873电子版自控原理第五章

1、第五章频域分析法l 目的：直观，对高频干扰的抑制能力。对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。便于系统的分析与设计。易于用实验法定传函。§5.1 频率特性一.定义G(s) =q (s)(s + p1) × × × (s + pn )在系统输入端加一个正弦信号： r(t) =Rm ×sin w tRm ×wRm ×w(s + jw)(s - jw)« R(s) =+ w 2s 2系统输出：Y (s) =q (s)×Rm ×w(s + p1 ) ××× (s + pn

2、)(s + jw )(s - jw )1+ A × e- jw t+ A × e jwt« y(t) =y1 (t)瞬态响应lim y1 (t) = 0若系统稳定，即G(s)的极点全位于s 左半平面，则t ®¥稳态响应为：yss (t) = A× e- jwt + A× e jwtRm ×w1 R2 j× (s + jw)×G(- jw)而 A = G(s) ×= -s=- jwms 2+ w 2Rm ×w1 R2 j× (s - jw)×G( jw)A

3、= G(s) ×=ms= jw+ w 2s 211×G(- jw) × e- jwt +R×G( jw) × e jwt(t) = - yRssmm2 j2 j1R×G( jw) × e jwt - G(- jw) × e- jwt =m2 j又G(s)为s 的有理函数，故G( jw ) = G * (- jw )，即2G( jw ) = G( jw ) e jfG(- jw ) = G( jw ) e - jf1R× G(- jw ) e j(wt+f )- e- j (w t +f ) y(t) =s

4、sm2 j= Rm × G( jw) ×sin(w t + f)=Ym ×sin(w t + f)可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。其幅值是输入正弦信号幅值的 G( jw) 倍，其相移为f = ÐG( jw)。G( jw) = G( jw) ÐG( jw) 表示了稳定线性定常系统的稳态输出和输入正弦波之间的关系，故称G( jw) 为频率响应函数。又称G( jw) 为系统的频率特性。= Y ( jw ) （见上面 A， A的求法）可证：G( jw ) = G(s)s= jwR( jw )Rm 

5、15; G( jw) ×w × e jfY (s)= G( jw) e jfY (s) =，+ w 2s 2R(s)即系统正弦稳态响应与其输入量之比称为系统的频率特性。3二表示方法G( jw) = G( jw) ÐG( jw)= A(w )e jf (w )w : 0 ® ¥， A(w) w 为系统的幅频特性，f(w) w 为系统的相频特性极坐标图（奈奎斯特图）（幅相特性图）G( jw) 是复数，亦可看作一个矢量。w 从0 ® ¥ 变化时，矢量G( jw) 的端点在复平面上的运动轨迹1l 正相角按正实轴方向反时针旋转定义。l

6、 用来表示频率特性G( jw) 的平面称为G 平面。G( jw) 的幅相特性是s 平面上的虚轴通过传递函数G( jw) 在G 平面上的。42对数频率特性（伯德图）对数幅频特性： L(w) = 20 lg A(w) w(lgw)j(w) w(lgw)相频特性:A(w) 及w 的变化范围太大，故用对数坐标表示。l 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数lgw 标尺刻度，但标出的是实际的w 值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。l 在横轴上，对应于频率每增大 10 倍的范围，称为十倍频程(dec)，如 110，550，而w 轴上所有十倍频程的长度都是相等的。5为了说明对数幅

7、频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即lgw 变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量，记为NdB / dec 。相频特性也是在半对数坐标系上表示。纵坐标相角j (w)是均匀的，横坐标同上不均匀。基本性质串联环节总的对数幅频特性L(w) = L1 (w) +×××+ Ln (w)串联环节总的相频特性j(w) = j1 (w) +×××+ j n (w)互为倒数的传递函数，其L(w)、j (w)均以横坐标成镜像对称。ll1G2 ( jw)G1 ( jw) =® 20 lg G1 ( jw)= L1 (w) = -2

8、0 lg G2 ( jw)= -L2 (w)j1 ( jw) = ÐG1 ( jw) = -ÐG2 ( jw) = j 2 ( jw)对数幅相图（尼柯尔斯图）L(w )w为参数j（w )3 直角坐标系6§5.2典型环节的频率特性1比例环节oG( jw ) = K = K × e j0A(w) = K , L(w) = 20 lg K ；j(w) = 0极坐标图对数坐标图72环节- jp211G( jw ) =× ejwwA(w ) = 1 , L(w) = -20 lgwÞ w , L(w) ；j(w) = -90°w极坐标

