高二数学期望

1、8.2.6 离散型随机变量的数学期望高二数学组1 1、什么叫、什么叫n n次独立重复试验？次独立重复试验？一一. .复习复习一般地，由一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与与，每次试验中，每次试验中P(A)p0。称这样的试验为。称这样的试验为n次独立次独立重复试验重复试验，也称，也称伯努利试验。伯努利试验。A2 2、什么叫二项分布？、什么叫二项分布？k kk kn n k kn nn nP P ( (k k) )C C p p ( (1 1 p p) ) X 0 1 k n

2、 P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0若若XB (n，p)一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量X X可能取的值为可能取的值为x x1 1，x x2 2，x xi i，X X取每一个值取每一个值x xi i(i(i1 1，2 2，) )的概率的概率P(XP(Xx xi i) )p pi i，则称下表，则称下表为随机变量为随机变量X X的的概率分布，概率分布， 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：列都具有下述两个性质：( (1)p1)pi i00，i i1 1，2 2，；( (2

3、)p2)p1 1p p2 21 13 3、随机变量的概率分布、随机变量的概率分布Xx1x2xiPp1p2pi引例p69全年级有n=300个学生，其中有ni同学的身高是xi cm身高xi156157158.184185人数nin1n2n3n29n30比例ni/nn1/n n2 /nn3 /nn29 /n n30 /nP(xi)= ni/nn1/n n2 /nn3 /nn29 /n n30 /n全年级同学身高总和为多少，平均身高全年级同学身高总和为多少，平均身高u u为多少？为多少？二、引例二、引例从班中任选一位同学，用从班中任选一位同学，用X代表身高，则代表身高，则X=156的概率的概率分布有多

4、少分布有多少？nniipxpxpxpxXE 2211)(nXE1)( (11nx+22nx+.+ mmnx) 把全年级的平均身高把全年级的平均身高 u 定义成定义成 X 的均值，记作的均值，记作 E(X) P=p(X=ix)=nni,i=1,2.n 全年级同学的平均身高是全年级同学的平均身高是 数学期望的定义若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称： EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。三、新课讲解三、新课讲解小练习 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中得1分的概率为0.7，那么他罚球一次得

5、分设为X，X的均值是多少？解：该随机变量解：该随机变量X X服从两点分布服从两点分布: : P(X=1)=0.7 P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3P(X=0)=0.3所以：所以：EX=1EX=1P(X=1)+0P(X=1)+0P(X=0)=0.7P(X=0)=0.7X01p0.30.75 . 05 . 0115 . 010 11111010XPXPEX四、应用例题 例例2.在只需回答在只需回答“是是”“”“不是不是”的知识竞赛时，每个选手的知识竞赛时，每个选手回答两个不同的问题，都回答失败，输回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢分，否则赢0.3分，分，用用X表示甲的得分，如

6、果甲随机猜测表示甲的得分，如果甲随机猜测“是是”“”“不是不是”，计，计算算X的概率的分布和数学期望的概率的分布和数学期望。 解：X=-1的充分必要条件是两次猜错，所以 p(X=-1)=1/4=0.25 X=0.3是X=-1的对立事件，所以 p(X=0.3)=3/4=0.75 X只取-1和0.3，于是 E(X)=-1 p(X=-1)+(0.3 ) p(X=0.3) =-1 0.25+0.3 0.75=-0.0252、如果随机变量如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，那么那么 EX= p 3、若、若XB (n，p)，则，则 EX= n p4、超几何分布超几何分布nMEN五、性质五、性质1

7、 1、若、若Y=aX+b,a,bY=aX+b,a,b常数，则常数，则E(aX+b)= aE(X)+bE(aX+b)= aE(X)+b小练习小练习:某学校要从某学校要从5名男生和名男生和2名女名女生中选出生中选出2人作为上海世博会人作为上海世博会志愿者，若用随机变量志愿者，若用随机变量x 表示选出的志愿者中女生的表示选出的志愿者中女生的人数，则人数，则x的数学期望是的数学期望是 （结果用最简分数表示）（结果用最简分数表示）74变式 一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。105*4E(X)= =2 例例3.甲乙比赛时，甲每局赢的概率是甲乙比赛时，甲每局赢

8、的概率是P=0.51，乙每局赢的，乙每局赢的概率是概率是q=0.49，甲乙一共进行了，甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛次比赛，当各次比赛的结果是相互独立的，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多的结果是相互独立的，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局。少局。 解:用X表示10局中甲赢的次数， 则X服从二项分布B（10，0.51）. E（X）=10 0.51=5.1 所以 甲平均赢5.1局 用Y表示10局中乙赢的次数， 则Y服从二项分布B（10，0.49）. E（Y）=10 0.49=4.9 所以乙平均赢4.9局 例例4，袋中有，袋中有3个红球，个红球，7个白球，从中无放回地任取个白球，从中无放回地任取5个，个，取到几个红球就得几分，问平均得几分。取到几个红球就得几分，问平均得几分。 解：用X表示得分数，则X也是取到的红球数， X服从超几何分布H（10，3，5），于是 EX=nM/N=53/10=1.5 所以平均得到了1.5分。 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则E= . 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是E=7.5,则a= b= .4a910P0.30.1b0.22.40.47(2)若=2+1，则E= . 5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则a= b= .0.40.1变式：数学期望小结EX表示X所表示