共线。

13、O是AC的中点，若OC是OB和OD的比例中项，则证明：按题设，AO=OC, ABCD=(AO+OB)(CO+OD)=(OB+OC)(OD-OC) = 6.3 设,试证证明： 6.4 已知一直线上的四点A,B,C,D,其中相邻两点的距离相等，试计算这四点交比的所有可能值。答：，-3，4，习题二1.1 叙述并证明第二章§1透视中定理5的对偶定理。解：对偶定理：“线束到线束上的透视变换是射影变换，它把公共直线映射到这条直线自身。” 证明：设是线束和的透视轴，如果是点列上的任意四点，依次属于线束的四条直线；同时这四点又依次属于线束的四条直线。那么所以线束到的透视变换保持交比不变，所以是射影变

14、换。 若，则于是对应直线，而，所以自身对应。1.2 已知两个射影点列的三对对应点，试作这两个点列的公共点所对应的点。首先把这个公共点看作第一个点列的点，然后看作第二个点列的点。再就线束研究类似的问题。已知和里的三对对应和，。（1） 把看作是里的点，在上任取点和，作， ，把看作是里的点，做 ，就是的对应点。（2）把看作是的点，就是把看作第二个点列内的点在第一个点列内的对应点。1.3 叙述并证明巴普斯定理的对偶定理。 解：巴普斯定理的对偶定理是： 设是通过点的三条不同的直线；和是通过点的三条不同直线； ，那么三条直线，是共点的。 证明：设 ， 是线束和的公共直线切自对应，所以 因而存在透视轴，即三

15、点，的公共直线，也就是说三个点，共线，所以，共点。 2.1 已知线束里的三条直线，和，求作直线关于和的调和共轭直线。（利用完全四线形的调和性质或透视到一个点列中利用作第四调和点的方法作） 2.2 过三点形的顶点各作一直线，使它们相交于一点，并分别交对边于，；又，求证，证明：由完全四点形，是它的一条对角线，、是两个对角线点；，是通过第三个对角线点的一对对边与的交点，所以 其余部分用类似方法证明。2.3 完全四线形是完全四点形的对偶图形，试利用平面对偶原理，写出完全四线形的定义（包括顶点、边、对角点三线性等概念）及其调和性质。解：任何三条都不共点的四条直线，以及这四条直线中每两条决定的六个交点所构

16、成的集合称为完全四线形，这四条直线，称为完全四线形的边，这六个点称为顶点，在同一条边上的二顶点称为相邻的顶点；不在同一条边上的两个顶点称为对顶点，有三对对顶点：与，与，与。对顶点的连线 称为对角线。对角线的交点：，称为对角点，以及对角线喂边的三线形。调和性质：过完全四线形的每一个对角点有一个调和直线集，它包括两条对角线，和这个对角点与在第三条对角线上一对对顶点的连线。过完全四线形没一个顶点有一个调和直线集，它包括两条边，一条对角线，和这个顶点跟另外二对角线交点的连线。3.1 试求直线到它自身的射影变换： 的二重点。 答：（5,2），（1，-1）3.2 直线到它自身的射影变换把1,3变为5,4，

17、并保持不变，试求这个射影变换。答：非齐次射影坐标3.3 直线到它自身的抛物型射影变换有二重点（2,1），并把（2,3）变为（1,0），试求变换方程。解：设所求抛物型变换为，为二重点，对应于（即（1,0），故有 因它是抛物型，、不全为0，否则，故令，从而解得，令，则，得3.4 已知直线到它自身的双型射影的两个二重点，和一对对应点，求作任一点的对应点作法：通过和分别作直线和，在直线上取适当的点s，作，再作，则，即为所求的的对应点。4.1 试求变换：，已知，解：的充要条件是，的表达式为： 的充要条件是，若，则，此时，应除外若，则不论取什么值，总有，而，所以满足，的是 （可取任何值）。4.2 设一个对

