利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧(附经典详解)

1、利用导数证实不等式的常见题型及解题技巧趣题引入函数g(x)=xlnx设0<a<b,证实:0：g(a)g(b)-2(-b)：(b-a)ln22分析：主要考查利用导数证实不等式的水平.证实：g<x)=lnx+1设F(x)=g(a)+g(x)-2g(ax)2''ax1',axaxF(x)=g(x)-2g(-)-=g(x)-g(-)=Inx-In-2222当0<x<a时F,(x)<0,当xa时F,(x)A0,即F(x)在x(0,a)上为减函数,在xe(a,+)上为增函数F(x)min=F(a)=0,又baaF(b)aF(a)=0,即g(a)g

2、(b)-2g(ab)02设G(x)=g(a)g(x)-2g(-一x)-(x-a)1n22ax.G(x)=InxTn-In2=Inx-1n(ax)2当x>0时,G(x)<0,因此G(x)在区间(0,依)上为减函数；由于G(a)=0,又ba二.G(b)<G(a)=0,即g(a)g(x)-2g(ax)-(x-a)1n2：二02故g(a)g(x)-2g(a-x)：(x-a)1n22综上可知,当0<a<b时0<g(a)+g(b)-2(-b)<(b-a)1n22此题在设辅助函数时,考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点,因此,设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量

3、,范例中选用右端点,读者不妨设为左端点试一试,就能体会到其中的微妙了.技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证实不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点.二、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证实转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证实不等式的关键.1、利用题目所给函数证实【例1】函数f(x)=ln(x+1)-x,求证：当XA-1时,恒有1-x2(x1)(x1)三ln(x1)三xx1分析：此题是双边不等式,其右边直接从函数证实,左边构造函数g(x)=ln(x+1)+'-1,从其导数

4、入手即可证实.x1【绿色通道】f,(x)=,1=上x1x1当-1<x<0时,f'(x)A0,即f(x)在x"-1,0)上为增函数当x>0时,f,(x)<0,即f(x)在xW(0尸)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间(0,一)于是函数f(x)在(-1,收)上的最大值为f(x)max=f(0)=0,因此,当x>1时,f(x)Ef(0)=0,即ln(x+1)xE0ln(x+1)Ex(右面得证),现证左面,令g(x)=ln(x+1)+1-1,那么g(x)x1当xW(1,0)时,g(x)<0;当xW(0,也)时,g&#

5、39;(x)>0,即g(x)在xw(-1,0)上为减函数,在xw(0,y)上为增函数,故函数g(x)在(1什)上的最小值为9仪濡=g(0)=0,当x>1时,g(x)之g(0)=0,即ln(x+1)+_1之0x1.11ln(x+1)之1一综上可知,当x>1时,有-1<ln(x+1)<xx1x1【警示启迪】如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值,那么有f(x)Mf(a)(或f(x)>f(a),那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过0就可得证.2、直接作差构造函数证实【例2】函数f(x)=1x2+lnx.求证：在区间(1,+s)上,函数f(x)2的图象

6、在函数g(x)=2x3的图象的下方；3分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方u不等辑x)<g(x)问题,即lx2+lnx<2x3只需证实在区间(1,+3)上,恒有1x2+lnx<2x32 323成立,设F(x)=g(x)-f(x),xw(1,f),考虑至UF(1)=>06要证不等式转化变为：当x>1时,F(x)AF(1),这只要证实：g(x)在区间(1,一)是增函数即可.【绿色通道】设F(x)=g(x)-f(x),即F(x)=2x31x2lnx,3 2,2那么F'(x)=2x2-x=(x-1)(2x+x+D当x>1时,xx2F,(x)=(

7、x)(xx)从而F(x)在(1,+叼上为增函数,x1F(x)F(1)06.二当x>1时g(x)-f(x)>0,即f(x)<g(x),故在区间(1,+的)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=|x3的图象的下方.【警示启迪】此题首先根据题意构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),弁利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证实要证的不等式.读者也可以设F(x)=f(x)_g(x)做一做,深刻体会其中的思想方法.3、换元后作差构造函数证实例3证实：对任意的正整数n,不等式in(1+i)>4.4都成nnn立.分析：此题是山东卷的第(II)问

8、,从所证结构出发,只需令1=x,那么问题转化为：当x>0时,恒有ln(x+1)>x2-x3成n立,现构造函数h(x)=x3-x2+ln(x+1),求导即可到达证明.【绿色通道】令h(x)=x3-x2+ln(x+1),那么3,2h(x)=3x2-2x+=-x一(x)在xw(0户)上恒正,所以x1x函数h(x)在(0,y)上单调递增,xw(0,收)时,恒有h(x)Ah(0)=0,即x3x2+ln(x+1)>0,/.ln(x+1)ax2x3对任意正整数n,取x=1三(0,y),那么有lnH+1)nnnn【警示启迪】我们知道,当F(x)在a,b上单调递增,那么xa时,有F(x)F(a

9、).如果f(a)=邛(a),要证实当xa时,f(x)>(x),那么,只要令F(x)=f(x)甲(x),就可以利用F(x)的单调增性来推导.也就是说,在F(x)可导的前提下,只要证实F'(x)O即可.4、从条件特征入手构造函数证实例4假设函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf'(x)>f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,求证：.af(a)>bf(b)【绿色通道】由xfr(x)+f(x)>0.构造函数F(x)=xf(x),那么F'(x)=Xf,(x)+f(x)>0,从而F(x)在R上为增函数.a-b/.F(a)>F(b)即a

10、f(a)>bf(b)【警示启迪】由条件移项后x(x)+f(x),容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数F(x)=xf(x),求导即可完成证明.假设题目中的条件改为x(x)>f(x),那么移项后x(x)f(x),要想到是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结.【思维挑战】1、设a之0,f(x)=x-1-ln2x+2alnx求证：当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1,2、定义在正实数集上的函数f(x)x22ax,g(x)=3a2lnxb,2其中a>0,Hb=-a2-3a2lna求证：f(x)之g(x)23、函数f(x)=ln(1+x)-上,求证：对任意的正数

11、a、b,1 x-b怛有lna-lnb-1.a4、(2007年,陕西卷)f(x)是定义在(0,+oo)上的非负可导函数,且满足f(x)f(x)w0,对任意正数a、b,假设a<b,那么必有()(A)af(b)wbf(a)(B)bf(a)Waf(b)(C)af(a)<f(b)(D)bf(b)<f(a)【答案咨询】1、提示：f'(x)=1-21nx+2a,当x>1,a之0时,不难证实21nx<1xxx(x)>0,即f(x)在(0尸)内单调递增,故当x>1时,f(x)Af(1)=0,.二当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+12、提示：设

12、F(x)=g(x)-f(x)=1x2+2ax-3a2lnx-b那么23aF(x)=x2ax(x一a)(x3a)=A(x>0)-a>0,.当x=a时,F'(x)=0,故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,抬)上为增函数,于是函数F(x)在(0,收)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0,故当x>0时,有f(x)g(x)至0,即f(x)至g(x)3、提示：函数f(x)的定义域为(1,也),fx)=-二=一J1x(1x)2(1x)2当1<x<0时,f'(x)<0,即f(x)在xw(-1,0)上为减函数当x>0时,(x)A0,即f(x)在xW(0,y)上为增函数因此在x=0时,f(x)取得极小值f(0)=0,而且是最小值于是f