9、图对数坐标图83微分环节jp2G( jw ) = jw = w × eA(w) = w , L(w) = 20 lgw ,w , L(w)； j(w) = 90°极坐标图对数坐标图94惯性环节11+ jwT1× e - jtg -1wTG( jw) =1+ w 2T 21A(w) =,L(w ) = -20 lg1+ w 2T 2；1+ w 2T 2j (w ) = -tg -1wT极:w = 0 ，G( j0) = 1× e j0w = 1 ，G( j) =12 × e - j 45°TTw = ¥，G( j¥)

10、 = 0 × e - j90°对：近似法wT << 1， L(w) = 0dBwT >> 1， L(w) = -20 lgwT = -20dB / dec 二直线交点为w = 1T10w = 10 ， L(w) = -20dB = -20 lg10Tw = 100 ， L(w ) = -40dB = -20 lg102T10nw =， L(w ) = -20 × ndB = -20 lg10nT即w 10 倍， L(w) 20dB Þ20dB/decw = 1 (转角频率)处， L(w) = -20 lg2 = -3dBT最大误差

11、发生处。115一阶微分环节-1× e jtgwTG( jw ) = 1+ jwT =1+ w 2T 2A(w ) =1+ w 2T 2 ,L(w ) = 20 lg1+ w 2T 2 ；j (w ) = tg -1wT极:w = 0 ，G( j0) = 1× e j0w = 1 ，G( j) =12 × e j 45°TTw = ¥ ，G( j¥) = ¥ × e j90°对：与惯性环节成镜像对称。126振荡环节w 2G( jw ) = n( jw ) 2 + 2x w n( jw ) + w 2nw&#

12、233;ùú2xêw n11-1 × expê- tgú=1+ j × 2x ( w ) + ( jww n1- ( wêêë) 2 úw 2w) 2)+ 4x(w)(1-222úûw nw nw2nn1A(w ) =,w 2w)+ 4x222(1-()w nw 2nw 2wL(w) = -20 lg(1-)+ 4x()222w nw 2nw2xw nj (w) = -tg -11- ( w) 2w n13极:w = 0 ，G( j0) = 1× e j0

13、12x× e - j90°w = w ，G( jw ) =nnw ® ¥，G( j¥) = 0 × e - j180°对：L(w) 的渐近线w << wn ，L(w) = 0dBw >> wn ，ö 4æ wL(w ) = -20 lgç w÷èøn= -40 lg w= - 40dBdecw nw = w n ， L(w) = -20 lg(2x )，为交接/转角频率。147二阶微分环节ww n) + j( wG( jw) = 1+ 2x

14、( j) 2w n极：对：与振荡环节成镜像对称。15§5.3 开环系统的频率特性一.开环系统的极坐标图开环频率特性的一般形式：K 0 (1+ jwt 1 )(1+ jwt 2 ) ××× (1+ jwt m ) ×××G( jw) =( jw) N (1+ jwT1 )(1+ jwT2 ) ××× (1+ jwTn- N ) ×××1 由N 决定w ® 0时的形状w ® 0 时Ð(1+ jwt ) ® 0i1Ð()

15、® 01+ jwTi1jwЮ -90°lim ÐG( jw ) = NÐ - 90°w ®0= ìK 0 , N = 0lim | G( jw |í ¥, N ¹ 0w ®0î16ÞN = 0，0 型系统ÐG( jw) = 0°， G( jw)= K 0I 型系统ÐG( jw) = -90°， G( jw)N = 1 ,= ¥= ¥N = 2 , II 型系统ÐG( jw)

16、= -180°， G( jw)2 由m - n 决定w ® ¥时的形状w ® ¥时,Ð(1+ jwt ) ® 90°i1Ð() ® -90°1 + jwti1jwЮ -90°lim ÐG( jw ) = m × 90° + N (-90°) + (n - N )(-90°)w ®¥= (m - n)Ð90°m < nm = n= ì 0lim G(

17、jw )íKw ®¥î0171例. 已知G( jw) =，jw(1+ jT w)(1+ jT w)(1+ jT w)123求作极坐标图解： m = 0， n = 4， N = 1lim G( jw ) = ¥Ð - 90°w ®0lim G( jw ) = 0Ð - 360°w ®¥由ReG( jw ) = 0 可求与虚轴交点处频率w ,y由ImG( jw ) = 0 可求与实轴交点处频率w ,x代入ReG( jw )及ImG( jw )即与实、虚轴交点xy由w ®