18、合的两对对应点对的非齐次坐标是1，-1和-2,3，求这个对合方程答：4.3 设一直线上的对合有二重点（1,1）和（2,0），试求这个对合的方程。答：4.4设对合的两个二重点的非齐次坐标为1和-2，求这个对合的方程。答：4.4 假设一个对合的两对彼此对应的点的非齐次坐标分别是二次方程（1）（）和（2）（）的根，试求这个对合的方程。解 设所求的对合方程式 或写作 若方程（1）和（2）的根分别为，和，则 代入（1）得 因，不全为0，由（1），（2）消去， 这就是所求的对合方程。4.6 试证直线上的椭圆型对合的任意两对对应点是互相分隔的。 证明：设，和，是直线上椭圆型对合的任意两对对应点，如果、，则，

19、和，所决定的对合是双曲型的，与假设矛盾。所以、。4.7 试证：直线上两对点，和，有公共调和点的充要条件是、。 证：充分性，设、，以，和，为两对彼此对应点对确定一个双曲型对合，如果，是这个对合的两个二重点，那么由定理10， ，所以，和，有公共的调和共轭点对，。必要性 假设，和，有公共的调和点对，那么以，为两个二重点作成一个双曲型对合。由定理10和推论，双曲型对合是完全确定的。而且下的每一对对应点都是关于二重点，的调和共轭点。既然，和，都被，调和分隔，那么，和，都是下的对应点对，可是双曲型对合的任意两对对应点互相不分隔，所以、。4.8 同一直线上两个不相同的双曲型对合有公共的对应点对的充要条件是什

20、么？解：设直线上两个不同的双曲型对合和，它们的二重点依次是，和，如果和有公共的对应点对，那么，就是，和，的公共调和点对。反过来说也对。因此问题就转化为“直线上两个点对，和，有公共调和点对的充要条件是什么？”由前4.8题可知这个充分条件是，。 所以，同一直线上两个不相同的双曲型对合有公共的对应点对的充要条件是它们的两对二重点互相不分隔。4.9 如果直线交三点形的三边，于点，这些点与上另三个点，是直线上一个对合的三对对应点，求证：，共点。证明：设，则是完全四点形，若，由第二笛沙格定理，；，和，是属于同一个对合的三对对应点，记此对合为，则有两对对应点对，；，完全确定，。而按已知条件，也是的一对对应点

21、，因为在对合下，的对应点是唯一的，所以，从而，就是说，共点。410设三点形的三边，是分别通过，而与各边不相同的直线，而且是不同于，的任一直线，置，试证：当且仅当，；，；，是一个完全四点形的三对对边与直线的交点时，三直线，共点。（提示：假设，相交于点，考察完全四点形）。证明：设，则是一个完全四点形，由第二笛沙格定理，三对对应点，；，；，属于同一个对合的三对对应点，然而由假设，；，；，也是同一个对合的三对对应点，所以和是同一对合里的对应点，所以，从而，所以，共点。51试求直射 的二重点和二重直线。 答：二重点， 二重直线 ，52 试求下列各直射的二重元素，并画出相关的位置的示意图。（1）（2）答：

22、（1） 图195. 3 试求以为中心，直线为轴，和为一对对应点的透射变换。 5.4下图中已画出透射变换的两对对应点，和，,透射轴上的一个点，点不在，也不在上，试画出透射轴和透射中心，若是平面上一个点（不在轴上），试画出的对应点。解：透射中心，透射轴，5 5 证明：一个透射变换在通过它的中心的每一条直线上导出一个双曲型射影变换。证明：设透射的透射中心为，投射轴为，若是通过的任一直线，则是的二重直线。设是上的一点，但不同于，也不同于，则必现在上。以上的任何三个点，及其在下的对应点，可以确定直线到它自身的射影变换，如果我们能够证明的任何一对对应点，也是的对应点对，即=,那么就是在直线上诱导出的射影变

23、换。事实上，在下，有在下则有然而，和是的二重点，那么它们也是的二重点，而且，所以是一个摄影变换。5.6 设，和，是两个三点形的顶点，而且，共点,不同于任何一个顶点，试证：存在一个透射变换，把，分别映射为，。 证明：两个三角形和对应顶点的连线，共点,由笛沙格定理，对应边的交线，共线，设此直线为。如果，互不相同，如图21，则和是两个四角形点集，确定一个直射，分别把，变为，。直射里有一个二重点，诱导出线来到它自身的射影变换，这个诱导出来的射影变换有三条不同的二重直线：，所以线束是线态不变的，线束的每条直线与的交点都是下的二重点，是点态不变的直线，当不属于时，是一个透射。如果，中有两条重合，例如，如图

