巧用平面向量解解析几何问题

1、巧用平面向量解析几何问题一：课堂教学设计：在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题.用向量法解决解析几何问题思路清楚,过程简洁,有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担.所以本节课就这一方面做一归纳.二：教学目标：利用平面向量的加法,减法,数量积的几何意义解决解析几何问题.三：教学方法：启发式教学四

2、：重点难点：把解析几何问题转化为向量问题.五：例题解析22例1、椭圆y1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当/F1P52为钝角时,点P横坐标的94取值范围是.解：Fi(J5,0)F2(V5,0),设P(3cos,2sin)F1PF2为钝角(53cos,2sin)(,53cos,2sin)=9cos25+4sin2=5cos21<0cos解得:53、53.5,点P横坐标的取值氾围是(,)555点评：解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手.此题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了.例2、定点A(-1,0)和B(1,0),M是圆x2(y1)21

3、上的一动点,求MAMB的最大值和最小值；/22求MAMB的最大值和最小值/分析：由于.为AB的中点,所以mAMB2mO故可利用向量把问题转化为求向量OM的最值.解：MAMB2MOMAMB2MO如图当M运动到M1时,当M运动到M2时,MAMBMO有最小值1MO有最大值3的最小值为2,最大值为6MB由得MAMA(2MO)24MO2OMMB(MAMB)22(OAOM)(OB2OAOB2OMOM的最小值为2MAOM)1,|OM|2最大值为9MB的最小值为4,最大值为202OM(OAOB)点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为条件出现,但如果运用向量知识来解决,也会显得自然、简便,而且易入手.例3、O

4、是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOAAB(IAB|AC、-)|AC|0,+,那么P的轨迹一定通过ABCJ(A)外心(B)内心(Q重心(D)垂心、-AC-分别是与|AC|同向的单位向量,由向量加法的平行四边形那么知分析：由于|是与/ABC的角平分线(射线)同向的一个向量,又),知P点的轨迹是/ABC的角平分线,从而点P的轨迹一定通过ABC勺内心.例4、椭圆b21(ab0)的左、右焦点分别是Fi(c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足F1Q2a,点P是线段F1Q与该椭圆.的交点,点T在线段F2Q上,并且满足c(1)设x为点P的横坐标,证实F1Pa-x;a(

5、2)求点T的轨迹C的方程；(3)试问：在点T的轨迹C上,是否存在点M,使F1MF2的面积Sb2.假设存在,求FiMF2的正切值；假设不存在,请说明理由.(本小题主要考查平面向量的概念,椭圆的定义,椭圆的方程和性质,求轨迹的方法,以及综合运用数学知识解决问题的水平.)/解：(1)证实证法一设点P的坐标为(x,y)由P(x,y)在椭圆上,得ZJ司V(xc)2y2y(xc)2b2,2V(acx)2a,c由xa,知axca0,所以aa：x证法二设点P的坐标为(x,y)记丽r1可上,那么IV(xc)2y2,2(xc)2y2由r1r22a,r12r；4cx,得TTTcF1Pr1axa(2)设点T的坐标为(

6、x,y)/当PT0时,点(a,0)和点(a,0)在轨迹上/当PT0时,且花10寸,由PT尼01,又PQ所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中,OT*Qa,所以有x2综上所述,点T的轨迹C的方程是x2y2(3)C上存在点M(x0,y.)使Sb2的充要条件是22x.y.a21c二2cy0I2b2由得V.由得y0b2所以,当ab22-一时,存在点M,使Sb;当acb2,时,不存在满足条件的点Mc0"时,cMF1(cxo,yo),MF2(cxo,y.)由MF1MF2x；c2y2MF1MF21IS-MF2MFiMF2sin得tanF1MF22点评：此题以平面向量为载体,MF2cosF1MF2

7、F1MF2b2考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系例5.椭圆的中央是原点Q它的短轴长为2衣,相应于焦点F(c,0)(c0)的准线lx轴相交于点A,|OF|二2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)假设OPOQ.,求直线PQ的方程;(3)设APAQ(1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证实FMFQ.分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法和综合解题水平(1)解：由题意,可设椭圆的方程为2/-1(a2.2).(2)(3)2a由得c2c22(-c2

8、,解得ac).6,c/2所以椭圆的方程为6解：由(1)可得A(3,0)设直线PQ的方程为y2y2k(x1,3)依题意2匕1,2离心率ek(x3).由方程组得(3k21)x218k2x27k26012(23k2)0,得设P(x1,y1),Q(x2,y2),那么X1由直线yy2OPPQ的方程得y1k2(x13)(x2k(x13),'.63x2y2,-6k318k23k21X1X227k263k21k(X23).于23)kx1x23(x1x2)9.dOQ0,-x1x2y1y2由得5k21,从而k所以直线PQ的方程为x,5y3证实：AP(x13,y)AQ(x20或x75y30x1(x23),3

9、,y2).由得方程组y12x162x2y2,2Yi22Y21,1.因F(2,0),M(xi,yi),故FM(xi2,yi)(X23)1.Vi)(,yi)2i而FQ(X22,y2)(,y2),所以FMFQ.2点评：此题是以向量知识为背景的解析几何问题,要注意条件的转化,特别是向量问题坐标化,如：OPOQ0,既可以转化为/OPOQ,从而得到KopKoqi,也可以看作(xi,yi)(X2,y2),即xix2y1y20.六.教学反思：由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份,使向量与解析几何之间有着密切联系,而新课程高考那么突出了对向量与解析几何结合考查,这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中,应抓住时机,有效地渗透向量有关知识,树立应用向量的意识.应充分挖掘课本素材,在教学中从推导有关公式、定