18、 0时， G( jw) 沿平行于虚轴的渐近线® 0渐近线与实轴的交点V= lim ReG( jw )xw ®018二.开环系统的伯德图一般规则：将G( jw) 写成典型环节之积找出各环节的转角频率画出各环节的渐近线在转角频率处修正渐近线得各环节曲线将各环节曲线相加即G( jw) 的波特图12345（实验法测G( jw)H ( jw)的方法：先图，再函数）§5.4频域稳定判据l 由开环频率特性判别闭环稳定性的方法l 此法的优点：主要靠作图，计算量很小。不仅能回答闭环系统是否稳定，而且还可以得出系统接近不稳定的程度，称为稳定裕度。不要求知道系统的微分方程或传递函数，而

19、只要依靠实验测出其开环频率特性就可以。19由于这些重要优点，Nyquist 稳定判据在系统稳定性的分析中有十分重要的地位，事实上它是整个频域理论的基石。一奈奎斯特稳定判据1 F (s)与T (s)的关系T (s) = C(s) =G(s)= G(s)R(s)1+ G(s)H (s)F (s)分母F (s) = 1+ G(s)H (s) = 1+ N (s) = D(s) + N (s)D(s)D(s)= K × (s + z1 )(s + z2 ) ××× (s + zm )(s + p1 )(s + p2 ) ××× (s

20、 + pn )F (s) 极点开环G(s)H (s)的极点F (s)零点闭环T (s)的闭环极点闭环稳定Þ 闭环极点在 s 左半平面Þ F (s)零点在 s 左半平面202辐角原理（定理）ÐF(s) = Ð(s + z1 ) + Ð(s + z2 ) +×××+ Ð(s + zm ) - Ð(s + p1 ) - Ð(s + p2 ) -×××- Ð(s + pn )s 平面：顺时针包围F (s)的z 个零点 F 平面： F (s)顺时针绕原点z

21、 圈(-2p )z 角增量s 平面：顺时针包围F (s)的 p 个极点 F 平面： F (s)逆时针绕原点 p 圈-(-2p ) p角增量F 平面：F (s)绕原点逆时针转N = ( p - z)s 平面：顺时针包围F (s)的 p 个极点及z 个零点圈（*）3定理在分析闭环稳定性中的应用21奈奎斯特围线：令 s 平面上的封闭曲线包围全部右半 s 平面，曲线由整个 jw 轴（从w = -¥到w = +¥）和右半 s 平面上半径为无穷大的半园轨迹。轨迹为顺时针。包含了F (s)的全部具有正实部的零极点。若F (s)在此无零点，则此处亦无闭环极点，系统闭环稳定。如何知 F (s

22、)在此无零点?可由N = ( p - z)， z = 0 ( F (s)的零点)Þ N = p ( F (s)的极点，即开环极点)知道，即可根据F (s)逆时针绕原点的圈数，反推出闭环极点<0 个数。沿 jwF (s) ® F ( jw )ÞÞì s轴变化ïslim F (s) = K , m = n, 位于F平面实轴沿无穷大半园变化ís®¥ï（分母阶数大） 0，m < n, 位于F平面原点îÞ考虑F (s)是否包围 F 平面上的原点Û 考虑 s 平面的

23、 jw 轴，即变点从- j¥ ® + j¥运动的情形22而F (s)1+ G(s)H (s) ¾w¾®-¾¥ ¾+¥®1+ G( jw)H ( jw) 绕原点® G( jw)H ( jw)绕(-1+ j0)点的次数 N(逆时针)（*）* ： N = ( p - z) ® z = p - N4 奈奎斯特稳定判据若开环传函G(s)H (s)在 s 的右半平面有 p 个极点，则为了使闭环系统稳定，当w 从- ¥ +¥变化时，G( jw)H ( jw)的

24、轨迹必反时针包围GH 平面上的(-1+ j0)点N = p次。即z = p - N = 0而z 闭环传递函数在 s 右半平面的极点数。（ F (s)的零点数）p 开环传函在 s 右半平面的极点数。N G( jw)H ( jw)绕(-1+ j0)点逆时针转的次数。（若N 为顺时针转时，则应为z = p + N ）23K 0例.判别 0 型系统G(s)H (s) =的稳定性。(T1 s +1)(T2 s +1)解： n - m = 2 ， N = 0可画出开环系统的极坐标图p = 0， N = 0 Z = 0p = 0即闭环传函在 s 右半平面无极点 系统稳定二对数判据1极坐标与对数坐标图的对应关