24、22，这时，和都不是四角形点集，不能用它们确定直射，但可在上任取一个不同于，的点，则和都是四角形点集，用可以确定一个直射，这个直射当不在上时，同样是一个透射。当在上时，用上述方法确定的直射是合射。但是有些作者认为合射是中心在轴上的透射。根据这个观点，对于题设的两个三点形和总存在一个透射把，分别映射为。5 7 试证直射变换：是调和透射。 证： 因此，所以直射是平面上的对合，由定理22，直射是调和透射。58试求使直线为点态不变的直射变换解：在上取三点、和，它们都是二重点，代入直射，解得：5 9试求以为轴，把变为的合射变换的方程解 令，则是合射中心510 试证：把点，依次变为，而点不变的直射是合射。

25、 证明：设满足题设条件的直射为，点，中无任何三点共线，中也无任何三点共线，由 解得直射的方程：求此直射的二重元素，可得直线是点态不变的直线，点是线态不变的点，且，所以是以为轴，为中心的合射。6.1 三角形的顶点是一个已知三角形的高的垂足，这种三角形叫做垂足三角形。试已知三角形的每一高平分对应的垂足三角形的一个角。证明：设是的垂足三角形，是垂心，交的延长线于,那么，就是完全四点形的一条对角线，由完全四点形的调和性质，,又是直角，平分同理 平分,平分。6.2 设是线段的中点，是不在上的一个已知点，限用直尺作过而平行于的直线。作法：通过作任意直线交于点,点不同于和,连结,连结,连结，即为所求作的直线

26、。6.3 已知的顶点和，顶角的平分线与对边的交点，以及边上中线的长，求作。作法：1.作，的第四调和点。2.以为直径作圆周。3.取的中点，以为中心，中线长。为半径画弧交于，则即为所求三角形。证明：根据作法，在圆周上，是直角，而且，是调和点列，所以是的内角平分线。又的中点为，所以是底边上等于已知长的中线，所以符合条件。讨论：点是唯一确定的，圆周是唯一确定的。1.若,则以为中心，为半径的圆弧与除交点外还有一个交点,也符合条件，与的形状、大小相同，位置在的两旁，通常把和算作一个解。2.若,本题无解。习题三1.1已知平面的对射变换，试求点a（1,0,1）的对应直线和直线a（0,1,2）的对应点答：=（1

27、,3，-1），=（3，-6,5）1.2 判断下列平面到它自身的对射中，哪些是上的配极变换的诱导变换()(1) (2) (3) (4) 答：(2)、(3)是上的配极变，它们的诱导变换是（2） （3）1.3 对于平面上的配极变换：下列各对应点中哪些是共轭的？（1）（1,0,1）和（1,4，-1），（,2）（1,1,1）和（1,-5，1），（1）（3,2,0）和（1,-1，1）答：（1）点（1,0,1）共轭于（1,4，-1）（2）点（1,1,1）共轭于（1,-5，1）（3）点（3,2,0）与（1,-1，1）不共轭。1.4 写出配极变换下自共轭点和自共轭直线的轨迹。答：在下的自共轭点轨迹是 自共轭直线

28、的轨迹是2.1 已知配极变换：，求自共轭点的轨迹；求直线的极点和在上的诱导对合及这个对合的类型把表示为 则 在下的自共轭点的轨迹为所以不是自共轭直线。在上取点和，在上建立坐标系，使，和为参考点，它们的坐标依次是：（1,0），（0,1）和（1,1），于是的坐标为（1,4），用，和2为两对彼此对应的点确定对合： 便是所对的对合，又，所以是双曲型对合。2.2 当已知自极三点形，并已知不在这个三点形边上的一个点及其极线时配极变换就确定了。证明：若点d不在已知的自极三点形abc的边上，则d的极线不通过任一顶点。若，中无任何三条直线共点，又a,b,c,d中无任何三点共线。因此，以这四点及其极线可唯一地确定

