函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)

1、第二讲：函数的单调性一、定义：1 .设函数yf(x)的定义域为I,如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量的值Xi,X2,当XiX2时,都有f(xi)f(X2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D叫yf(x)的单调增区间.注意：增函数的等价式子：(XiX2)f(Xi)f(X2)0f(Xl)f(X2)0;XiX2难点突破：(i)所有函数都具有单调性吗？(2)函数单调性的定义中有三个核心XiX2f(xi)f(x2)函数f(x)为增函数,那么中任意两个作为条件,能不能推出第三个?2 .设函数yf(x)的定义域为I,如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量的值Xi,X2,当XiX2时,

2、都有f(xi)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数.区间D叫yf(x)的单调减区间.注意：(i)减函数的等价式子：(XiX2)f(Xi)f(X2)0f(Xi)f(X2)0；XiX2(2)假设函数f(x)为增函数,且XiX2,那么f(Xi)f(X2).题型一：函数单调性的判断与证实例1.函数f(x)的定义域为R,如果对于属于定义域某个区间I上的任意两个不同的自变量Xi,都有f(Xl)f(x2)0.那么()XiX2A.f(x)在这个区间上为增函数B.f(x)在这个区间上为减函数C.f(x)在这个区间上的增减性不变D.f(x)在这个区间上为常函数变式练习：定义在R上的函数f(x)对任意0X

3、2Xi都有f(Xl)f(X2)1,且函XiX2数yf(x)的图象关于原点对称,假设f(2)2,那么不等式f(x)x0的解集为.例3.证实：函数f(x)x3x在R上是增函数.易错点:a变式练习：讨论f(x)x-(a0)的单调性.并作出当a1时函数的图象.x变式练习：f(x1)x22x,判断函数g(x)f®在(0,1)上的单调性,并用定x义证实.题型二：函数的单调区问难点突破：(1)函数在某个区间上是单调函数,那么它在整个定义域上也是单调函数吗？易错点：区间端点的确认多个单调区间的写法一_1.一(2)函数f(x)的单调减区间是(,0)(0,)上吗？x例1.(图像法)求以下函数的单调区间2

4、(1)f(x)|x1|x2|.(2)f(x)x2|x|3.(3)f(x)|x24x5|.1x,例2.(直接法)求函数f(x)=的单调区间.1x8)的单调递增区间是D.(4,)例3.(复合函数)(2021全国二)函数f(x)ln(x22x()A.(,2)B.(,1)C.(1,)易错点:变式练习：求以下函数的单调区间.1(Dy(2)yxx3x25x6(3)y11.32xx2题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数f(x)是实数集R上的增函数,令F(x)f(x)f(2x).(1)证实：F(x)是R上的增函数；(2)假设F(x1)F(x2)0,求证：x1x22.例2定义在(0,)上的函数f(x)满足下

5、面三个条件:对任意正数a,b,都有f(a)f(b)f(ab)；当x1时,f(x)0；f(2)1.(1)求f的值；(2)使用单调性的定义证实：函数“*)在(0,)上是减函数;(3)求满足f(3x1)2的x的取值集合.题型四：函数单调性的应用(1)利用函数的单调性比拟大小在解决比拟函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.正向应用：逆向应用:例1.fx在0,上单调递减,那么fa2a1与f3的大小关系是4变式练习：函数“*)满足£(1x)f(1x),且对任意的Xi,X21(X1X2),有f(x1)fd)X1x2、L1、-0.设af(-),bf(2),c2f(3),那么

6、a,b,c的大小关系(2)利用函数的单调性解不等式例2.设f(x)是定义在1,1上的增函数,且f(x2)f(1x)成立,求x的取值围.易错点:变式练习.设f(x)是定义在3,3上的偶函数,当0X3时,f(x)单调递减,假设f(12m)f(m)成立,求m的取值围.(2021全国二)设函数f(x)ln(1x)1二,那么使得f(x)f(2x1)成立的xx的取值围是(1,、A.(-,1)B.3(1,C.D.13)1(3,)(2021全国一)设函数fx,那么满足fx11,x0f2x的x的取值围是()A.,1B.0,C.1,0D.,0(3)根据函数的单调性求参数的取值围例1.如果函数f(x)2x24(1a