25、系24圆 G( jw)H ( jw) = 1对数幅频图的 0dB 线；极坐标图极坐标图负实轴 G( jw)H ( jw) = a 对数相频图的-180°线；圆外区域对数幅频图的 0dB 以上区域；圆内区域对数幅频图的 0dB 以下区域；极坐标图极坐标图极坐标图上(-1+ j0)点对数L(w) = 0dB,j(w) = -180°。25AB: ÐGH - + (-180o )；CD: ÐGH - + (-180o );BC: ÐGH - + (0o )； DE: ÐGH - + (0o )如图示系统开环 p0，其极坐标图及对数坐标图如上

26、。根据奈氏判据及极坐标图，知系统稳定， G( jw) 不包括(-1, j0) 点Û G( jw) 不穿越-1点以左的区段（如）；或：G( jw) 在-1 点以左的正穿越次数负穿越次数（如）若用G( jw) 的幅相关系表述，则为：在 G( jw)次数负穿越次数> 1的范围内， ÐG( jw) 对-180°线的正穿越262 对数判据若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在L(w) > 0dB 的所有频段内，j (w)正负穿越-180°线的次数差为 0。(R=p/2,p 为奇数时，半次穿越)例.若开环系统的对数坐标系图分别如下图所示

27、，判其稳定性。N=0 稳定N=1-1=0稳定27三稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。可用G( jw)H ( jw)曲线接近-1 点的程度来表征。相位裕度g ：极坐标图 G( jw)H ( jw)= 1的矢量与负实轴的夹角= 0处j (w)与- p 的差对数坐标图上20 lg GHg > 0系统稳定（对最小相位系统）281增益裕度k ：G( jw )H ( jw )ggg对数图上j(w) = -180°时的- L(w )gK (dB) > 0系统稳定（对最小相位系统）；g = 180° + Ð(G( jw)H ( jw )ccg§5.5闭环系

28、统频率特性一 闭环频率特性及性能指标G( jw )1+ G( jw )G(s)；则T ( jw ) =反馈系统的闭环传递函数为T (s) =若1+ G(s)若G( jw) = A(w)e jf (w ) ，A(w)e jf (w )1+ A(w)e jf (w )则G( jw) = M (w)e ja (w ) =（*）极坐标图对数坐标图291 Mr 较高时域阻尼小， M p 大，收敛慢，平稳及快速性差。¥ ，则闭环特征式® 0 Þ有± jw 的特征根Þ临界稳定，trs®® ¥若Mr2 Bw 较大系统惯性小，快速性

29、好。若w® ¥，则系统相当于放大环节。c(t) = k × r(t)，t= 0。bsl 一般准则：频带宽，峰值小过渡性能好。301反馈系统的开环传函G(s) =例.已知，分析其稳定性及频域性能。s(s +1)(0.5s +1)解：画开环系统频响的伯德图并判稳定性开环系统伯德图(w) ；j(w) = j1 (w) + j 2 (w) + j3 (w)L(w) = L (w) + L (w) + L123从中可见g > 0， k> 0 闭环稳定g31画闭环频率特性曲线并分析性能由伯德图查得：wL(w)j (w)0.214-105°0.47-125

30、°0.63-135°0.8-1-150°1.0-4-162°1.2-7-173°1.6-9-180°1.8-13-190°由尼柯尔斯图/或计算得：32M (w)¶(w)0.25-14°1.2- 26°3- 45°5- 88°3-140°-2-165°-6-180°-11-195°闭环频率特性曲线可查出M r = 5dBw= 1.3rad / sb二 从开环频率特性研究闭环系统的动态性能1最小相位系统观察各类稳定的典型环节，其伯德图有如下

31、共同特征：若在某一相当宽的频率段内， L(w) 的斜率» 0 ，则j(w) » 0。33若在某一相当宽的频率段内， L(w) » -20dB / dec，则j (w ) » - p 。2这种情况绝非偶然，数学上可以证明：右半平面上既无零点并无极点的传递函数，其幅频。若给了L(w) ，就可算j (w)特性与相频特性不是互相的，二者之间存在着严格确定的（(5-43)）。具有这种传函的系统称为最小相位系统。最小相位系统这一名称来源于通信科学，其含义是：若有几个传递函数的L(w) 完全相同， 那么其中在 s 右半平面无零极点的那个函数，其相频特性函数的绝对值为最