29、一个极配变换 。2.3 试证：在射影平面上对于给定的配极变换，总能找到一个自极三点形。 证明: 设给定的配极变换为： 则自共轭点的轨迹为：首先，证明平面上至少有一个点不是自共轭的，就是说，至少有一个点的坐标不满足（1）。事实上，不能全为 0，否则，若，中有一个不是0，例如，。则以，代入（1）式，得到;左边=，右边=0，就是说，这时有点（1,0,0）不是自共轭点。若，而时，中有一个不是0，例如，则把点（1,1,0）代入（1）式左边，得到： 而 ， 因此，点（1,1,0）不是自共轭点。总之，平面上至少有一个非自共轭点。设是下的一个非自共轭点，则x的极线是非自共轭直线如果上没有非自共轭点，可在上任取

30、一点y，求得y的极线，若，则就是自极三点形。如果上有两个自共轭点b,c.则在上任取一不同于b和c的一点y，再求的y极线,，若，则就是自极三点形。3.1 试写出通过坐标三点形的顶点的圆锥曲线在点坐标系里和线坐标系里的方程。解:设圆锥曲线c在点坐标系里的方程是：把，的坐标依次带入方程，得到，因此圆锥曲线在点坐标系里的方程是 确定这个圆锥曲线的配极变换是： 诱导变换是所以圆锥曲线在线坐标系里的方程是：3.2 试确定圆锥曲线的配极变换；把直线上的点划分为无切线点和两切线点两部分；试求通过一个两切线点的切线；验证这个点的极线交于一个无切线点。解：确定圆锥曲线的配极变换是直线的方程是，解方程组：得到圆锥曲

31、线的交点：,若是直线上任意一点，则这里是参数，可取任意实数或，由此可求得的极线圆锥曲线与直线联立，得方程组：(1)如果方程线(1)有非零实数解，则与曲线有两个交点，交点与的连线便是由向曲线所做的切线，所作是两切线点。如果方程组(1)无非零实数解，则与曲线没有交点因而是无切线点。为了解方程组，设消去,得： （2）,不全为零（否则，应除开）。可设，于是（2）是关于的二次方程，判别式当时，,（2）由两组实数解，点是两切线点；当,（2）无实数解，是无切线点。所以，直线上的点，可划分为两部分，分别表示如下： （3）当时，它的极线是，此极线与圆锥曲线相交于点：和，通过，的两条切线的坐标是，它们的方程是：和

32、最后，求的极线，与直线的交点，得到在式中，令，则，所以是无切线点。为了验证这个结论的正确性，我们写出通过点的任意直线的坐标：，圆锥曲线与直线构成方程组： (4)消去，得 判别式，与圆锥曲线总有两个（实）交点，是曲线的割线，所以是无切线点。 3.3 求从向所引的切线答：坐标为和 4.1 求通过点 、 且以和为切线的圆锥曲线方程答： 4.2 如果把圆锥曲线的四个定点与的一个流动点连成直线，则这四条直线的交比是常数，写出对偶命题。证明：设，是圆锥曲线上的四个定点，和是上流动的两个任意位置，令， 由斯丹纳定理，线束线束所以常数 对偶命题：如果属于线圆锥曲线的四条定直线与属于的一条流动直线相交于四个点，

33、则这个四个点的交比是一个常数。 4.3 已知三点形的两个顶点和分别在这两条不动的直线和上滑动，三条边分别通过三个不动点，和。，不共线，试求这三个点形的顶点的轨迹。解：当三点形的顶点 和 分别在直线和上滑动时，它的边， 和 分别以点，和为中心画出三个线束，而且线束线束线束。所以，线束 线束。 这两个线束对应直线的交点和的交点就是三点形的顶点。 如果线束和线束的公共直线自对应，必须， 共线，但 在 上，于是，和共线 ，这与，不共线的假设矛盾。所以射线的线束与线束不透视，由斯丹纳定理，点的轨迹是圆锥曲线，如图26。 4.4 已知圆锥曲线上四个点和其中一个点上的切线，求作另一个点上的切线。解：设，是圆