7、)x1在区间3,)上是增函数,那么实数a的取值围是()A.(1,2)B.(0,2)C.(0,1)D.2,变式练习：如果函数f(x)X22(1a)x2在区间,4)上是减函数,数a的取值隹假设函数f(x)(2b1)xx2(2b1,x0.例3.假设函数y|xa|在区间(,4上是减函数,数a的取值围.,在R上为增函数,那么实数b的取值围是b)x,x0易错点:第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1,函数的奇偶性奇偶性定义图象特点备注奇函数设函数yf(x)的止义域为D,如果对D的任意一个x,都有xCD,且fxfx,那么这个函数叫做奇函数关于原点中央对称函数f(x)是奇函数且在x0处有定义,那么f(0)0隅函数

8、设函数yf(x)的止义域为D,如果对D的任意一个x,都有xD,且fxfx,那么这个函数叫做偶函数关于y轴对称例1(2021全国二)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,f(3)3,那么f(1):例2(2021全国二)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(,0)时,-32f(x)2xx,那么f(2).(1)2Qir例3(2021全国二)设函数f(x)(xJ的最大值为M,最小值为m,x1贝UM+m=.2.函数的图象(1)平移变换：“上加下减,左加右减例4(2021全国二)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0),那么x|f(x2)0A.x|x2或x4B.x|x0或x4C.x|x2或x2D.x

9、|x2或x4(2)对称变换/<j>r/关于x轴对称r/yf(x)yf(x)；yf(x)关于y轴对称yf(x);yf(x)关于原点称yf(x)；yax(a0且a1)关于yx对称ylogax(a0且a1);奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于y轴对称.(3)翻折变换yf(x)保存x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|.例5(2021全国二)函数f(x)|lgx|,0x101,假设a,b,c均不相等,且x62f(a)f(b)f(c),那么abc的取值围是()A.(1,10)B.(5,6)C(10,12)D.(20,24)2例6(2021全国二)函数yf(x)的周期

10、为2,当*1,1时f(x)x,那么函数yf(x)的图象与函数y11gxi的图象的交点共有()A.10个B.9个C.8个yf(x)保存y轴右边图象,并作其关于y轴对称的图象(去掉原f(x)在y轴左侧的图象)yf(|x|).例7(2021全国二)以下函数中,既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是(A. yx3B. y|x|1C.例8(2021大纲)直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点,那么a的取值围是(4)函数图象的几种对称关系f(x),xR满足f(ax)f(ax)yf(x)图象关于直线xa为轴对称;例9(2021全国二)f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x),假设f(1)=

11、2,那么f(1)f(2)f(3).f(50)()A.-50B.0C.2D.50f(ax)f(bx)f(x)图象关于x=b为轴对称；2ba函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x3对称.21如：yf(x/Dyf(1x)的图象,关于直线x为轴对称.2例10(2021全国二)函数f(x)ax32x的图像过点(-1,4),那么2=.二、真题演练1 .(2021全国一)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,那么以下结论中正确的选项是(A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数

12、2 2,x1错误！未找到引用源.log2(x1),x1f(a)3,那么f(6a)=()A.-B.-C.-D.-3.(2021全国设函数yf(x)的图像关于直线yx对称,且f(2)f(4)1,贝la()A.-1B.1C.2D.44.(2021全国一)函数y、n的局部图像大致为(1cosx5.(2021全国一)函数f(x)lnxln(2x),那么(A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减1对称D.yf(x)的图像关于点(1,0)对称x的局部图像大致为(C.yf(x)的图像关于直线B.D.二、课后作业1.假设奇函数f(x)在3,7上是增函数且最大值为5,那么f(x)在A.增函

13、数且最小值是5C.减函数且最大值是5B.D.增函数且最大值是减函数且最小值是7,3上是(552.假设f(x)(m1)x22mx3是偶函数,那么f(x)在4,1上(A.是增函数B.是减函数C.不具有单调性D.单调性由m的值确定3.函数f1-,一一,一xa,右fx为奇函数,那么a2x14.函数fxaxb12是定义在(1,1)上的奇函数,且f(),求函数f(x)的1x225解析式第四节：函数的零点、知识梳理零点：方程f(x)0的解；函数f(x)图象与x轴交点的横坐标.函数F(x)f(x)g(x)的零点是函数f(x)与函数g(x)图象交点的横坐标.零点存在定理：函数f(x)在定义域a,b上连续,假设f(a)f(b)0,那么f(x)在定义域a,b上一定存在零点.例(2021全国二)在以下区间中,函数fxex4x3的零点所在的区间为1A4,01B0,41 3、D27二、真题演练1.2021全国三函数f(x)x22