32、小。工程上并不使用(5-43)式来实际计算j (w) ，但可利用这一性质，直接从最小相位系统的L(w)稳定性及动态性能，这样就可省去绘制准确的相频特性曲线的工作。2开环频率特性的低频段决定稳态性能34O 型I 型II 型1= 0e= 0=ee阶跃ssssssK + 11K¥¥¥01K斜坡度3开环频率特性的中频段决定稳定性35(a)II 型(b)I 型K (1+ jwT )(a) G( jw) = 1 ( jw) 2wwj(w ) = -180° + arctgw T= -180° + arctg(c )； g = 180° + j(w

33、 ) = arctg(c )wwcc1c11K(b) G( jw ) =jw (1+ jwT )2j(w ) = -90° - arctgw T= -90° - arctg(wc )； g = 90° - arctg(w c ) = arctg()ww2wwcc222c36表明：g 与w 至w 之间、w 至w 之间的距离有关。1c2c(a) 只要w < w ,g1c小于45°，L(w) 以20dB/dec 穿过0dB 线；若w >w ，则系统以40dB/dec1c穿过 0dB 线，g < 45°，w 越大，g 越小。w 10w

34、 时，g = 5.7°，临界稳定。11c(b) 只要w³ w ,g2c小于45°， L(w) 以20dB/dec线；若w <w ，则系统以2c穿过 0dB40dB/dec 穿过 0dB 线，g < 45°，w 越小，g 越小。w 0.1w 时，g = 5.7°，临界稳定。21c 结论：只要L(w) 以20dB/dec 穿过 0dB 线，二阶系统至少有45°的g 。w 或w 离w 越远，g12c越大；当L(w) 以20dB/dec 穿过 0dB 线，w 或w 离w 越远，g 越小12cK若(b)的高频段再附加60dB/dec

35、 斜率的线段，则G( jw) =jw(1 + jwT )(1 + jwT )2337w c或w1w2wc1234510¥g (°)45°63.4°71.6°77°78.7°84.3°90°ww此时j(w ) = -90° - arctg(c ) - arctg(c )wwc23g = arctg(wc ) - arctg()wcww23Þ高频段多一个惯性环节使g ¯。当L(w) 以40dB/dec 穿过 0dB 线时，由于小时常T 的存在可能导致系统不稳定。3 结论： L(w

36、) 以20dB/dec 穿过 0dB 能满足稳定性要求，中频段长度越长，g 越大。（此时对应j(w ) = -90°，离- 180o 有距离。）c中频段：w 附近L(w) 斜率20dB/dec 的那一段。c简单系统：381 ;1G(s) =T(s) =Ts +1TsL(w) 在w= 1 过 0dB， L(w ) = 0dBccTM (w ) = -3dBcw 即为截止频率c对复杂系统，w 近似为截止频率。c4高频段决定对高频干扰的抑制高频段， G( jw)H ( jw) << 1G( jw )1+ G( jw)H ( jw)T ( jw ) =» G( jw )

37、可从开环传递函数研究闭环频率特性希望T ( jw) » 1从w Î(0, ¥)，此时闭环系统尽可能准确地复现输入信号。希望G( jw) 保持高增益地频率范围宽一些。但太宽干扰进来了。§5.6校正方法39一、 校正的概念定义：给系统附加一些具有某种典型环节特性的元件，有效地到指标的要求，即为校正。整个系统的性能，达这一附加的部分称为校正元件。方法：利用根轨迹法、频率法用试探方式设计。分类：1.串联校正40ì超前网络校正器ï滞后网络校正器íGc (s) 又分：ï滞后超前网络校正器î2.并联校正（反馈校正）ì速度反馈üïý软反馈íG (s) 又分：度反馈þïî比例反馈c硬反馈413.前馈校正二、 串联校正方法RC 超前网络超前校正加开环零点可提供超前相位（使根轨迹向右弯曲）1（1）超前校正器作用是提供一个超前相位。42R1CS +1G (s) = Eo (s) =R1×cR + RRE (s)R CS +1 2i12R + R112R2令T = R C ，a =< 1R + R112Ts +1s +1 / TG (s) = a ×=aTs +1s