34、锥曲线上的四个点，是点上的切线。当圆锥曲线内接六点形的一条边上的两个顶点重合时，该边成为一条切线，此时巴斯加定理仍然正确。现在把 和 分别看做重合的两个项点，编号： ，。 作 ，连结，则直线就是点上的切线。如图27 。 4.5 证明巴普斯定理是关于退化的点圆锥曲线的巴斯加定理。解：巴普斯定理:我们把两天直线和看做退化的点圆锥曲线， 就是六点形123456三对对边的交点，由巴斯加定理，这三点共线。如图 28 4.6 试述关于退化的线圆锥曲线的布利安桑定理。答：若通过点和各有三条直线1，3，5 和 2，4，6，每一条直线都不同于，则三条直线，共点。 把两线束 和看作退化的线圆锥曲线，而123456

35、是它的外切六线形，和是这六线形三对对顶点的连线，由布利安桑定理，、 共点。如图 29 4.7 如果一个六点形内接于圆锥曲线，而 是的外接六线形，的边是的顶点上关于圆锥曲线的切线，则的巴斯加线是的布利安桑点的极线。 证明：设六点 的顶点， 的边是，而是在的切线，即的极线，由配极原则的极点是，的极点是，于是点的极线是，同理， 和的极线和，由巴斯加定理， 共线号，那么 的极点应在， 的极线， 上，即这三条极线的公共点，而， 的公共点是布利安桑点 ， 所以巴斯加线的极点是布利安桑点。 5.1 已知平面到它自身的配极变换：和平面的直射变换：试求直射对的配极变换诱导出来的平面到它自身的配极变换。解： 的线

36、坐标方程为：就是 5.2 设平面上有两个圆锥曲线 和： 试求平面的一个直射，使。解：在上取点， 在上取点，在上作和上的切线：和，再作上在 和上的切线：和，, 由，确定直射变换:就是所求的直射。 5.3 已知桑格不共线的点， 和三条不共点的直线， 试作一个三点形，使它的顶点依次在直线，上，三边，依次通过点，。解：设是上三点形的顶点的任意一个位置，因通过点，所以顶点的一个位置应是与的交点；同理，顶点的一个位置应是与的交点；令交直线于，当且仅当时，三点形才满足条件。按照这个作法，当顶点在直线上移动时，可得点列，顶点则在上画出点列；顶点在上画出点列；与的交点画出点列 因此，当 时，是两个同底的射影点列

37、和的二重点，于是只要能作出这个二重点，便能作出满足条件的三点形，由此的作法如下：如图31 1.在上任取一点，交于，交于，交于。同样的方法在上取的点，作出，；使，这三对对应点完全确定直线到它自身上的射影对应： 2.利用§5.3 例2 的方法，作的二重点。讨论：因为直线到它自身上的射影变换可能有两个二重点；一个重点或者没有二重点三中情况，所以，本体可能有二解，一解或无解。5.4 已知圆锥曲线和上的一个对合由两对彼此对应的点对，和，所确定。求作上对合的透视轴和中心作法： 1.作点， 2.作直线，则在上的透视轴 3.作点，则是的极点，所以，是的透视中心。图32 5.5 条件同(5.4) 题，

38、求作上另一个已知点的对应点。 作法：1.如前题所做透视轴。2. 作点，再作交于点，则就是所求的点。图 33 5.6 设和是圆锥曲线上对合的两对对应点，和是两个二重点，那么与，与，与是另一对合的三对对应点。证明：在圆锥曲线C上任取一点,与三对已知点均不同，设，则=-1因而=所以这个对应里，和彼此对应，因而是一个对合，它的另两对对应点是与，与。6.1 试求通过点=(1,2,1),=（-1,2,1),=（2,0,1)而与直线：相切与点=(0,3,1)的圆锥曲线的方程。答：6.2 试求属于直线，的线圆锥曲线方程。答：习题五1.1 如果，与是仿射平面上的不共线的两个三点组，则有唯一的仿射变换把，变为。证

