暑假讲义10相似辅助答案

1、第十讲 相似辅助线辅助线一：补形得相似例、已知在四边形 ABCD 中，A60°，BD90°，AD3，CD2，求 BC 的值：BC=33/2-1ADBC练、已知：如图，B、C、E 三点在一条直线上，ABAD，BCCD.（1）若B90°，AB6，BC2 3，求A 的值；3AB的值.（2）若BADBCD180°，cosDCE5，求BC：（1）：A=60°（2）：AB/BC=2ABCE辅助线二：一点引两垂模型：在四边形 ABCD 中，ABCADC90°，ADCD，则过点 D 分别作 AB，CB 的垂线 DF、DE，则DFADEC，四边形 DE

2、BF 是矩形教研组所有外传学第 1 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：D任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹FDAECB例、如图，在 RTABC 中，ACB90°，ABC30°，直角MON 的顶点 O 在 AB 上，OM、ON 分别交 CA、CB 与点 P、Q，MON 绕点 O 任意旋转.（1）当 OA = 1 时， OP 的值为3/2；OB2OQ（2）当 OA = 1 时， OP 的值为3/n.（用含 n 的式子表示）OBnOQAAOOPPMMCQBCQBNN练 1、如图 1，在 RtABC 中，C90°，ACBC，D 是 AB 边

3、上一点，E 是在 AC 边上的一个动点（与点 A、C 不重合），DFDE，DF 与射线 BC 相交于点 F.（1）如图 2，如果点 D 是边 AB 的中点，求证：DEDF；（2）如果 ADDBm，求 DEDF 的值；（3）如果 ACBC6，ADDB12，设 AEx，BFy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；：（1）：做辅助线连接 DC，AD=DC=DB, B=ACD, EDC=FDB，所以CEDBFD，DEDF（2）：过 D 点作 AC,BC 的垂线，垂足分别为 Q,P，DEDF=m：1（3）：过 D 点作 DM 平行 BC 交 AC 与 M,DN 平行于 AC 交 BC

4、 与 N,y=8-2x，0<x4教研组所有外传学第 2 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹图 1图 2练 2、如图，ABC 是等腰直角三角形，ABC45°，点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，MCN 与MPN 关于直线 MN 对称，P 是 AB 上的点PACM（1）当点 P 是边 AB 的中点时，求证：=；PBCNPACM（2）当点 P 不是边 AB 的中点时，=是否仍然成立？请证明你的结论PBCN：(1):连接 CP，CPAB,MNAB,CM/CN=AC/CB=1(2)：连接 CP,则 MNCP,作

5、 PEAC 于 E,证MCNMNC,即可得证 PA/PB=CM/CNCCMMNNABAPBP教研组所有外传学第 3 页授课科目：初高中数学、 解惑专线：183264876( )：数学、任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹辅助线三：平移出相似（构造 A、Z 型相似）题型一：构造相似证明相关等式如图，若出现 AD 此形式，则常构造 Z 型（图 1）；若出现 AD 此形式，则常构造 A 型（图 2）DBABAAEDDEBBCC图 1图 2例 1、如图，在平行四边形 ABCD 中，ABCD，AB3DG，E 为对角线 AG 的中点，直线 BE 交 AG 于点 E，则 AFFD 的值等于（c）5332A、2

6、B、C、D、1DGCFEAB例 2、如图，已知ABC 中，AEEB13，BDDC21，AD 与 CE 相交于 F，求 EF AF 的值FCFD：作 EGBC 交 AD 于 G，作 DHAB 交 CE 于 H。所以 EF/FC+AF/FD=3/2教研组所有外传学第 4 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹AEFCBD例 3、如图，在ABC 中，AD 为 BC 上的中线，F 为 AD 上任意一点，直线 CF 交 AB 与 E，求证 AE:ABEF:FC：过点 E 作 EGBC 交 AD 于点 G，则AEGABD，EFGCFD,BD=C

7、D,所以 AE:ABEF:FCAEFBDCED= AC 。求证：AMDB例 4、ABC 中，M、E 分别是 AC、AB 上的点，ME、CB 延长线交于一点 D，且EMBC：作 MFAB 交 BC 于点 FAC:BC=AM:BF，DE:EM=DB:BF,根据已知得证教研组所有外传学第 5 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹AMECDB练 1、如图，已知，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，则 AFFC1:2AFEBDC练 2、如图，BF:FC 3:1，G 为 AF 的中点，则 BGBE7:8AEGBCF练 3、如图ABC

8、中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证：AE：ED2AF：FB教研组所有外传学第 6 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹：过点 D 作 DMAB 交 FC 于M，证FEAMED,DM=1/2BF 即可得证AFEBDC练 4、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 ADBE，求证：DF·ACBC·FE：过 D 作 DHBC 交 AB 于 H,HD:BE=DF:EF,HD:BC=AD:AC,再根据题目已知即可得证。ADFEBC题型二：构造相

9、似模型（A、Z 型）求线段长度11、如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 在 AD 上，且 AF FD，EF 交 AC 于点 O，若 AC12，则2AO（b）A4B3C2.4D2DCFOAEB教研组所有外传学第 7 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹2、如下左图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PACQ时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为0.5 3，则23、如下右图，D 是ABC 中 AB 边上一点，且 BD2AD，CD6