39、明：设三点形的边依次交无穷远直线于，三点的对应边交于。那么无穷远直线到它自身上有且仅有一个射影变换，使得，设和是这个射影变换的一对对应点且这两点中的任一点都不同于，那么和是两个四角形点集，所以，有且仅有一个直射变换（平面到它自身），使得：。然而直射变换保持直线不变，由仿射变换的第一种定义，是惟一的仿射变换，使得。1.2 如果在两个射影对应的线束里有三对对应直线是平行的，则所有的对应直线都是平行的。证明：设线束（）线束（）且/,/,/那么这三对平行线的交点都在无穷远直线上，令，如果和是这两个摄影线束中任一一对对应直线，但与三对已知平行直线不相同，那么，若和分别交于和，则1.3 如果两个三角形的对

40、应边的互相平行，则对应顶点的联线共点或互相平行，举出着两种情况的例子。证明：设三角形和中，与；与；与互相平行，那么这三对对应的交点都在无穷远直线上，由笛沙格定理，对应点的连线，共点S。如图34。若S是无穷远点，则，互相平行，若S是普通点，则此三直线共点。如图35。1.4 平行四边形的对角线交于每一条对角线上的两个顶点的仿射中心。证明：设是平行四边形，两条对角线和交于点。因为两组对边互相平行，所以它们的交点都在无穷远直线上，把看做完全四点形，则是它的一条对角线，和则是完全四点形的一对对边，若它们依次交于点和，则从而可适当选择和的表示方法，使则，同理 1.5 叙述并证明下述定理的仿射形式：“三角形

41、的中线交于一点，这个点分每一条中线（线段）于”。解：三角形任意两顶点的仿射中心与第三个顶点的连线称为放射中线，利用这个定义可把题目指出的定理的仿射形式叙述如下：“三角形的三条仿射中线相交于一点，每一条仿射中线上三个点的仿射比等于”。证明：设三角形的三边，上两个顶点的仿射中心是、。则 在上取一点，使得则 同样，在和上各取一点和，则 若，则1.6已知圆锥曲线的射影方程为试求中心的仿射坐标，渐近线的方程（如果中心和渐进线存在）以及通过点的直径和它的共轭直径。答：中心的仿射坐标为渐近线的仿射方程式和通过的直径坐标为，仿射坐标为，它的共轭直径为，所以共轭直径的仿射方程为。2.1 抛物线的任何两条切线都不

42、平行。证：设抛物线有两条切线和，那么都不同于无穷远直线，（因为仿射平面上不包含无穷远直线）。若/,那么必在无穷远直线上。仿射平面上，必是抛物线的切线，于是通过有三条和与抛物线相切，这是不可能的，所以不平行于。2.2 如果一个六角形内接于一个圆锥曲线并有两对对边互相平行，则第三对对边也互相平行。证明：圆锥曲线内接六角形的三对对边共线，如果有两对平行，则它们的交点是无穷远点，所以这一条巴斯加是无穷远直线，因而第三对对边的交点是上的一个点（无穷远点），所以，它们互相平行。2.3 如果平行四边形切于一个有心圆锥曲线，则对角线是圆锥曲线的共轭直径。证明：设是有心圆锥曲线C的外切平行四边形，各边上的切点为

43、，和在无穷远直线上，关于C的极点是就是的中心，再设应用巴斯加定理于的内接四角形得共线，所以在上，从而断定是的内接平行四边形，而且这个平行四边形的中心也是，即。因是的极点，是的极点，所以是的极线，另外，由作已知直线的极点的方法，可知也是的极线，因此，共线。同理，共线。这就是说，和都通过的中心，又由于它们是的内接完全四点形的两条对角线，它们是共轭的，所以和是的共轭直径。2.4 如果双曲线的一条切线渐进线于和，则分别通过和的两条平行线必定共轭。证明：设是双曲线的中心，则无穷远直线是的极点，与是的渐近线，它们通过而且分别与相切与点和，又是上任一点，在点上的切线和相交于和。如图38在线束和线束之间建立直线的对应：是线束的每一个条直线对应于里与它配极共轭的直线。线束和线束的对应是射影的。这是因为线束的每一个调和直线集中直线的极点成调和点列。而线束里经过这个点列中各点的直线必调和直线集。线束的每个调和直线集对应于线束的调和直线集。所以线束和是射影的。而且容易看出，它们的公共直线自对应，所以它们还是透视的。即线束线束现在求线束与的透视轴。事实上 就是线束与的透视轴。通过和的两条平行线的交点