10、，如cosBCDBC 边上高线 AE 长为（b）949233ABC23AEAPDQBBCCE4、已知线段 OAOB，OAOB，C 为 OB 上中点，D 为 AO 上一点，连 AC、BD 交于 P 点（1）如图 1，若 D 为 AO 中点时，求的值；（2）如图 2，若=，求的值APAPAD1PC：（1）：过 C 点作 CEOA 交 BD 于 E，AP/PC=2AO3PC(2)：过 C 点作 CEOA 交 BD于 E，AP/PC=2/5AADDBCOBCO图 1图 2教研组所有外传学第8 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：PPD任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹辅助

11、线四：利用 K 型构造相似如图，ABC 中，ACB90°，常用 K 型构造法，过直角三角形的两顶点（非直角顶点）作直角顶点所在直线 l的垂线。则易证ADCCEB（若未出现直角顶点所在的直线，一般默认为平行于 x 轴或 y 轴的直线）ADADCACBBElBEDCEll1、 如图 OB2，OA4，在第一象限内是否存在点 C，使得ABC 与OAB 相似,存在则直接写出所有满足条件的点 C 的坐标。：C（4,2），（4,10），（-4，-6），（8,8），（0,8）教研组所有外传学第 9 页授课科目：初高中数学、 解惑专线：183264876( )：数学、yBOAxyBOAx任课教师：王进

12、宇新初三数学 陈怡丹2、如图，矩形 AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，F 是 BC 边上的一个动点（不与 B，C 重合），过 F 点的反比例函数 y = k (k>0)的图像与 AC 边交于点 E。x（1）若 BF1，求OEF 的面积；（2）请探索：是否在这样的点 F，使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出点 k 的值；若不存在，请说明理由：（1）：OEF 面积 12-k-1/2（4-1/3k）（3-1/4k）（2）：存在这样的点 F。过点 E 作 ENOB,垂足为 N，EN=3，EM=4-1/3k，MF=3-1/4kEMNMFB，求出 MB=9/4

13、，由MB2+BF2=MF2求出 k=21/8，F(4,21/32)yECAFOBx2、 已知点 A 是双曲线 y = 4 在第一象限上的一动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为一边作等边三角x形 ABC，点 C 在第二象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图像上运动，求这个函数的式：需要作辅助线：过 C 点作 CDx 轴于 D,y=-9/x（x>0）教研组所有外传学第 10 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹yACOxB利用相似模型求面积例1、 已知在ABC 中， SADE

14、10，其中 D、E 为 AB、AC 的中点，求 SCOE 、 SBOD 、 SEOD 、 SBOC 、 SABC： SCOE = SBOD ,20/3， SEOD =10/3， SBOC ,40/3， SABC =40ADEOBC例2、 已知在ABC 中， S10，其中 AD = 1 , AE = 1 ，求 S、 S、 S、 S、 SADECOEBODEODBOCABCAB3 AC3： SCOE = SBOD =15， SEOD =5，, SBOC =45， SABC =90教研组所有外传学第 11 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：任课教师：王进宇新初三数学

15、陈怡丹ADEOBC例3、 已知在ABC 中， S10，其中 AD = 1 ， AE = 2 ,求 S、 S、 S、 S、ADECOEBODEODBOCAB3AC3： SCOE =15/7, SBOD =120/7， SEOD =20/7, SBOC =90/7， SABC =45ADEOBC练 1、如图，E 是矩形 ABCD 的边 CD 上的点，BE 交 AC 于点 O，已知COE 与BOC 的面别为 2 和 8，则四边形 AOED 的面积为（c）A、16B、32C、38D、40ECDAB练 2、如图，在正方形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，BF 与 AC 交于点 G，则BGC 与四边形

16、 CGFD 的面积之比是？教研组所有外传学第 12 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：O任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹：作辅助线连接 DG，面积之比：4:5DCFAB练 3、已知，如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CB 延长线上一点，连接 DE，分别交 AC、AB 于点 F、G，且 BEBF（1）请GB 与 EF 有怎样的数量关系？并证明你的结论。AG（2）求的值以及四边形 BCDF 与正方形 ABCD 的面积之比。GB：（1）：EF=3GB，连接 BD,证FDAFBA，FBD=FDB,切推断出EFB 为 30 度，过点 B 作 BHED 垂足为点 H

17、，分别在GBH，EBH 中比较线段长度即可。（2）：AG/GB=(2+3)/2，四边形 BCDF 与正方形 ABCD 的面积之比为3:1ADECB相似辅助线综合提高1、已知线段 OAOB，OAOB，C 为 OB 上中点，D 为 AO 上一点，连 AC、BD 交于 P 点AD1（1）如图 1，当时求 tanBPC；（2）如图 2，当 AOnAD，求 tanBPC（用 n 表示）AO4：（1）：过点 D 作 DEBO 交 AC 于 E，tanBPC=1/2（2）：tanBPC=n/n教研组所有外传学第 13 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：GFG任课教师：王进宇新

18、初三数学 陈怡丹AADDBCOBCO图 1图 22 、已知 ÐABC = 90°，AB = 2，BC = 3，AD BC，P 为线段 BD 上的动点， 点 Q 在射线 AB 上， 且满足PQAD=（如图 1 所示）PCAB教研组所有外传学第 14 页授课科目：初高中数学、数学、解惑专线：183264876( )：PP任课教师：王进宇新初三数学 陈怡丹（1）当 AD = 2 ，且点Q 与点 B 重合时（如图 2 所示），求线段 PC 的长；（2）在图 1 中，联结 AP 当 AD = 3 ，且点Q段 AB 上时，设点 B、Q 之间的距离为 x ， S APQ = y ，其2SPBC中 S APQ 表示APQ 的面积， SPBC 表示PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数式，并写出函数 x 的取值范围；（3）当 AD &l